2018年全国高中数学联赛山西省预赛试题及参考答案

2018 年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答 一 填空题 每小题 8 分 共 64 分 1 集合中 末尾数字为 8 的元素之和是 1 2 2018M 答案 204626 解 若将所有的这种数划去其尾数 8 剩下的数就是 0 1 2 201 共计划去 202 个 8 因此所求的和值为 100122018202204626S 2 将全体正整数按自小到大的顺序排列 然后这样分段 使得第一段有 1 个数 第二段有 3 个数 第段有个数 那么 第 20 段中的第 18 个数是 n21n 答案 379 解 显然 前段共有个数 即第段中最大数为 于是第 19n 2 13521nn n 2 n 段中的最大数为 则第 20 段中第 18 个数为 2 19361 361 18379 3 函数的值域是 2 1 2 x y x 答案 3 0 3 解 因 又据 令 则 即 1 1x 0y 2 2 2 1 2 x y x 2tx 2 2 2 12t y t 视为 的二次方程 其判别式 得 22 1430ytt t 2 161210y 2 1 3 y 因 所以 3 3 y 0y 3 0 3 y 另解 令 则 1 1x cosx 0 sin 2cos y 0y 2sincosyy 所以 即 因 则 22 1sin1yy 22 14yy 2 1 3 y 0y 3 0 3 y 4 若正整数使得恒介于与之间 则 n3 3 1 n 3 1 1n n 答案 4 解 当为正整数时 易知 由 得 由n 33 1nn 3 31 n 333 3 231 n 得 所以 此区间长度为 1 其中只有唯 3 31 1n 13 3 2 n 13 3 33 3 22 n 一的整数 4 所以 4n 5 若双曲线的两个焦点分别是椭圆的两个顶点 而双曲线的两条准线 1 L 22 2 22 1 54 xy L 1 L 分别通过椭圆的两个焦点 则双曲线的方程是 2 L 1 L 答案 22 1 1510 xy 解 椭圆的长轴顶点为 则其焦点在轴上 用 分别表示 5 0A 5 0BX 1 c 2 c 1 L 的半焦距 则 而 所以椭圆焦点为 2 L 1 5c 222 2 549c 2 3c 1 3 0F 2 3 0F 所以双曲线的实轴为轴 设其方程为 由 所以 X 22 22 1 xy ab 2 1 3 a c 2 15a 因此双曲线的方程是 2222 1 51510bca 1 L 22 1 1510 xy 6 计算的值为 276 coscoscos 777 答案 1 8 解 记 则 246 coscoscos 777 S 24 coscoscos 777 S 2422444 8sin8sincoscoscos4sincoscos2sincos 7777777777 S 所以 8 sinsin 77 1 8 S 7 四面体中 有一条棱长为 3 其余五条棱长皆为 2 则其外接球的半径为 ABCD 答案 21 3 解 设 分别是 的中点 在面3BC 2ABACADBDCD EFBCADD 上的射影应是的外心 由于上的任一点到 等距 则外接球ABCHABC DHABC 心在上 因 所以 于是为的中垂线 所以球心ODHABCDBC AEDE EFAD 是 的交点 且是等腰的垂心 记球半径为 由 得ODHEFEAD rDOFEAF 而 所以 AE DF r EF 2 22 37 2 24 AE 1DFAF 222 3 4 EFAEAF 721 33 r 8 在一张印有 4 月 29 日的生日贺卡上 某位小朋友在 4 与 29 之间添加了两个正整数 x 得到一个五位数 结果发现它恰好是自己的生日所对应的正整数的平方 y429xyT 则这位小朋友生日对应的数 4292xyTH T 答案 223 解 由于 而 所以 又4000042950625xy 2 40000200 2 50625225 200225T 因的末位数为 9 所以的末位数是 3 或 7 在 200 与 225 之间 这种数共有 5 2 429Txy T 个 203 207 213 217 223 验算知 只有 因此 对应的日期 2 22349729 223T 是 2 月 23 日 二 解答题 16 分 求解函数的最大最小值 3 2 2 1 xx y x 解 易知函数定义域为全体实数 由于 令 则 32 222 2 121 2 11 1 xxxx y xx x tanx 所以 因此 当 2 2 sin2 1 x x 2 2 1 cos2 1 x x 11 sin2 cos2sin4 24 y 11 44 y 时 函数分别取得最大 最小值 42 2 k y 三 解答题 20 分 如图 圆内接四边形中 自的中点 作 ABCDADMMNBC 为垂足 MEAB MFCD NEF 证明 过线段的中点 MNEF 证 在线段 上分别取点 使 则四点共圆ABCDGHGEAE HFDF AGHD 以点为该圆的圆心 所以 于是 则M180BGHADCABC GHBCA 设垂足为 于是为的中点 圆心至圆弦的垂线 平分该弦 这MNGH KKGHM 样 为四边形四条边的中点 因此为平行四边形 故其对EKFMAGHDEKFM 角线互相平分 即过线段的中点 MNEF 四 解答题 20 分 已知正整数的各位数字中 共含有个 1 个 2 个 9 n 1 a 2 a 9 a 证明 并确定使等号成立的条件 12 23 aa 9 101 a n 证 对正整数的位数使用数学归纳法 当时 显然所证式成立等号 这是由于 n110n 此时数的十进制表达中只有一位数字 也就是 其余 于是 左n1 n a 10 i ai 右 1 1n 设在时结论已成立 则当时 据带余数除法 存在 101 k nk 1 1010 kk n r 使 19r 1 10knrn 1 0101 k n 如果 则数的十进制表达式中 其余 显然有 1 0n n1 r a 0 i air 若 设的各位数字中 含有个 1 个 1 11101 a rrn 1 1101 k n 1 n 1 a 2 a 2 个 9 则的各位数字中 含有个 个 据归纳假设 9 an1 r a r i a 19 iiir 对有 所以 1 n 12 1 231101 r n a aaa rn 912 1 1 2311011 r a aaa rrn 111 111011 k r nnrnn 即当时结论成立 由归纳法 对一切正整数 结论皆成立 欲使等号成立 1 1010 kk n n 由证明过程可知 或者是一位数 在数