第13讲：充分、必要条件与子集推出关系

高一上衔接课资料 王鹏兴整理 第 1 页 共 13 页 第十三讲 充分 必要条件与子集推出关系 复习要求复习要求 1 理解命题的概念 2 理解四种命题之间的内在联系 3 掌握充分条件 必要条件 充要条件的意义及判定 复习重点复习重点 1 充分条件 必要条件的概念 2 子集与推出关系等价性的理解与应用 3 掌握判断命题推出关系的方法 复习难点复习难点 1 判断命题的充分条件 必要条件 2 子集与推出关系等价性的证明 3 确定参数范围和判断推出关系 知识梳理知识梳理 一 充分条件与必要条件一 充分条件与必要条件 我们在上一节课学习了命题与推出的关系 命题的四种形式 等价命题 你能分别概括出 它们的内容和性质吗 如如 写出下列两个命题的条件和结论 并判断是真命题还是假命题 1 若 则 2 若 则 22 xab 2xab 0ab 0a 易得出结论 命题 1 为真命题 命题 2 为假命题 讨论讨论 对于命题 若 p 则 q 有时是真命题 有时是假命题 如何判断其真假的 我们将由此推出关系 引入新的概念 给出定义 给出定义 命题 若 p 则 q 为真命题 是指由 p 经过推理能推出 q 也就是说 如果 p 成立 那么 q 一定成立 换句话说 只要有条件 p 就能充分地保证结论 q 的成立 这时我们称条件 p 是 q 成立的充 分条件 一般地 若 p 则 q 为真命题 是指由 p 通过推理可以得出 q 这时 我们就说 由 p 可推出 q 记作 p q 1 充分与必要条件的概念 充分与必要条件的概念 1 充分条件充分条件 若 则是的充分条件 2 必要条件必要条件 若 则是的必要条件 3 充要条件充要条件 若既有 又有 则是的充分必要条件 简称充要条 件 也是的充要条件 2 推出关系具有传递性 若 则 若 则 称与等价 3 充要条件的证明 充要条件的证明 证明过程必须是 双向 的 即 既要由条件推出结论 充分性 既要由条件推出结论 充分性 又要由结论推出条件由结论推出条件 必要性 必要性 高一上衔接课资料 王鹏兴整理 第 2 页 共 13 页 4 四种命题形式 四种命题形式 如果原命题或原命题的逆否命题成立 则原命题的条件是结论成立的充分条件 如果原命题的否命题或逆命题成立 则原命题的条件是结论成立的必要条件 如果四种命题形式都成立 那么原命题的条件是结论成立的充要条件 若四种命题形式都不成立 那么原命题的条件是结论成立的既不充分也不必要条件 二 子集与推出关系二 子集与推出关系 思考 思考 问题问题 1 用 填空 Ax1x Bx3x 命题 命题 1x 3x 命题 命题 A B 提问 通过以上例题 对集合间关系和推出关系你能得出什么结论 问题问题 2 命题 是命题 的 充分不必要 条件 2 1x 1 1 2 0 xxx 命题 是命题 的 必要不充分 条件 2 1x 1x 问题问题 3 请写出的一个充分条件 3x 请写出的一个必要条件 3x 提问 提问 你是如何找到这个条件的 学生容易得出 小范围的能推出大范围的 这一直观朴素的结论 这种口语化的表述 还需进一步用准确的数学语言来表达 引导学生用集合间的 包含 或 包含于 的关系来刻 画 范围 的大小关系 从上面的例子我们发现是的充分条件 即 如果将满足 5x 3x 的元素组成集合 即 将满足的元素组成集合 即5x A 5 Ax x 3x B 可以得到 3 Bx x 如果 那么 反之亦然 所以子集和推出关系之间有着必然的联系 AB 这就是本节课研究的子集与推出关系 4 子集与推出关系 子集与推出关系 设 则 与 等价 Aa aBb b 具有性质具有性质AB 5 子集与推出关系的各种表述形式 子集与推出关系的各种表述形式 已知集合 Aa aBb b 具有性质具有性质 若则是的充分条件 BA 若则是的充分不必要条件 AB 若则是的必要条件 BA 若则是的必要不充分条件 AB 若 则是的充要条件 AB 若则是的既不充分也不必要条件 ABBA 高一上衔接课资料 王鹏兴整理 第 3 页 共 13 页 6 推出关系具有传递性 若 则 若 则 称与等价 设 则集合 之间的关系与 Aa a 具有性质 Bb b 具有性质AB 之间的关系 可用下表表示 集合之间 A B 的关系 与之间的推出关 系 是的 什么条件 原命题 若 则 的真假 逆命题 若 则 的真假 A B 充分非必要条件真命题假命题 A B 必要非充分条件假命题真命题 AB 充要条件真命题真命题 不满足以 A B 上三种情况 既非充分又非必要 条件 假命题假命题 典型例题典型例题 例例 1 若命题 p 的否命题是 q 命题 q 的逆命题是 r 则 r 是 p 的逆命题的 D A 原命题 B 逆否命题 C 逆命题 D 否命题 例例 2 已知 p 是方程的两根 q 则 p 是 q 的 A 12 x x 2 560 xx 12 5xx A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 例例 3 判断下列各命题中是成立的什么条件 pq 1 2 p2 xq2 xp 2 1x q1x 3 或 1p x 2y 3q xy 4 设 2 6 Ax xBx x pxAxB 或qxAB 5 已知 1 2 3 4 5 6 A p xA 6qxA 6 已知 x yR 22 1 2 0pxy 1 2 0qxy 解 1 设 AB 是的充分非必要条件 2 xxA 2 xxB pq 2 设 AB 是的 1 2 xxA 1 xxB 1 1 A 1 B pq 必要非充分条件 3 必要非充分条件 4 是的必要不充分条件pq 高一上衔接课资料 王鹏兴整理 第 4 页 共 13 页 5 既不充分也不必要条件 6 因为 或 1 2 P 1Qx yx 2 y PQ 所以 是的充分非必要条件 pq 例例 4 已知 p q 都是 r 的必要条件 s 是 r 的充分条件 q 是 s 的充分条件 那么 s r p 分别是 q 的什么条件 分析 画出关系图 1 21 观察求解 解 s 是 q 的充要条件 srq qs r 是 q 的充要条件 rq qsr p 是 q 的必要条件 qsrp 例例 5 求证 关于的方程有一个根为 1 的充要条件是x 2 0axbxc 0abc 证明略 例例 6 设 是的充分条件 求的范围 13 124 xmxmmR m 解 设 13Axx 124Bx mxm 因为是的充分条件 即 所以 AB 由右图可得 解得 1 1 324 m m 1 0 2 m 所以的取值范围是 m 1 0 2 m 变式练习 变式练习 设设 是是的充分条件 求的充分条件 求的范围 的范围 23 11 xxmxmmR 或 m 解 设 23Axx 11 Bx xmxmmR 或 是的充分条件 即 AB 画数轴分析可得或 解得或13m 12m 4m 1m 所以的取值范围是或 m4m 1m 例例 7 试用子集与推出关系判断是 甲是乙 的什么条件 1 2 x 2 x 2 2 1x 1x 1 1324mmx 高一上衔接课资料 王鹏兴整理 第 5 页 共 13 页 3 甲 乙 22 0 xy 0 0 xy 4 设 甲 乙 2 6 Ax xBx x xAxB 或xAB 解 1 设 2 xxA 2 xxB AB 是 的充分非必要条件 2 设 1 2 xxA 1 xxB AB 是 的必要非充分条件 1 1 A 1 B 3 甲是乙的充分必要条件 4 甲是乙的必要不充分条件 例例 8 利用子集与推出关系的等价性 写出下列语句的相关条件 写出的充分条件31x 写出的必要条件31x 写出的充要条件 31x 解 答案不唯一 例例 9 判断集合 之间的关系 5NkknnA 5 nZBn n 的个位数是 解 设 5 Nkkn 5 n 是个位数是的整数 BA 例例 10 设集合 那么 是 的 03 02 MxxNxx aM aN B A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 例例 11 是 的 A 22x 2 60 xx A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 例例 12 若命题是命题的充要条件 命题是命题的必要非充分条件 则命题是 命题的 条件 解 设命题对应的集合为 A 命题对应的集合为 B 命题对应的集合为 C 是的充要条件 AB A B 高一上衔接课资料 王鹏兴整理 第 6 页 共 13 页 又是的必要非充分条件 CB 所以是的充分非必要条件 CA 例例 13 设 A B C 三个集合 AB 是 A B C 的 A A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析 请同学们自己画图 A B C 但是 当 B N C R A Z 时 显然 A B C 但 AB 不成立 综上所述 AB A B C 而 A B C AB 即 AB 是 A B C 的充分条件 不必要 课后作业课后作业 充分与必要条件充分与必要条件 A 组组 1 或的一个充分非必要条件是 B 1 x 2 x A B C D 1 x1 x1 2 x 021 xx 2 若条件 p 条件 则是的 A 53x 2 56q xx qp A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件D 既不充分又不必要条件 3 设是的 A 则或或 12 11 xxqxxpqp A 充分但不必要条件 B 必要但不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4 若 A 是 B 成立的充分条件 D 是 C 成立的必要条件 C 是 B 成立的充要条件 则 D 是 A 成立的 B A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 C 高一上衔接课资料 王鹏兴整理 第 7 页 共 13 页 5 试说明是的什么条件 1 且 1x 2y 3xy 2 0ab 0 0ab 3 0 xy xyxy 解 1 充分非必要条件 2 必要非充分条件 3 充分非必要条件 6 设 是的充分条件 求实数的取值范围 14x xm m 解 4m 7 1 是否存在实数 使得是的充分条件 m20 xm 2 230 xx 2 是否存在实数 使得是的必要条件 m20 xm 2 230 xx 解 欲使得是的充分条件 则只要20 xm 2 230 xx 或 则只要即 1 2 m x xx x 3 x 1 2 m 2m 故存在实数时 使是的充分条件 2m 20 xm 2 230 xx 2 欲使是的必要条件 则只要20 xm 2 230 xx 或 则这是不可能的 故不存在实数时 使 1 2 m x xx x 3 x m 是的必要条件 20 xm 2 230 xx 8 已知求证 0 ab 3322 10abababab 的充要条件是 必要性 1 1abba 即 3322 ababab 3322 1 1 1 aaaaaa 323222 1 33120aaaaaaaaa 充分性 即 3322 0ababab 2222 0ab aabbaabb 得或 0 22 1 0abaabb 10ab 22 aabb 0 0 0abab 即 2 2 22 3 0 24 bb aabba 只有 既有10ab 1ab 综上所述 3322 10abababab 的充要条件是 高一上衔接课资料 王鹏兴整理 第 8 页 共 13 页 9 已知命题 命题 且是的充分条件 求实数 m 24x 31mxm 的取值范围 解 3m 12 m 4 3m 1 m m1 m 4 m 1 2 综上所述 m 4 10 求证 是的什么条件 xy 0 xy 11 xy 解 1 将充要条件和不等式同解变形相联系 2 可用分类讨论求解 注意不重不漏 可得为充分条件 证明略 11 设 m 0 且为常数 已知条件 p 条件 q x 或22mxm 35 x 若是的必要非充分条件 求实数 m 的取值范围 53 qp 解 设集合 A x 2 m x 2 m B x x 或 x 3553 由题设有 p q 且 q 不能推出 p 所以 A B 因为 m 0 所以 2 m 2 m 35 故由 2 m 且 2 m 0 m 2 故实数 m 的取值范围为 0 2 5355 B 组组 1 设原命题 若则 真而逆命题假 则是的 A pqpq 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件 2 的否定是 D 0a b c三个数中有且只有一个为 A B 0a b c三个数全为 0a b c三个数中有两个为 C D 0a b c三个数没有一个为 00a b c三个数至少有两个为 或没有一个为 3 命题 P 如果 的否命题是 C 1 1xx 那么 A B 1 1xx 如果那么1 1xx 如果那么 C D 1 1xx 如果那么1 1xx 如果那么 4 下列各组的两个命题互为等价命题的是 A A B ABABB 与aAaAB 与 C D aABaB 与aABaAB 与 5 设 A B是两个集合 下列四个命题 B AxAxB 不包含于对任意有BAAB 不包含于 BAA 不包含于不包含BB AxA xB 不包含于存在 其中真命题的序号是 高一上衔接课资料 王鹏兴整理 第 9 页 共 13 页 解 反例 1 2 3 2 3 4AB 6 条件甲 的两根 条件乙 且 2 00axbxca 1 0 x 2 0 x 0 b a 则甲是乙的 A 0 c a 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 7 是的 必要不充分 条件 0 x 2 xx 8 已知 若是的必要而不充分条 210px 22 2100q xxmm qp 件 求实数的取值范围 m 解 由得 22 210 xxm 110mxm m 由 210 x 由是的必要而不充分条件知qp 故的取值范围为 0 1203 110 m mm m m03m 9 设 2Axxa R 23By yxxA 求使的充要条件 2 Cz zxxA CB 答案 1 3 2 a 10 求方程有实根的充要条件 2 210axx 答案 1a 11 已知关于 x 的一元二次方程 222 1 440 2 44450mxxxmxmm 求方程 1 和 2 都有整数解的充要条件 mZ 解 1 有解 则 2 有解 则 又 1m 5 4 m mZ 1 0 1m 检验后 1m 12 已知 p 2 x 10 q 1 m x 1 m 若是的必要不充分条件 求实数 m 的取值qp 范围 解 9m 课后作业课后作业 子集推出关系子集推出关系 A 组组 1 若非空集合 则 或 是 的 条件 MN aM aN aMN 高一上衔接课资料 王鹏兴整理 第 10 页 共 13 页 必要非充分 2 一个整数的末位数字是 2 是这个数能被 2 整除的 A A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 如果都是实数 那么 是 关于 x 的方程有一个 a b cp0ac q 2 0axbxc 正根和一个负根的 C A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 4 是的充要条件的是 C pq A 二元一次方程组有唯一解p1a q 1 1 xy axy B 两条对角线互相垂直平分 四边形是正方形pq C p325x q325x D 两个三角形相似 两个三角形面积之比等于对应的高之比pq 5 若 A 是 B 成立的充分条件 D 是 C 成立的必要条件 C 是 B 成立的充要条件 则 D 是 A 成立的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 分析 通过 B C 作为桥梁联系 A D 解 A 是 B 的充分条件 AB D 是 C 成立的必要条件 CD 是 成立的充要条件 CBCB 由 得 AC 由 得 AD D 是 A 成立的必要条件 选 B 6 命题 的一个必要不充分条件是 B 2 2530 xx 1 3 2 x 1 4 2 x 1 3 2 x 12x 7 1 有实根 是 的 2 00axbxca 0ac 高一上衔接课资料 王鹏兴整理 第 11 页 共 13 页 2 是 的 ABCA B C ABCA B C 答案 1 必要不充分条件 2 充分不必要条件 8 已知是的充分条件 是的充要条件 是的充分条件 是是必要条ABBCA EDC 件 则是的 条件 DE 答案 必要不充分条件 9 判断下列集合 A 与 B 的关系 1 A x x 是 12 的约数 B x x 是 36 的约数 2 A x x 3 B x x 5 3 A x x 是矩形 B x x 是有一个角为直角的平行四边形 解 1 因为 x 是 12 的约数 x 是 36 的约数 所以 A B 2 因为 x 5 x 3 所以 B A 3 因为 x 是矩形 x 是有一个角为直角的平行四边形 所以 A B 10 已知 A x x 是等腰三角形 B x p x 试确定一个集合 B 使 A B 解 因为 A B 则 x 是等腰三角形 x 具有性质 p x p x x 是三角形 所以 B x x 是三角形 11 试用子集与推出的关系来说明是的什么条件 1 且 1x 2y 3xy 2 0ab 0 0ab 3 0 xy xyxy 解 1 充分非必要条件 2 必要非充分条件 3 充分非必要条件 12 设 是的充分条件 求实数的取值范围 14x xm m 解 4m 13 设 是方程 x2 ax b 0 的两个实根 试分析 a 2 且 b 1 是两根 均大于 1 高一上衔接课资料 王鹏兴整理 第 12 页 共 13 页 的什么条件 分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系 解题时需 要搞清楚条件 与结论 分别指什么 然后再验证是还是还是 pqpqqp pq 1 1 a2b1由 得 1 qp 2 举反例 取 1 4 2 上述讨论可知 a 2 b 1 是 1 1 的必要但不充分条件 B 组组 1 设原命题 若则 真而逆命题假 则是的 A pqpq 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分又不必要条件 2 设