2018届高考数学艺术生短期集训专题知识突破：考点9 幂函数

考点九 幂函数 知识梳理 1 幂函数的概念 如果一个函数 底数是自变量 x 指数是常量 即 y x 这样的函数称为幂函数 注意区分幂函数与指数函数 幂函数的一般形式是 y x 幂函数中自变量 x 处在底数位置 幂指数为常数 指数函数的一般形式是 y x 指数函数中自变量 x 处在指数位置 底数为常数 2 五个简单幂函数的图象和性质 1 图象比较 2 性质比较 函数 特征 性质 y xy x2y x3 y 1 2 y x 1 定义域RRR 0 x x R 且 x 0 值域R 0 R 0 y y R 且 y 0 奇偶性奇函数偶函数 奇函 数 非奇非偶 函数 奇函数 单调性增 x 0 时 增 x 0 时 减 增增 x 0 时 减 x 0 时 减 典例剖析 题型一题型一 幂函数的概念幂函数的概念 例例 1 下列函数中是幂函数的是 y 2x y 2x y x2 y 2 答案 解析 根据幂函数的定义 y x 是常数 得出 y x2是幂函数 y 2x y 2x y 不是幂函数 2 变式训练变式训练 下列函数 y x2 1 y 2x2 其中幂函数 1 2 2 3 1 3 1 是 答案 解析 根据幂函数的定义 y x 是常数 得出 是幂函数 例例 2 已知幂函数 f x 的图象经过 9 3 则 f 2 f 1 答案 2 1 解析 设幂函数 f x xa 它的图象经过 9 3 所以 3 9a a 幂函数为 f x 1 2 1 2 所以 f 2 f 1 2 1 变式训练变式训练 函数 y m2 m 1 是幂函数 且 f x f x 则实数 m 的值为 2 2 3 答案 1 解析 因为函数 y m2 m 1 是幂函数 2 2 3 所以 m2 m 1 1 解得 m 1 或 m 0 因为 f x f x 所以函数是偶函数 当 m 0 时 幂函数为 y x 3 函数表示奇函数 当 m 1 时 y x 4 函数是偶函数 解题要点解题要点 1 幂函数的形式是 y x R 其中只有一个参数 因此只需一个条件即可确定其 解析式 2 若幂函数 y x R 是偶函数 则 必为偶数 当 是分数时 一般将其先化为根式 再判 断 题型二题型二 幂函数的图象幂函数的图象 例例 3 下图给出 4 个幂函数的图象 则图象与函数的大致对应是 答案 3 2 1 2 1 解析 图 说明函数定义域为 R 有 且观察图象可知图 为 则图 为 1 3 2 2 1 3 又图 中函数定义域为 所以其对应 0 1 2 综上可知 3 2 1 2 1 变式训练变式训练 下列命题中正确的是 幂函数的图象一定过点 0 0 和点 1 1 若函数 f x xn是奇函数 则它在定义域上单调递增 幂函数的图象上的点一定不在第四象限 幂函数的图象不可能是直线 答案 解析 幂函数 y x 1的图象不过点 0 0 它在 0 0 上单调递减 于是 都不 正确 幂函数 y x 的图象是直线 不正确 当 x 0 时 f x x 0 必成立 所以 幂函数的图象 上的点一定不在第四象限 答案为 解题要点解题要点 若幂函数 y x 在 0 上单调递增 则 0 若在 0 上单调递减 则 0 熟 记 5 个简单幂函数的图象是解题的关键 题型三题型三 幂函数有关的大小比较问题幂函数有关的大小比较问题 例例 4 已知 则 a b c 从小到大用 号排列为 2 3 3 4 3 2 3 4 log 2 2 3 答案 解析 因为幂函数在单调递增 且 所以 即 又 3 4 0 2 3 3 2 2 3 3 4 3 2 3 4 2 3 0 1 0 0 22 3 21 0 因此 c b 解析 因为在上是增函数 所以又因为在上是减函数 2 5 0 2 5 所以 解题要点解题要点 同底数的两个数比较大小 考虑用指数函数的单调性 同指数的两个数比较大小 考虑 用幂函数的单调性 若指数大于 0 对应的幂函数在上是增函数 若指数小于 0 对应的 0 幂函数在上是减函数 若指数和底数都不相同 则可借助中间值 0 或 1 比较 0 当堂练习 1 已知幂函数 y f x 的图象过 4 2 点 则 1 3 答案 3 3 解析 已知幂函数 y x 的图象过点 4 2 则 4 2 故函数的解析式为 y f x 1 2 1 2 1 3 1 3 1 2 3 3 2 当 x 0 时 幂函数 y m2 m 1 x 5m 3为减函数 则实数 m 的值为 答案 m 2 解析 因为函数 y m2 m 1 x 5m 3既是幂函数又是 0 的减函数 所以解得 m 2 2 1 1 5 3 c b 解析 y x x 0 为增函数 a c 2 5 y x x R 为减函数 c b a c b 2 5 4 已知幂函数 f x x 的图象经过点 则 f 4 的值为 2 2 2 答案 1 2 5 若幂函数的图象过点 2 则它的单调递增区间是 1 4 答案 0 解析 设 y xa 则 2a a 2 y x 2 1 4 课后作业 一 一 填空题填空题 1 在函数 y y 2x2 y x2 x y 1 中 幂函数的个数是 1 2 答案 1 解析 幂函数的定义是 形如 y x R 的函数 叫做幂函数 在函数 y y 2x2 y x2 x y 1 中 1 2 只有一个 y x 2符合定义 是幂函数 1 2 2 已知幂函数 f x xm的图象经过点 4 2 则 f 16 答案 4 解析 由于知幂函数 f x xm的图象经过点 4 2 则有 4m 2 解得 m 故 f 16 4 1 216 1 2 3 若函数是幂函数 则 m 的值为 2 3 2 3 答案 1 解析 是幂函数 2 3 2 3 2m 3 1 m 1 4 已知幂函数 y f x 的图象过 36 6 则此函数的解析式是 答案 1 2 解析 设幂函数 y f x x 由于它的图象过 36 6 故有 36 6 故此函数的解析式是 1 2 1 2 5 在同一坐标系中 函数的图象可能是 0 答案 解析 对 没有幂函数的图象 不符合题目要求 对 中 0 中 不符合题意 对 中中 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 6 设 则的大小关系是 1 2 3 1 3 0 2 2 1 3 答案 解析 由函数的性质得到所以 1 2 3 1 7 已知幂函数 y f x 的图象过点 则 log4f 2 的值为 1 2 2 2 答案 1 4 解析 由设 f x xa 图象过点 1 2 2 2 a 解得 a 1 2 2 2 1 2 log4f 2 log42 1 2 1 4 8 对于幂函数 f x x 是有理数 给出以下三个命题 存在图象关于原点中心对称的幂函数 存在图象关于 y 轴轴对称的幂函数 存在图象与直线 y x 不重合 但关于直线 y x 对称的幂函数 其中真命题的是 答案 解析 幂函数 y x3是奇函数 所以 结论 正确 幂函数 y x2是偶函数 所以 结论 正确 幂函数 y 的图象关于直线 y x 对称 所以 结论 正确 1 9 下列函数 1 y x3 2 y x2 3 y 4 y 在 0 上是增函数的是 1 3 2 答案 1 解析 由幂函数的图象和性质得 1 是奇函数 在 0 上递增 2 是偶函数 在 0 上递减 3 奇函数 在 0 上递减 4 在 0 上无意义 故区间 0 不是函数的单调区间 故答案是 1 10 函数 f x xn 1 恒过一个定点 这个定点坐标是 答案 1 2 解析 由于函数 y xn恒过一个定点 1 1 故函数 f x xn 1 恒过一个定点 1 2 故答案为 1 2 11 比较大小 填 或 1 2 5 0 5 1 3 0 5 2 3 3 3 答案 1 2 解析 1 因为幂函数 y x0 5在区间 0 上是增函数 又 所以 2 5 1 3 2 5 0 5 1 3 0 5 2 因为幂函数 y x3在区间 上是增函数 又 3 所以 3 3 3 二 解答题二 解答题 12 比较大小 1 2 1 2 3 1 25 3 1 5 1 2 1 7 1 2 3 5 25 1 5 26 1 5 26 2 解析 1 y x在 0 上是增函数 1 5 1 7 1 2 1 5 1 2 1 25 1 2 3 1 25 3 3 y x 1在 0 上是减函数 5 255 26 1 y 5 26x是增函数 1 2 5 26 1 5 26 2 综上 5 25 1 5 26 1 5 26 2 13 已知幂函数