高三数学 第二篇 阶段素质检测（二）课时精练 理 北师大版

用心 爱心 专心 1 阶段质量检测阶段质量检测 二二 函数 导数及其应用函数 导数及其应用 本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 2009 年上海模拟 函数 f x 在区间 0 上的单调性为 A 都是增函数 B 都是减函数 C f x 是增函数 g x 是减函数 D f x 是减函数 g x 是增函数 解析解析 f x 在 x 0 上为减函数 g x log f 1 2 x 在 0 上为增函数 答案答案 D 解析解析 答案答案 B 3 设 a 20 3 b 0 32 c logx x2 0 3 x 1 则 a b c 的大小关系是 A a b c B b a c C c b a D b c a 解析解析 a 20 320 1 1 a 2 又 b 0 321 c logx x2 0 3 logxx2 2 c a b 答案答案 B 4 已知函数 f1 x ax f2 x xa f3 x logax 其中 a 0 且 a 1 在同一坐标系中画 出其中两个函数在第一象限内的图象 其中正确的是 解析解析 从选项 A 可看出两图象应为 f1 x ax与 f2 x xa 由 f1 x 的图象知 a 1 由 f2 x 的图象知 a1 由 f3 x 图象知 a 1 可能正确 对于选项 C 表示 f1 x ax与 f3 x logax 的图象 由 f1 x 知 a 1 由 f3 x 知 0 a1 由 f1 x 的 图象知 0 a1 函数 y logax 的定义域为 m n m n 值域为 0 1 定义 区间 m n 的长度等于 n m 若区间 m n 长度的最小值为 则实数 a 的值为 解析解析 在坐标平面内先画出函数 f x logax 的图象 再将其图象位于 x 轴下方的 部分 翻折 到 x 轴的上方 与 f x 本身不在 x 轴下方的部分共同组成函数 g x logax 的图象 注意到 g 1 0 g a 1 结合图形可知 要使函数 g x 的值 用心 爱心 专心 3 答案答案 B 6 如图所示 液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中 开始时 漏斗盛满液体 经过 3 分钟漏完 已知圆柱中液面上升的速度是一个常量 H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离 则 H 与下落时间 t 分钟 的函数关系表示的图象只可能是 解析解析 由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口 当时间取t 时 漏斗中液面下落 的高度没有达到漏斗高度的 对比四个选项的图象可知选 B 答案答案 B 7 设函数 f x x 1 x 2 x 3 x 4 则 f x 0 有 A 分别位于 1 2 2 3 3 4 内三个根 B 四个实根 xi i i 1 2 3 4 C 分别位于 0 1 1 2 2 3 3 4 内四个根 D 分别位于 0 1 1 2 2 3 内三个根 解析解析 用心 爱心 专心 4 用数轴穿根法画出 f x 的图象 如图 根据导函数的值与原函数的单调性之间的关系可 知 A 选项正确 答案答案 A 8 2009 年青岛模拟 设函数 f x 集合 M x f x 0 P x f x 0 M 是 P 的真子集 则实数 a 的取值范围是 A 1 B 0 1 C 1 D 1 解析解析 f x 0 当 a 1 时 a x1 时 1 x0 都有 f x M 成 立 则称 f x 是 D 上的有界函数 其中 M 称为函数 f x 的上界 若函数 f x 1 a 在 0 上是以 3 为上界的有界函数 则实数 a 的取值范围是 A 5 0 B 4 1 C 4 0 D 5 1 解析解析 由题意知 f x 3 在 0 上恒成立 即 3 f x 3 用心 爱心 专心 5 得 t 1 易知 h t 在 1 上递减 p t 在 1 上递增 所以 h t 在 1 上的最大值为 h 1 5 p t 在 1 上的最小值为 p 1 1 实数 a 的取值范围为 5 1 答案答案 D 10 具有性质 f f x 的函数 我们称为满足 倒负 变换的函数 下列函数中满 1 x 足 倒负 变换的函数是 y x y x y Error 1 x 1 x A B C D 只有 解析解析 对于 f x 1 x 1 x x 1 x f x 满足 倒负 变换 对于 f x x 1 x 1 x 1 x f x f x 不满足 倒负 变换 对于 当 0 x1 时 f f x 1 x 1 x 1 x 用心 爱心 专心 6 满足 倒负 变换 答案答案 C 11 2009 年潍坊模拟 若函数 f x g x 分别是 R R 上的奇函数 偶函数 且满足 f x g x ex 则有 A f 2 f 3 g 0 B g 0 f 3 f 2 C f 2 g 0 f 3 D g 0 f 2 f 3 解析解析 用 x 代换 x 得 f x g x e x 即 f x g x e x 解得 f x ex e x 2 g x ex e x 2 而 f x 在 0 上单调递增且大于等于 0 g 0 1 答案答案 D 12 2009 年海淀模拟 定义在 R R 上的函数 f x 如果存在函数 g x kx b k b 为常 数 使得 f x g x 对一切实数 x 都成立 则称 g x 为函数 f x 的一个承托函数 现有如 下命题 对给定的函数 f x 其承托函数可能不存在 也可能有无数个 g x 2x 为函数 f x 2x的一个承托函数 定义域和值域都是 R R 的函数 f x 不存在承托函数 下列选项正确的是 A B C D 解析解析 对于 若 f x sin x 则 g x B B 1 就是它的一个承托函数 且 有无数个 再如 y tan x y lg x 就没有承托函数 命题 正确 对于 当 x 时 g 3 f 2 2 3 2 3 2 3 2 3 228 f x 0 函数 f x 在定义域上是增函数 如果有零点 只能有一个 又 f 1 20 3 2 27 8 3 2 7 8 函数 f x 必然有一根在上 即 k 1 1 3 2 答案答案 1 15 已知函数 f x Error 则不等式 f x 0 的解集为 解析解析 f x 0 且 f x Error 当 x 0 时 log2x 0 即 log2x 0 0 x0 即 x2 1 0 1 x 0 因此 1 x 1 答案答案 x 1 x 1 16 规定 x 表示不超过 x 的最大整数 例如 2 3 2 2 7 3 函数 y x 的 图象与函数 y ax 的图象在 0 2010 内有 2 010 个交点 则 a 的取值范围是 解析解析 依题意 y x Error i i x i 1 i N N 且 i 2 010 画出 y x 及 y ax 的图象 从图象中可以看出 使两函数在 0 2 010 内有 2 010 个 交点需0 且 a 1 函数 f x logax 在区间 a 2a 用心 爱心 专心 8 上的最大值比最小值大 求实数 a 的值 1 2 解析解析 当 a 1 时 f x logax 在区间 a 2a 上是增函数 故最大值为 f 2a 最小 值为 f a 所以 loga 2a logaa 1 2 所以 a 4 满足 a 1 当 0 a 1 时 f x logax 在区间 a 2a 上是减函数 故最大值为 f a 最小值为 f 2a 所以 logaa loga 2a 1 2 所以 a 满足 0 a 1 1 4 综上所述 a 4 或 a 1 4 18 12 分 已知函数 f x 对任意实数 x y 均有 f x f y 2ff f 0 0 且存在非零常数 c 使 f c 0 x y 2 x y 2 1 求 f 0 的值 2 判断 f x 的奇偶性并证明 3 求证 f x 是周期函数 并求出 f x 的一个周期 解析解析 1 任意 x y R R 均有 f x f y 2ff 令 x y 0 x y 2 x y 2 2f 0 2f 0 f 0 f 0 0 f 0 1 2 令 y x f x f x 2f 0 f x f x f x f x 为偶函数 3 f 2c x f x 2f f 2c 2x 2 2c 2 f c 0 f 2c x f x 0 即 f 2c x f x f x f 2c x f 2c 2c x f 4c x f x 的周期为 4c 19 12 分 2009 年德州模拟 某森林出现火灾 火势正以每分钟 100 m2的速度顺风蔓 延 消防站接到警报立即派消防员前去 在火灾发生后五分钟到达救火现场 已知消防队员 在现场平均每人每分钟灭火 50 m2 所消耗的灭火材料 劳务津贴等费用为每人每分钟 125 元 另附加每次救火所耗损的车辆 器械和装备等费用平均每人 100 元 而烧毁 1 m2森林损 用心 爱心 专心 9 失费为 60 元 问应该派多少消防员前去救火 才能使总损失最少 解析解析 设派 x 名消防员前去救火 用 t 分钟将火扑灭 总损失为 y 元 则 t 5 100 50 x 100 10 x 2 y 灭火材料 劳务津贴 车辆 器械 装备费 森林损失费 125tx 100 x 60 500 100t 125x 100 x 30 000 10 x 2 60 000 x 2 方法一 方法一 y 1 250 100 x 2 2 30 000 x 2 2 x 2 60 000 x 2 31 450 100 x 2 62 500 x 2 31 450 2 36 450 100 62 500 当且仅当 100 x 2 62 500 x 2 即 x 27 时 y 有最小值 36 450 故应该派 27 名消防员前去救火 才能使总损失最少 最少损失为 36 450 元 方法二 方法二 y 100 100 1 250 x 2 x x 2 2 60 000 x 2 2 62 500 x 2 2 令 100 0 62 500 x 2 2 解得 x 27 或 x 23 舍 当 x 27 时 y 27 时 y 0 x 27 时 y 取最小值 最小值为 36 450 元 故应该派 27 名消防员前去救火 才能使总损失最少 最少损失为 36 450 元 20 12 分 2009 年上海模拟 已知函数 f x ax x 0 常数 a R R 1 x2 1 讨论函数 f x 的奇偶性 并说明理由 2 若函数 f x 在 x 3 上为增函数 求 a 的取值范围 解析解析 1 定义域 0 0 关于原点对称 当 a 0 时 f x 满足对定义域上任意 x f x f x a 0 时 f x 是偶函 1 x2 数 当 a 0 时 f 1 a 1 f 1 1 a 若 f x 为偶函数 则 a 1 1 a a 0 矛盾 若 f x 为奇函数 则 1 a a 1 1 1 矛盾 用心 爱心 专心 10 当 a 0 时 f x 是非奇非偶函数 2 任取 x1 x2 3 f x1 f x2 ax1 ax2 a x1 x2 1 x12 1 x22 x22 x12 x12x22 x1 x2 a x1 x2 x12x22 x1 x2 0 f x 在 3 上为增函数 a 即 a 在 3 上恒成立 x1 x2 x12x22 1 x1x22 1 x12x2 0 设 1 2 两曲线 y f x y g x 有公共点 且在公共点处的切线相同 1 若 a 1 求 b 的值 2 用 a 表示 b 并求 b 的最大值 解析解析 1 设 y f x 与 y g x x 0 在公共点 x0 y0 处的切线相同 f x x 2 g x 3 x 由题意知 f x0 g x0 f x0 g x0 Error 由 x0 2 得 x0 1 或 x0 3 舍去 即有 b 3 x0 5 2 2 设 y f x 与 y g x x 0 在公共点 x0 y0 处的切线相同 f x x 2a g x 3a2 x 由题意 f x0 g x0 f x0 g x0 即Error 由 x0 2a 得 x0 a 或 x0 3a 舍去 3a2 x0 即有 b a2 2a2 3a2lna a2 3a2lna 1 2 5 2 令 h t t2 3t2lnt t 0 则 h t 2t 1 3lnt 5 2 于是当 t 1 3lnt 0 即 0 t0 1 3 当 t 1 3lnt e 时 h t 0 且 f 1 f 3 2 a x a x 1 求 a 的值 2 试研究函数 f x 的单调性 并比较 f t 与 2的大小 2t 2 t 2 3 t 0 所以 a 2 2 由 1