高考数学 第6课时－充要条件教案

用心 爱心 专心1 充要条件充要条件 二 教学目标 掌握充分必要条件的意义 能够判定给定的两个命题的充要关系 三 教学重点 充要条件关系的判定 四 教学过程 一 主要知识 1 充要条件的概念及关系的判定 2 充要条件关系的证明 二 主要方法 1 判断充要关系的关键是分清条件和结论 2 判断pq 是否正确的本质是判断命题 若p 则q 的真假 3 判断充要条件关系的三种方法 定义法 利用原命题和逆否命题的等价性 用数形结合法 或图解法 4 说明不充分或不必要时 常构造反例 三 例题分析 例 1 指出下列各组命题中 p是q的什么条件 在 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 中选一种作答 1 在ABC 中 p AB sinsinqAB 2 对于实数 x y 8p xy 2q x 或6y 3 在ABC 中 sinsinpAB tantanqAB 4 已知 x yR 22 1 2 0pxy 1 2 0qxy 解 1 在ABC 中 有正弦定理知道 sinsin ab AB sinsinABab 又由abAB 所以 sinsinABAB 即p是q的的充要条件 2 因为命题 若2x 且6y 则8xy 是真命题 故pq 命题 若8xy 则2x 且6y 是假命题 故q不能推出p 所以p是q的充分不必要条件 3 取120 30AB p不能推导出q 取30 120AB q不能推导出p 所以 p是q的既不充分也不必要条件 4 因为 1 2 P 1Qx yx 或2 y PQ 所以 p是q的充分非必要条件 例 2 设 x yR 则 22 2xy 是 2xy 的 是 2xy 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解 由图形可以知道选择 B D 图略 例 3 若命题甲是命题乙的充分非必要条件 命题丙是命题乙的必要非充分条件 命题丁 是命题丙的充要条件 则命题丁是命题甲的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解 因为甲是乙的充分非必要条件 故甲能推出乙 乙不能推出甲 因为丙是乙的必要非充分条件 故乙能推出丙 丙不能推出乙 因为丁是丙的充要条件 故丁能推出丙 丙也能推出丁 由此可知 甲能推出丁 丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件 选 B 例 4 设 x yR 求证 xyxy 成立的充要条件是0 xy 证明 充分性 如果0 xy 那么 0 0 xy 0 0 xy 0 0 xy 于是 用心 爱心 专心2 xyxy 如果0 xy 即0 0 xy 或0 0 xy 当0 0 xy 时 xyxyxy 当0 0 xy 时 xyxyxyxy 总之 当0 xy 时 xyxy 必要性 由 xyxy 及 x yR 得 22 xyxy 即 2222 22 xxyyxxyy 得 xyxy 所以0 xy 故必要性成立 综上 原命题成立 例 5 已知数列 n a的通项 111 3423 n a nnn 为了使不等式 22 1 11 log 1 log 20 ntt att 对任意 nN 恒成立的充要条件 解 1 1111111 0 2425324262526 nn aa nnnnnnn 则 1221nnn aaaaa 欲使得题设中的不等式对任意 nN 恒成立 只须 n a的最小项 22 1 1 11 log 1 log 20 tt att 即可 又因为 1 119 4520 a 即只须11t 且 22 911 log 1 log 1 0 2020 tt tt 解得1log 1 1 t tt t 即 1 01 2 tt t t 解得实数t应满足的关系为 15 2 t 且2t 例 6 1 是否存在实数m 使得20 xm 是 2 230 xx 的充分条件 2 是否存在实数m 使得20 xm 是 2 230 xx 的必要条件 解 欲使得20 xm 是 2 230 xx 的充分条件 则只要 1 2 m x xx x 或 3 x 则只要1 2 m 即2m 故存在实数2m 时 使20 xm 是 2 230 xx 的充分条件 2 欲使20 xm 是 2 230 xx 的必要条件 则只要 1 2 m x xx x 或 3 x 则这是不可能的 故不存在实数m时 使20 xm 是 2 230 xx 的必要条件 四 巩固练习 1 若非空集合MN 则 aM 或aN 是 aMN 的 条件 用心 爱心 专心3