第三章整式及其加减

第三章第三章 整式及其加减整式及其加减 要点梳理要点梳理 要点一 字母表示数要点一 字母表示数 用字母表示数之后 有些数量之间的关系用含有字母的式子表示 看上去更加简明 更具有普遍意义了 举例 如果用 a b 表示任意两个有理数 那么加法交换律可以用字母 表示为 a b b a 乘法交换律可以用字母表示为 ab ba 要点二 代数式要点二 代数式 1 代数式的定义 代数式的定义 诸如 16n 2a 3b 34 2 n 2 ba 等式子 它们都是用运算符号 把数和字母连接而成的 像这样的式子叫做代数式 单独的一个数或一个字母也是代数式 要点诠释 要点诠释 带等号或不等号的式子不是代数式 如33x 33x 33x 等都不是代数式 2 列代数式 列代数式 在解决实际问题时 常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来 即列出代数 式 使问题变得简洁 更具一般性 要点诠释 代数式的书写规范 要点诠释 代数式的书写规范 1 字母与数字或字母与字母相乘时 通常把乘号写成 或省略不写 2 除法运算一般以分数的形式表示 3 字母与数字相乘时 通常把数字写在字母的前面 4 字母前面的数字是分数的 如果既能写成带分数又能写成假分数 一般写成假分数的 形式 5 如果字母前面的数字是 1 通常省略不写 3 代数式的值 代数式的值 一般地 用具体数值代替代数式中的字母 按照代数式中的运算关系计算 得出的结果 叫做代数式的值 要点三 整式要点三 整式 1 单项式单项式 1 单项式的定义 单项式的定义 如 2 2xy 1 3 mn 1 它们都是数与字母的积 像这样的式子叫单 项式 单独的一个数或一个字母也是单项式 要点诠释 要点诠释 单项式一定是代数式 但若分母中含有字母的代数式 如 5 m 就不是单项式 因 为它无法写成数字与字母的乘积 2 单项式的系数 单项式的系数 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 要点诠释 要点诠释 确定单项式的系数时 最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式 再确定其系数 圆周率 是常数 单项式中出现 时 应看作系数 当一个单项式的系数是 1 或 1 时 1 通常省略不写 单项式的系数是带分数时 通常写成假分数 如 2 1 1 4 x y写成 2 5 4 x y 3 单项式的次数 单项式的次数 一个单项式中 所有字母的指数和叫做这个单项式的次数 要点诠释 要点诠释 没有写指数的字母 实际上其指数是 1 计算时不能将其遗漏 2 多项式 多项式 1 多项式的定义 多项式的定义 几个单项式的和叫做多项式 要点诠释 要点诠释 几个 是指两个或两个以上 2 多项式的项 多项式的项 在多项式中 每个单项式叫做多项式的项 不含字母的项叫做常数项 要点诠释 要点诠释 多项式的每一项包括它前面的符号 一个多项式含有几项 就叫几项式 如 2 627xx 是一个三项式 3 多项式的次数 多项式的次数 一个多项式中 次数最高的项的次数 叫做这个多项式的次数 要点诠释 要点诠释 多项式的次数不是所有项的次数之和 而是多项式中次数最高的单项式的次数 一个多项式中的最高次项有时不止一个 在确定最高次项时 都应写出 4 升幂排列与降幂排列 升幂排列与降幂排列 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来 叫做把多项式按这个字母降幂排列 若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来 叫 做把多项式按这个字母升幂排列 如 多项式 2x3y2 xy3 2 1 x2y4 5x4 6 是六次五项式 按 x 的降幂排列为 5x4 2x3y2 2 1 x2y4 xy3 6 在这里只考虑 x 的指数 而不考虑其它字母 按 y 的升幂排列为 6 5x4 2x3y2 xy3 2 1 x2y4 要点诠释 要点诠释 重新排列多项式时 每一项一定要连同它的正负号一起移动 含有两个或两个以上字母的多项式 常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列 3 整式 整式 单项式与多项式统称为整式 要点诠释 要点诠释 1 单项式 多项式 整式与代数式这四者之间的关系 单项式 多项式必是整式 整式 必是代数式 但反过来就不一定成立 2 分母中含有字母的式子一定不是整式 但是代数式 典型例题典型例题 类型一 字母表示数类型一 字母表示数 1 填空 1 某商场将一种商品 A 按标价的 9 折出售 即优惠 10 仍可获利 10 若商场商品 A 的标 价为 a 元 那么该商品的进价为 元 列出式子即可 不用化简 2 有 a 名男生和 b 名女生在社区做义工 他们为建花坛搬砖 男生每人搬了 40 块 女生 每人搬了 30 块 这 a 名男生和 b 名女生一共搬了 块砖 用含 a b 的代数式表示 思路点拨 和 差形式的代数式要在单位前把代数式括起来 答案 1 90 10 1 a 2 40a 30b 解析 本例属于实际生活问题 应分清 进价 标价 利润 利润率 打折 等问 题 打几折就是标价的十分之几 总结升华 解答本例需弄清以下两个数量关系 1 利润 售价 进价 2 利润率 售价进价 进价 举一反三 举一反三 变式 为庆祝战胜利 70 周年 我市某楼盘让利于民 决定将原价为 a 元 米 2的商品房价 降价 10 销售 降价后的销售价为 A a 10 B a 10 C a 1 10 D a 1 10 答案 C 类型二 代数式类型二 代数式 2 为了节约能源 某单位按以下规定收取每月电费 用电不超过 140 度 按每度 0 43 元收费 如果超过 140 度 超过部分按每度 0 57 元收费 1 若某用户 10 月份用去 a 度电 则他应缴多少电费 2 若该用户 11 月份用了 150 度电 则该缴多少电费 思路点拨 当 a 140 应付费用分为两部分 一部分为 0 43 140 元 另一部分为 0 57 a 140 元 答案与解析 解 1 当 a 140 时 电费为 0 43a 元 当 a 140 时 电费为 0 43 1400 57 140 0 5719 6 aa 元 2 因为用电量为 150 度 大于 140 度 因此把 a 150 代入代数式0 5719 6a 得 0 57 150 19 665 9 元 因此 该缴电费 65 9 元 总结升华 根据 a 的不同取值 分别对应不同的代数式 举一反三 举一反三 变式 1 一个堤坝的截面是等腰梯形 最上面一层铺石块 a 块 往下每层多铺一块 最 下面一层铺了 b 块 共铺了 n 层 共铺石块 块 当 a 20 b 40 n 17 时 堤坝 的这个截面铺石块 块 答案 1 2 a b n 510 块 变式 2 代数式 1 2 a b n 的意义 答案 答案不唯一 举一例 设某两数为ab 则 ab n 1 2 表示 这两个数平均数的 n 倍 类型三 整式类型三 整式 3 整式中是单项式的个数有 A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个 答案 C 解析 解 整式中 单项式有 0 3x2y 0 2a2b3c 共 4 个 总结升华 根据单项式的定义 数或字母的积组成的式子叫做单项式 单独的一个数或 字母也是单项式 即可得出答案 举一反三 举一反三 变式 下列代数式 32233 211 1 2 2 32 axy abxx yx yy x 其中单项式是 多项式是 答案 4 已知多项式 3 23122 4 675 3 m x xyxyyx y 1 求多项式各项的系数和次数 2 如果多项式是七次五项式 求 m 的值 答案与解析 1 依题意知此多项式是五项式 第一项 2 6xy 的系数是 6 次数是 3 第 二项 312 7 m xy 的系数是 7 次数是 3m 1 第三项 3 4 3 x y的系数是 4 3 次数是 4 第四项 2 x y 系数是 l 次数 3 第五项 5 系数是 5 次数是 0 2 由多项式是七次五项式 可得 312 7 m xy 的次数是 7 即 3m 1 2 7 解得 m 2 总结升华 对于单项式 312 7 m xy 的次数为 3m 1 可能不太习惯 通过适量的练习 会 对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识 举一反三 举一反三 变式 多项式 3 4 b axxxb 是关于x的二次三项式 求 a 与 b 的差的相反数 答案 404 22 422 aa bb ab 解 由题意得 5 已知 x2 5x 6 请你求出代数式 10 x 2x2 5 的值 思路点拨 先把 10 x 2x2 5 变形为 2 x2 5x 5 然后把 x2 5x 6 整体代入进行计算即 可 答案与解析 解 10 x 2x2 5 2 x2 5x 5 x2 5x 6 原式 2 6 5 12 5 7 总结升华 本题考查了代数式求值 先根据已知条件把代数式进行变形 然后利用整体 代入进行求值 巩固练习巩固练习 1 1 判断正误 对的画判断正误 对的画 错的画 错的画 1 5y 是单项式 2 5y 1 是单项式 3 是单项式 1 3 4 单项式 ab 的系数是 0 5 单项式的系数是 2 2ab 3 6 单项式 xy2次数是 2 7 单项式 4xy2是三次单项式 2 2 填填空空 青藏铁路线上 在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段 列车在冻土地段 行驶速度是每小时 100 千米 它 2 小时行驶的路程是 千米 3 小时行驶的路程 是 千米 t 小时行驶的路程是 千米 3 3 用单项式填空 用单项式填空 1 底边长为 a 高为 h 的三角形的面积是 2 一辆汽车从拉萨出发 3 小时后到达相距 s 千米的尼木县城 这辆长途汽车的平均 速度是 3 一台电视机原价 a 元 现按原价的 9 折 9 折就是 90 出售 这台电视机现在的 售价为 元 4 4 填空 填空 1 多项式 x2 3x 4 是单项式 的和 它的项是 常数项是 2 多项式 x2 3 x 是单项式 的和 它的项是 常数项是 3 多项式 m2 1 是单项式 的和 它的项是 常数项是 4 多项式 2x 3y2 3xy2是单项式 的和 它的项是 5 5 填空 填空 1 多项式 3 2x2 4x 次数最高项是 次数最高项的次数是 这个多项式的 次数是 2 多项式 m3 1 次数最高项是 次数最高项的次数是 这个多项式的次数 是 3 多项式 2x 3xy2 1 次数最高项是 次数最高项的次数是 这个多项式 的次数是 4 多项式 3x4 2x2y2次数最高项是 次数最高项的次数是 这个多项式的 次数是 1 1 填空填空 1 单项式 3x 的系数是 次数是 是 次单项式 2 单项式 r2的系数是 次数是 是 次单项式 3 单项式 x2y 的系数是 次数是 是 次单项式 4 单项式的系数是 次数是 是 次单项式 22 a b 2 2 2 填填空空 1 多项式 x2 3x 4 的项是 最高次项是 常数项是 次数是 2 多项式 3 m2的项是 最高次项是 常数项是 次数 是 3 多项式 a3 a2b ab2的项是 最高次项是 次数是 3 判断正误 对的画 错的画 1 多项式 3a 5 的项是 3a 5 2 多项式 x3 x2y2的次数 3 次 3 几个多项式的和仍是多项式 4 单项式和多项式统称整式 4 用多项式填空 1 温度由 3 度下降 t 度后是 度 2 温度由 3 度上升 t 度后是 度 3 一个数比 x 的 2 倍小 3 则这个数为 4 a 与 b 两数平方的和为 5 如图 三角尺的面积为 b a r 5 5 用整式填空 用整式填空 1 体重由 x 千克增加 2 千克后是 千克 2 1 千克大米售价 1 2 元 x 千克大米售价 元 3 a b 分别表示长方形的长与宽 则长方形的周长为 4 a b 分别表示梯形的上底和下底 h 表示梯形的高 则梯形的面积为 5 买一个篮球需要 x 元 买一个排球需要 y 元 买一个足球需要 z 元 买 3 个篮球 5 个排球 2 个足球共需 元 6 如图 是一所住宅的建筑平面图 这所住宅的建筑面积是 平方米 6 思考题 如图 搭 1 个正方形需要 4 根 小棒 搭 2 个正方形需要 根小棒 搭 3 个正方形需要 根小棒 搭 x 个正方 形需要 根小棒 搭 2008 个正方形需要 根小棒 课后作业课后作业 一 选择题 1 在代数式中 整式有 222 51 5 1 32 1 xxxx xx A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 2 下面计算正确的是 A B 22 33xx 235 325aaa C D 33xx 1 0 250 4 abab 3 多项式的各项分别是 2 1 1 2 xx A B C D 2 1 1 2 xx 2 1 1 2 xx 2 1 1 2 xx 2 1 1 2 xx 4 下列去括号正确的是 x米6米 4米 x米 A B 5252 xx 2224 2 1 xx C D nmnm 3 2 32 3 1 xmxm2 3 2 2 3 2 5 下列各组中的两个单项式能合并的是 A 4 和 4x B 3232 3xyyx 和 C D cabab 22 1002和 2 m m和 6 单项式的系数和次数分别是 23 3 xy z A 5 B 1 6 C 3 6 D 3 7 7 一个多项式与 2 1 的和是 3 2 则这个多项式为 2 xxx A 5 3 B 1 C 5 3 D 5 13 2 xx 2 xx 2 xx 2 xx 8 原产量 n 吨 增产 30 之后的产量应为 A 1 30 n 吨 B 1 30 n 吨 C n 30 吨 D 30 n 吨 二 填空题 1 单项式的系数是 次数是 5 2 2 xy 2 多项式的次数是 最高次项系数是 常数5253 323 yxyxxy 项是 3 任写一个与是同类项的单项式 ba 2 2 1 4 多项式与多项式的差是 yx23 yx24 5 单项式 的系数是 次数是 7 3 32 yx 6 李明同学到文具商店为学校美术组的 30 名同学购买铅笔和橡皮 已知铅笔每支 元 橡 皮每块 元 若给每名同学买 2 支铅笔和 3 块橡皮 则一共需付款 元 7 电影院第一排有 a 个座位 后面每排都比前一排多一个座位 第二排有 个座位 第三排有 个座位 第 n 排有 m 个座位 则 m 用含 a n 的代数式标示 整式的加减运算整式的加减运算 知识梳理知识梳理 要点一 整式的相关概念要点一 整式的相关概念 1 单项式 由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式 单独的一个数或一个字母也是单 项式 1 单项式的系数 单项式中的数字因数 2 单项式的次数 单项式中所有字母的指数和 2 多项式 几个单项式的和叫做多项式 在多项式中 每个单项式叫做多项式的项 1 在多项式中 不含字母的项叫做常数项 2 多项式中次数最高的项的次数 就是这个多项式的次数 3 多项式的次数是 n 次 有 m 个单项式 我们就把这个多项式称为 n 次 m 项式 3 多项式的降幂与升幂排列 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来 叫做把这个多项式按这 个字母降幂排列 另外 把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来 叫 做把这个多项式按这个字母升幂排列 1 利用加法交换律重新排列时 各项应带着它的符号一起移动位置 2 含有多个字母时 只按给定的字母进行降幂或升幂排列 4 整式 单项式和多项式统称为整式 要点二 整式的加减要点二 整式的加减 1 同类项 所含字母相同 并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 所有的常数项都 是同类项 辨别同类项要把准 两相同 两无关 1 两相同 是指 所含字母相同 相同字母的指数相同 2 两无关 是指 与系数无关 与字母的排列顺序无关 2 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项 叫做合并同类项 合并同类项时 只是系数相加减 所得结果作为系数 字母及字母的指数保持不变 3 3 去括号法则 去括号法则 括号前面是 把括号和它前面的 去掉后 原括号里各项的符号 都不改变 括号前面是 把括号和它前面的 号去掉后 原括号里各项的符号都 要改变 4 添括号法则 添括号后 括号前面是 括号内各项的符号都不改变 添括号后 括号前面是 括号内各项的符号都要改变 5 整式的加减运算法则 几个整式相加减 通常用括号把每一个整式括起来 再用加 减 号连接 然后去括号 合并同类项 典型例题典型例题 例例 1 1 整式中的基本概念 整式中的基本概念 1 1 的次数与系数的和是 3 xy 2 已知单项式的系数是等于单项式的次数 则 m 2 6x y 5 2 m x y 3 若是关于 a b 的一个五次单项式 且系数为 9 则 m n n ma b 4 4 多项式是 次 项式 常数项是 三次 432 231yyyy 项是 5 5 把多项式按 x 的降幂排列是 32 1 325xxx 6 若与是同类项 则 a b 4 7 a x y 5 7 9 b x y 例例 2 2 整式中的去括号与添括号法则 整式中的去括号与添括号法则 下列式子中去括号错误的是 A 5x x 2y 5z 5x x 2y 5z B 2a2 3a b 3c 2d 2a2 3a b 3c 2d C 3x2 3 x 6 3x2 3x 6 D x 2y x2 y2 x 2y x2 y2 例例 3 3 整式的加减运算整式的加减运算 1 1 合并同类项 合并同类项 1 2323 38213223cccccc 2 2222 0 50 40 20 8m nmnnmmn 2 计算 222 32 1 2 5 436 xxxxx 3 计算 11 812 3 22 32 aabccb 4 求比多项式少的多项式 22 523aaabb 2 5aab 5 化简求值 已知 求的值 1 2 x 1y 22 5 23 2 43 x yxxx y 巩固练习巩固练习 一 选择题一 选择题 1 已知 a 与 b 互为相反数 且 x 与 y 互为倒数 那么 a b 2xy 的值为 A 2 B 2 C 1 D 无法确定 2 若与是同类项 则下列各式一定正确的是 2 mp x y3 nq x y A m q 且 n p B mn pq C m n p q D m n 且 p q 3 有下列式子 0 对于这些式 1 2 xyz 2 b 2 323xx abc y x x ab ab 子下列结论正确的是 A 有 4 个单项式 2 个多项式 B 有 5 个单项式 3 个多项式 C 有 7 个整式 D 有 3 个单项式 2 个多项式 4 对于式子 下列说法正确的是 42 1 2 10 x y A 不是单项式 B 是单项式 系数为 1 2 10 次 数是 7 C 是单项式 系数为 1 2 104 次数是 3 D 是单项式 系数为 1 2 次数是 3 5 下面计算正确的是 A 3 3 B 3 2 5 C 3 3 D 0 25 0 2 x 2 x 2 a 3 a 5 axxab 4 1 ba 6 2a 5b c 3d e 2a 5b c 3d e 方格内所填的符号依次是 A B C D 7 某工厂现有工人 a 人 若现有工人数比两年前减少了 35 则该工厂两年前工人数为 A B 1 35 a C D 1 35 a 1 35 a 1 35 a 8 若的值为 8 则的值是 2 237yy 2 469yy A 2 B 17 C 7 D 7 二 填空题二 填空题 9 比 x 的 15 大 2 的数是 10 单项式的系数是 次数是 24 3 ab c 11 是 次 项式 最高次项的系数是 2 2 37 2 x y x 12 化简 2a 2a 1 13 如果 那么 2 4aab 2 1abb 22 ab 14 一个多项式减去 3x 等于 则这个多项式为 2 535xx 15 若单项式与单项式的和是单项式 那么 2 2 m n x y 32 3 m y x3mn 16 如图所示 外圆半径是 R 厘米 内圆半径是 r 厘米 四个小圆的半径都是 2 厘米 则 图中阴影部分的面积是 平方厘米 三 解答题 1717 化简 1 57859mnpnmp 2 222 3 32 541 3aaaaaa 18 18 已知 当时 求代数 2 263Axx 2 1 3Bxx 2 451Cxx 3 2 x 式的值 32ABC 19 19 计算下式的值 甲同学把错抄成 但他计算的结果也是正确的 你能说 1 1 4 x y 1 4 x 1 4 x 明其中的原因吗 课后作业课后作业 一 选择题一 选择题 1 A B C D 均为单项式 则 A B C D 为 A 单项式 B 多项式 C 单项式或多项式 D 以上都不对 2 下列计算正确的个数 4 2 242 33432242234 yyxxyyxxyxyxx abba523 325 22 yyyxxyyx 222 54 532 523xxx xyxyxy 33 A 2 B 1 C 4 D 0 3 现规定一种运算 a b ab a b 其中 a b 为有理数 则 3 5 的值为 A 11 B 12 C 13 D 14 4 化简 n 为正整数 的结果为 1 1 1 nn aa A 0 B 2a C 2a D 2a 或 2a 5 已知 a b 3 c d 2 则 b c a d 为 A 1 B 5 C 5 D 1 6 有理数 a b c 在数轴上的位置如右图所示 则 accbba A 2b B 0 C 2c D 2c 2b 7 当 x 3 时 多项式的值是 7 那么当 x 3 时 它的值是 53 5axbxcx A 3 B 7 C 7 D 17 8 如果是关于的二次三项式 那么 m n 应满足的条件是 3 2 1 n maa a A m 1 n 5 B m 1 n 3 C m 1 n 为大于 3 的整数 D m 1 n 5 二 填空题二 填空题 9 是关于 x y 的一个单项式 且系数是 3 次数是 4 则 n mx y m n 10 1 222 xyxyx 2 2a 3 b c 3 7x 8 2 561xx 11 当 b 时 式子 2a ab 5 的值与 a 无关 12 若 则 4 5 abc 30 bac 13 某一铁路桥长 100 米 现有一列长度为 l 米的火车从桥上通过 测得火车从开始上桥 到完全过桥共用 1 分钟时间 则火车的速度为 14 如图 是用棋子摆成的图案 摆第 1 个图案需要 7 枚棋子 摆第 2 个图案需要 19 枚棋 子 摆第 3 个图案需要 37 枚棋子 按照这样的方式摆下去 则摆第 6 个图案需要枚棋子 摆第 n个图案需要枚棋子 三 解答题三 解答题 15 先化简 再求值 4x3 x2 2 x3 x2 1 其中 x 1 2 1 3 16 已知 为有理数 求的值a 32 10aaa 2342012 1 aaaaa 17 如图所示 用三种大小不同的六个正方形 和一个缺角的正方形拼成长方形 ABCD 其中 GH 2cm GK 2cm 设 BF x cm 1 用含 x 的代数式表示 CM cm DM cm 2 若 x 2cm 求长方形 ABCD 的面积 C M AD F B H E GK 探索规律探索规律 学习目标学习目标 1 通过观察 分析 总结等一系列过程 经历探索数量关系 并运用代数式表示规律 通 过运算验证规律是否正确的过程 2 会用代数式表示简单问题中的数量关系 能用合并同类项 去括号等法则验证所探索的 规律是否正确 3 通过动手操作 观察 思考 体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程 要点梳理要点梳理 要点一 要点一 规律探索型问题常见类型规律探索型问题常见类型 1 数式规律 数式规律 通常给定一些数字 代数式 等式或不等式 然后猜想其中蕴含的规律 反映了由特殊 到一般的数学方法 考查了学生的分析 归纳 抽象 概括能力 一般解法是先写出数式的 基本结构 然后通过横比 比较同一等式中不同部分的数量关系 或纵比 比较不同等式 间相同位置的数量关系 找出各部分的特征 改写成要求的格式 要点诠释 要点诠释 由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳 猜想的数学 思想的运用 解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律 再用字母表示 最后加以验证 2 图形规律 图形规律 根据一组相关图形的变化 从中总结图形变化所反映的规律 解决这类图形规律问题的 方法有两种 一种是数图形 将图形转化成数字规律 再用数字规律的解决问题 一种是 通过图形的直观性 从图形中直接寻找规律 要点诠释 要点诠释 图案 图表具有直观 形象 简明 包含的信息量多等特点 解决此类问题需 要把 形 转化为 数 考查数形结合的数学思想 3 数表规律 数表规律 解决本题的方法一般是先看行 或列 的规律 再以列 或行 为单位用数列找规律 方法找规律 有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等 有时还需要先 局部看 再整体找规律 要点二 要点二 规律探索型问题解题技巧规律探索型问题解题技巧 1 抓住条件中的变与不变 抓住条件中的变与不变 找数学规律的题目 都会涉及到一个或者几个变化的量 所谓找规律 多数情况下 是 指变量的变化规律 所以 抓住了变量 就等于抓住了解决问题的关键 而这些变量通常按 照一定的顺序给出 揭示的规律 常常包含着事物的序列号 2 化繁为简 形转化为数 化繁为简 形转化为数 有些题目看上去很大 图形很复杂 实际上 关键性的内容并不多 对题目做一番认真 地分析 去粗取精 取伪存真 把其中主要的 关键的内容抽出来 题目的难度就会大幅 度降低 问题也就容易解决了 3 要进行计算尝试 要进行计算尝试 找规律 当然是找数学规律 而数学规律 多数是函数的解析式 函数的解析式里常常包 含着数学运算 因此 找规律 在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子 所以 从运算入手 尝试着做一些计算 也是解答找规律题的好途径 4 寻找事物的循环节 寻找事物的循环节 有些题目包含着事物的循环规律 找到了事物的循环规律 其他问题就可以迎刃而解 典型例题典型例题 类型一 类型一 数式规律数式规律 1 在下列数列里 写出后面两个数 1 1 10 3 13 5 16 7 19 2 2 5 6 10 18 20 54 40 3 4 16 36 64 144 196 4 0 1 2 3 6 11 20 5 1 3 5 6 9 9 13 12 17 15 21 18 25 21 29 24 答案 1 9 22 2 162 80 3 100 256 4 37 68 5 1137 930 解析 解 1 这个数列中 奇数位上的数后一项总比前一项多 2 偶数位上的数后一项总比前 一项多 3 2 这个数列中 奇数位上数后一项总是前一项的 3 倍 偶数位上的数后一项是前一项的 2 倍 3 同除以 4 后可得新数列 1 4 9 16 很显然是位置数的平方 4 这个数列中某项的数等于它前面 3 项数之和 5 根据已知得出 符号的变化规律为 1 1 n 分子与分母的变化规律 分子依次差 4 的数 分母是依次差 3 的数 进而得出第 n 个数分子的规律是 4n 3 分母的规律是 3n 进而得出这一组数的整体的变化规律 总结升华 1 2 4 的第 n 项不容易用一个代数式表示出来 3 的第 n 项为 4n2 5 的第 n 项为 14 3 1 3 n n n 举一反三 举一反三 变式 观察下列各数 1 按你发现的规律计算这列数的第 6 个数为 3 4 7 9 15 16 A B C D 31 25 35 36 7 4 63 62 答案答案 C 解 观察该组数发现 1 3 4 7 9 15 16 第 n 个数为 12 2 n n 当 n 6 时 12 2 n n 7 4 2 我们知道简便计算的好处 事实上 简便计算在好多地方都存在 观察下列等式 152 1 2 100 25 225 252 2 3 100 25 625 352 3 4 100 25 1225 1 根据上述格式反应出的规律填空 952 2 设这类等式左边两位数的十位数字为 a 请用一个含 a 的代数式表示其结果 3 这种简便计算也可以推广应用 个位数字是 5 的三位数的平方 请写出 1952的简便 计算过程及结果 思路点拨 1 观察给定等式 发现变化规律 等式左边为 15 右边为 1 2 等式左边为 25 右边为 2 3 等式左边为 35 右边为 3 4 依此规律即可求出 952的值 2 结合 1 的发现 总结出规律 a5 2 a a 1 100 25 100a a 1 25 3 将 2 的规律延伸 即可依照规律得出结论 答案与解析 解 1 观察 152 1 2 100 25 225 252 2 3 100 25 625 352 3 4 100 25 1225 发现 等式左边为 15 右边为 1 2 等式左边为 25 右边为 2 3 等式左边为 35 右边为 3 4 952 9 10 100 25 9025 故答案为 9 10 100 25 9025 2 根据 1 的规律得出结论 a5 2 a a 1 100 25 100a a 1 25 3 结合 2 的规律可知 1952 19 20 100 25 38025 总结升华 本题考查了规律型中的数字的变化类 解题的关键是找出变化规律 a5 2 a a 1 100 25 100a a 1 25 解决该题型题目时 根据给定等式子的变化 找 出变化规律是关键 举一反三 举一反三 变式 观察下面组成的图案和算式 解答问题 1 3 4 22 1 3 5 9 32 1 3 5 7 16 42 1 3 5 7 9 25 52 1 请猜想 1 3 5 7 9 19 2 请猜想 1 3 5 7 9 2n 1 2n 1 2n 3 答案 1 100 2 2 2 n 类型二 图表规律类型二 图表规律 3 用火柴棒按图中的方式搭图 1 填写下表 图形编号 火柴棒根数 2 第 N 个图形需要多少根火柴 思路点拨 在解此类问题时 方法很明确 就是把图形型问题转化为数字型问题 再从 数字的特点来寻找出规律来解答 答案与解析 解 1 显然 第一个图形中有 3 根火柴棒 第二个图形中有 9 根火柴棒 第三个图形中 有 18 根火柴棒 第四个图形中有 30 根火柴棒 所以填写表格如下 图形编号 火柴棒根数3918304563 2 解法一 解法一 3 1 3 9 3 3 1 2 3 18 6 3 1 2 3 3 30 10 3 1 2 3 4 3 因此 第 N 个图形中的火柴棒的根数为 1 2 3 N 3 根 即为 3 1 2 NN 解法二 解法二 3 3 9 3 6 18 3 6 9 30 3 6 9 12 因此 第 N 个图形中的火柴棒的根数为 3 6 9 3N 3 1 2 3 N 3 1 2 NN 总结升华 在数图形的数量时 如能掌握 先单一 后 2 个复合 再 3 个复合 依次 类推 数出相应所有的结论 这样做不易重复和遗漏