万有引力和航天知识归类分析总结(超有用哦)

万有引力和航天知识的归类分析 一 一 核心知识核心知识 万有引力定律和航天知识的应用离不开两个核心 1 一条主线 本质上是牛顿第二定律 即万有引力提供天体 2 22 2 2 Mmv Gmammw rm rTr 做圆周运动所需要的向心力 2 黄金代换式 此式往往在未知中心天体的质量的情况下和一条主线结合使用 2 GMgR 二 二 具体应用具体应用 应用一 卫星的应用一 卫星的 v T a 向与轨道半径向与轨道半径 r 的关系及应用的关系及应用 1 理论依据 一条主线 理论依据 一条主线 2 22 2 2 Mmv Gmammw rm rTr 2 实例 实例 1 如图所示 a b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星 它们距地面的高度分别是 R 和 2R R 为地球半径 下列说法中正确的是 A a b 的线速度大小之比是 1 B a b 的周期之比是 1 2 C a b 的角速度大小之比是 3 4 D a b 的向心加速度大小之比是 9 4 应用二 测量中心天体的质量和密度应用二 测量中心天体的质量和密度 1 方法介绍 方法介绍 方法一 方法一 T r 计算法计算法 在知道 T r 或 v r 或 r 的情况下 根据一条主线均可计算出中心天 体的质量 这种方法统称为 T r 计算法 在知道中心天体半径的情况下利用密度公式 还可以计算出中心天体的密度 方法二 方法二 g R 计算法计算法 利用天体表面的重力加速度利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径和天体半径 R 2 实例分析 实例分析 已知万有引力常量 G 地球半径 R 月球和地球之间的距离 r 同步卫星距地面的高度 h 月 球绕地球的运转周期 地球的自转周期 地球表面的重力加速度 g 某同学根据以上 1 T 2 T 天体密度故天体质量由于 2 2 G gR Mmg R Mm G 4 3 3 4 3GR g R M V M 条件 提出一种估算地球质量 M 的方法 同步卫星绕地心做圆周运动 由 1 请判断上面的结果是否正确 并说明理由 如不正确 请给出正确的解法和结果 2 请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果 应用三 双星问题应用三 双星问题 1 双星问题的特点 双星问题的特点 靠双星间的万有引力提供双星做圆周运动的向心力靠双星间的万有引力提供双星做圆周运动的向心力 双星做圆周运动的圆心在双星间的连线上的某点双星做圆周运动的圆心在双星间的连线上的某点 两星球做圆周运动的周期和角速度相等两星球做圆周运动的周期和角速度相等 实例实例 3 在天体运动中 将两颗彼此相距较近的行星称为双星 它们在相互的万有引力作用下间 距保持不变 并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动 如果双星间距为 质量分别 为和 试计算 1 双星的轨道半径 2 双星的运行周期 3 双星的线速 度 2 2 32 2 2 2 4 2 GT h Mh T m h Mm G 得 应用四 第一宇宙速度的计算应用四 第一宇宙速度的计算 第一宇宙速度 最小发射速度 最大环绕速度 1 1 第一宇宙速度的计算方法 第一宇宙速度的计算方法 方法 1 根据计算 2 2 Mmv Gm rr 方法 2 根据 特别注意 g 可以和有关抛体运动的知识联系在一起vgR 2 2 实例 实例 4 4 2009 北京 已知地球半径为 R 地球表面重力加速度为 g 不考虑地球自转的影响 1 推导第一宇宙速度 v1的表达式 2 若卫星绕地球做匀速圆周运动 运行轨道距离地面的高度为 h 求卫星的运行周期 T 应用五 卫星的变轨问题应用五 卫星的变轨问题 1 问题突破口 问题突破口 卫星变轨问题必定和离心和向心运动联系在一起 当卫星从高轨道运动到低轨道时做 向心运动 此时卫星受到的万有引力大于向心力 当卫星从低轨道运行到高轨道的时做离 心运动 此时卫星受到的万有引力小于向心力 实例 5 1 如图所示 假设月球半径为 R 月球表面的重力加速度为 g0 飞船在距月球表面高度为 3R 的圆形轨道 运动 到达轨道的 A 点时 点火变轨进入椭圆轨道 到达轨道的近月点 B 再次点火进入月球 近月轨道 绕月球做圆周运动 求 1 飞船在轨道 上的运行速率 2 飞船在 A 点处点火时 动能如何变化 3 飞船在轨道 绕月球运行一周所需的时间 2 我国发射的 嫦娥一号 探月卫星简化后的路线示意图 如 图所示 卫星由地面发射后 经发射轨道进入停泊轨道 然后在停泊轨 道经过调速后进入地月转移轨道 经过几次制动后进入工作轨道 卫 星开始对月球进行探测 已知地球与月球的质量之比为 a 卫星的停 泊轨道与工作轨道半径之比为 b 卫星在停泊轨道和工作轨道上均可 视为做匀速圆周运动 则 A 卫星在停泊轨道和工作轨道运动的速度之比为 a b B 卫星在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为 b a C 卫星在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度 D 卫星从停泊轨道转移到地月转移轨道 卫星必须加速 3 某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用 绕地球运转的轨道会慢慢改变 每次测量中 卫星的运动可近似看作圆周运动 某次测量卫星的轨道半径为 后来变为 以 表示卫星在这两个轨道上的线速度大小 表示卫星在这两个轨道上绕地球运动 的周期 则 A B C D 应用六 卫星的追及问题应用六 卫星的追及问题 1 1 问题突破口 问题突破口 卫星的追及问题关键找到两卫星追及过程中所转过的角度关系 从第一次相距最近到第二次相距最近 两卫星转过的角度差为 2 从第一次相距最远到第二次相距最远 两卫星转过的角度差为 2 2 实例 实例 6 6 两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动 地球半径为 R 卫星离a 地面的高度等于 R b 卫星离地面高度为 3R 则 1 两卫星运行周期之比ba 是多少 2 若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方 则至少经过多少 T ab Ta 个周期与相距最远 b 应用七 天体运动中的超重和失重问题应用七 天体运动中的超重和失重问题 1 问题突破口问题突破口 超重和失重问题本质上是牛顿第二定律的应用 此类问题要特别注意随着高度的超重和失重问题本质上是牛顿第二定律的应用 此类问题要特别注意随着高度的 变化重力加速度变化重力加速度 g 也变化也变化 2 实例实例 7 某物体在地面上受到的重力为 160N 将它放置在卫星中 在卫星以加速度随 1 2 a g 火箭加速上升的过程中 当物体与卫星中的支持物的相互压力为 90N 时 求此时卫星距地 球表面有多远 地球半径 取 3 R 6 4 10 km g 2 10m s 应用八 天体运动和抛体运动的结合问题应用八 天体运动和抛体运动的结合问题 1 关键点关键点 利用抛体运动求出该地的重力加速度 2 实例 实例 8 1 在太阳系中有一颗行星的半径为 R 若在该星 球表面以初速度 v0竖直上抛一物体 则 该物体上升 的最大高度为 H 已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽 略不计 万有引力常量 G 未知 则根据这些条件 可以求出的物理量是 A 该行星的密度 B 该行星的自转周期 C 该星球的第一宇宙速度 D 该行星附近运行的卫星的最小周期 2 宇航员在月球上将一小石块水平抛出 最后落在月球表面上 如果已知月球半径 R 万有 引力常量 G 要估算月球质量 还需测量出小石块运动的物理量是 A 抛出的高度 h 和水平位移 x B 抛出的高度 h 和运动时间 t C 水平位移 x 和运动时间 t D 抛出的高度 h 和抛出点到落地点的距离 L 应用九 在赤道上的物体 近地卫星和同步卫星的比较应用九 在赤道上的物体 近地卫星和同步卫星的比较 1 1 关键点 关键点 1 在赤道上的物体和同步卫星具有相同的 和 T 2 近地卫星和同步卫星均由各自受到的万有引力提供向心力 往往根据 F万 F向建 立方程分析 2 2 实例 实例 9 9 1 地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动 所受到的向心力为 F1 向心加 速度为 a1 线速度为 v1 角速度为 1 绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星 高度忽略 所受到的向心力为 F2 向心加速度为 a2 线速度为 v2 角速度为 2 地球同步卫星所受 到的向心力为 F3 向心加速度为 a3 线速度为 v3 角速度为 3 地球表面的重力加速度 为 g 第一宇宙速度为 v 假设三者质量相等 则 A F1 F2 F3 B a1 a2 g a3 C v1 v2 v v3 D 1 3 2 2 2 同步卫星距地心间距为 r 运行速率为 v1 加速度为 a1 地球赤道上的物体随地球 自转的向心加速度为 a2 地球半径为 R 第一宇宙速度为 v2 则下列比值正确的是 A B C D R r a a 2 12 2 1 R r a a r R v v 2 1 R r v v 2 1 参考答案参考答案 实例实例 1 思路点拨 1 谁提供 a b 两颗卫星的向心力 2 如何选择向心力公式 小结 小结 轨道模型 轨道模型 在中心天体相同的情况下卫星的在中心天体相同的情况下卫星的 r 越大越大 v a 越小 越小 T 越大 越大 r 相同 则卫星的相同 则卫星的 v a T 也相同 也相同 r v a T 中任一发生变化其它各量也会变化 中任一发生变化其它各量也会变化 实例实例 2 解析 1 上面结果是错误的 地球的半径 R 在计算过程中不能忽略 正确的解法和结果 得 2 解法一 在地面物体所受的万有引力近似等于 重力 由 解得 解法二 对月球绕地球做圆周运动 得 实例实例3 分析 双星系统中 两颗星球绕同一点做匀速圆周运动 且两者始终与圆心共线 相同分析 双星系统中 两颗星球绕同一点做匀速圆周运动 且两者始终与圆心共线 相同 时间内转过相同的角度 即角速度相等 则周期也相等 但两者做匀速圆周运动的半径不时间内转过相同的角度 即角速度相等 则周期也相等 但两者做匀速圆周运动的半径不 相等 相等 解 设行星转动的角速度为 周期为 1 如图 对星球 由向心力公式可得 同理对星球有 两式相除得 即轨道半径与质量成反比 2 2 2 2 hR T m hR Mm G 2 2 32 4 GT hR M 2 mg R GMm G gR M 2 2 2 1 2 r T m r Mm G 2 1 32 4 GT r M 又因为 所以 2 因为 所以 3 因为 所以 说明 处理双星问题必须注意两点 说明 处理双星问题必须注意两点 1 1 两颗星球运行的角速度 周期相等 两颗星球运行的角速度 周期相等 2 2 轨 轨 道半径不等于引力距离 这一点务必理解 弄清每个表达式中各字母的含义 在示意图道半径不等于引力距离 这一点务必理解 弄清每个表达式中各字母的含义 在示意图 中相应位置标出相关量 可以最大限度减少错误 中相应位置标出相关量 可以最大限度减少错误 实例实例 4 4 解析 1 设卫星的质量为 m 地球的质量为 M 地球表面附近满足 G mg 解得 GM R2g 2 R Mm 卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力 m G R v2 1 2 R Mm 式代入 式 得到 v1 Rg 2 考虑 式 卫星受到的万有引力为 F G 2 2 2 hR mgR hR Mm 由牛顿第二定律 F R h 2 2 4 T m 式联立解得 T g hR R 3 2 实例实例 5 1 解析 设月球的质量为 M 飞船的质量为 m 则 2 0 22 4 4 MmvMm GmGmg RRR 解得 2 动能减小 3 设飞船在轨道 绕月球运行一周所需的时间为 T 则 故 2 AD 3 分析 空气阻力作用下 卫星的运行速度首先减小 速度减小后的卫星不能继续沿原 轨道运动 由于而要作近 向 心运动 直到向心力再次供需 平衡 即 卫星又做稳定的圆周运动 如图 近 向 心运动过程中万有引力方向与卫星运动方向不垂直 会让卫星加速 速度增大 从能量角度看 万有引力对卫星做正功 卫星动能增加 速度增大 且增加 的数值超过原先减少的数值 所以 又由可知 解 应选 C 选项 说明 说明 本题如果只注意到空气阻力使卫星速度减小的过程 很容易错选 B 选项 因此 分析问题一定要全面 切忌盲目下结论 卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面 卫 星定轨和返回都要用到这个技术 Rgv 0 2 1 2 2 0 R T mmg 2 0 g R T 以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析 如图 在轨道远点 万有引力 要使卫星改做圆周运动 必须满足和 而在远点明 显成立 所以只需增大速度 让速度增大到成立即可 这个任务由卫星自带的 推进器完成 神舟 飞船就是通过这种技术变轨的 地球同步卫星也是通过这种技术定 点于同步轨道上的 实例实例 6 分析 分析 两卫星周期之比可按基本思路处理 要求与相距最远的最少时间 其实是一个 追及和相遇问题 可借用直线运动部分追及和相遇问题的处理思想 只不过 关键一步应 该变换成 利用角位移关系列方程 解 解 1 对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式 可得 所以 2 由可知 即转动得更快 设经过时间 两卫星相距最远 则由图可得 2 3 其中时对应的时间最短 而 所以 得 说明 说明 圆周运动中的追及和相遇问题也应 利用 角 位移关系列方程 当然 如 果能直接将角位移关系转化成转动圈数关系 运算过程更简洁 但不如利用角位移关系容 易理解 而且可以和直线运动中同类问题的解法统一起来 记忆比较方便 常见情况下的 角位移关系如下 请自行结合运动过程示意图理解 设 则 实例实例 7 7 分析 分析 物体具有竖直向上的加速度 处于超重状态 物体对支持物的压力大于自身实际重 力 而由于高空重力加速度小于地面重力加速度 同一物体在高空的实际重力又小于在地 面的实际重力 解 解 如图 设此时火箭离地球表面的高度为 火箭上物体对支持物的压力为 物体受到的重力为 根据超 失重观点有 可得 而由可知 所以 说明 说明 航天器在发