数学学习与解决问题汪纯中

数学学习与解决问题数学学习与解决问题 汪纯中汪纯中 一 解决问题概述 二 解决问题的基本过程 三 课改为解决问题搭建平台 一 解决问题概述 1 备受关注的解决问题 初步学会运用数学的思维方式去观察 分析现实社会 去解决日常生活中和其他学科学习中的问题 具体要求包括 1 逐步学会从数学的角度提出问题 理解问题 并能综合运用所学知识和技能解决问题 2 形成解决问题的基本策略 体验解决问题策略的多样性 发展实践能力与创新精神 3 高中数学课程应提供基本内容的实际背景 反映数学的应用价值 开展 数学建模 的学习活动 设立体现数 学某些重要应用的专题课程 高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用 数学与日常生活及其他 学科的联系 促进学生逐步形成和发展数学应用意识 提高实践能力 根据以学生发展为本的观念 新的课程体系必须正确处理教材 老师 学生三者关系 要坚持加强基础 要特 别重视发挥学生主体在认识活动中的主动和能动作用 重视由此导致地从问题出发 设计以解决问题的活动为基础的 数学认识过程 2 问题的含义 问题就是日常的练习 解决问题就是算法的操练 问题是非常规的问题 要求学生通过探索 解决问题 问题是一种状态 这种状态要求人们去完成一个任务 而对于这个任务 由他们的经验 没有一个现成的可供使 用的完成任务的策略 因此 解决问题中的问题 主要指非常规问题 比较教材中的问题 主要是常规的问题 所以我们把其称之为练习 大部分是一种模仿 操练为主 练习与解决问题的特征比较 练习的特征解决问题的特征 着重寻找答案着重寻找解决问题的过程 往往针对某个知识点或技能点 着重对某项 数学技能进行练习 着重思考如何将一般知识和技巧运用到新情 况中 具有综合性的特点 可以对某一类习题反复演练解决问题中的 问题 具有新颖性 对思考的要求相对比较低对思考的要求相对比较高 一个问题是不是问题 要看对象及其背景 3 问题应具备的基本条件 接受性 障碍性 探究性 接受性 学生愿意接受这个问题 并且具备了解决这个问题所必须具备的知识 技能与能力 学生要感兴趣 障碍性 学生对解答问题的最初尝试往往以失败而告终 探索性 学生需要对失败的尝试进行反思 重新进行探索 并排除思维定势 寻找新的解决问题的方案 例 1 某工程由甲 乙两队承包 天可以完成 需支付 1800 元 由乙 丙两队承包 天可以完成 需支付 5 2 2 4 3 3 1500 元 由甲 丙两队承包 天可以完成 需支付 1600 元 在保证一个星期内完成这项工程的前提下 选择哪 7 6 2 个队单独承包费用最少 例 2 有关买盐问题 甲每次买 1 元 乙每次买 1 斤 哪个更合算 解 设每次价格分别为元 斤 元 斤 元 斤abc 则甲 而乙 cba 111 3 3 cba 即比较与 9 之间的大小关系 111 cba cba 方法一 基本不等式 两个 方法二 基本不等式 三个 方法三 柯西不等式 先平方 例 3 有关电动洗衣机每次漂洗的水量相同的问题 解 设洗涤并甩干后衣服中残留脏物 不含水分 量为 设第次漂洗时用水量为 漂洗并甩干后衣 0 y 2 1 ii i x 服上的残留脏物 不含水分 量为 再设洗衣漂洗时总用水量为 常数 i ya 另设每次漂洗并甩干后衣服中的残留水分 含残留脏物 的重量为 常数 m 由百分比浓度 m x y xm my y m y xm y 1 0 1 0 1 1 1 0 1 同理 1 1 21 0 2 1 2 2 2 1 m x m x y xm my y m y xm y 1 1 1 21 0 m x m x m x y y n n 常数 当且仅当取等号 nnn mn a n m a n m x m x m x 1 1 1 1 21 n xxx 21 当增大时 减小 即证单调增n n y n mn a nf 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nnn nm a n mn na n mn a mn a mn a mn a 即 1 nfnf 例 4 平面上的个圆最多能将平面分成多少个区域 n 解 时 1 n2 1 a 时 要分情况有相离 相切 相交 内含 最多有2 n4 2 a 时 同样分情况 最多是三个圆两两相交且没有共点 3 n8 3 a 猜想 n n a2 检验 当时 得不符合 从而说明猜想错误 这时就要寻求新的途径4 n14 4 a 找递推关系 添上第个圆 与前个圆相交 且没有公共点 被分割成段弧 即增加了个部分 即1 nnn2n2 由累加法 得naa nn 2 1 2 2 nnan 例 5 已知抛物线 圆 三个顶点在抛物线上 求证 2 2 pxpy O 0 222 且为常数 ppyxABC 若直线与圆相切 则直线与圆也相切ACAB OBCO 此题为 83 年的高考题 解略 例 6 有一个 6 6 的方格中 去掉左上角和右下角的各一个方格 用 17 个的方格能把其盖住吗 21 反证法 染色 涂上黑色及白色 需要 17 个黑色 而实际要用到 18 个黑色 所以不可能 二 解决问题的基本过程 1 几种模式 奥苏贝尔 四阶段模式 第一阶段 呈现问题情景命题 第二阶段 明确问题最终目标与已知条件 最好能建立联系 缩小差距 第三阶段 填补空隙过程 第四阶段 解答之后的检验 杜威 五步模式 第一步 产生困惑 第二步 尝试从情景中识别出问题 A O B C D M 第三步 将问题情景中命题与已有的认知结构联系起来 第四步 将假设作检验 第五步 将成功的答案组合到认知结构中 波利亚 怎样解决问题 表 第一步了解问题 未知数是什么 已知数是什么 条件是什么 可能满足条件吗 画一个图 导入适当的符号 第二步找出已知数和未 知数之间的关系 假使 你不能找出关系 就得 考虑辅助问题 最后应 想出一个计划 你以前曾见过它吗 你知道什么有关的问题么 注视未知数 试想出一个相同或相似的未知数的熟悉的问题 这里有一个与你有关而且以前解过的问题 你能应用它吗 你若不能解释这问题 试先解一个有关问题 你能想出一个更 容易着手的有关问题吗 一个更一般的问题 一个更特殊的问 题 一个类似的问题 你能解问题的一部分吗 你用了全部条件吗 第三步实行你的计划 实行计划 实行你的解题计划 校核每一个步骤 第四步验证所得的解答 回顾 你能验证结果吗 你能验证论证吗 你能用不同的方法得出结果吗 你能应用这结果或方法到别的问题上去吗 求物体的重心 一维空间 一条线段的重心即线段的中点 物理上的重心 线段上的质点有质量 如天平 两维空间 三角形的重心即三中线的交点 物理上的重心 的边的重心为其中点 是 2 个单位质量 而是 1 个单位质量 所以重心在线段的ABC BCDAAD 三等分点 数学上证明其三线共点 1 2 DG AG 由此推广到三维空间 四面体的重心 先找到底面的重心 是 3 个单位质量 而是 1 个单位质量 所以BCD GA 四面体的重心为线段的四等分点 AG 1 3 EG AE 2 解决问题与数学思考 1 特殊化与一般化 特殊化 考虑特殊情况 取特殊值 简化问题 作图作表格等 即一种技巧 小学 三角形的内角和为 180 度 可以任意画一个三角形 并量其角度 得结论 当然也可以剪开 拼成一个平 角 例 1 证明 长为的封闭曲线 L 一定可以用一个半径为 的圆把它覆盖住 并且该圆是所有能覆盖曲线的圆中的l 4l 最小一个圆 特殊 曲线本身是圆 则由 得 当然能盖住 lr42 l l r 2 曲线是平行四边形 其对称中心为对角线的交点 lADABBD2 只需证 lAClAO 2 1 2 对于任意的曲线呢 找到曲线上最远的两点 则 找到其的中点 再找曲线上的点 C D 无法得到所要证明的结论BA lAB2 O 另找其他方法 将曲线分成两相等长度的两段曲弧lBDAACB2 为线段的中点 M 为曲线上的任意一点 OAB 则 lAMBMBACMMBMAOM 2 1 2 1 2 1 例 2 函数定义在整数集上 且满足f 1000 5 1000 3 nnff nn nf 求 100 2 1 fff 解 997 1000 f 998 1001 1004 999 ffff 997 1000 1003 998 ffff 998 999 1002 997 ffff C A B D O AD C P B P 15 S1 A B CD E F20 30 S2 20 猜想 当时 10001Nnn 是奇数 是偶数 n n nf 998 997 证明 用数学归纳法证明 当时 命题成立997 998 999 1000 n 假设当与时 命题成立时命题成立kn 1 kn12 knkn与 例 3 设是四个正实数 且其中有两个小于 1dcba 求证 dcbadcba 1 1 1 1 1 1 时 需证1 0 bababa 1 1 1 证 0 11 1 1 babaabbaba 2 且0 cba1 cb 由 1 知0 ba baba 1 1 1 又 则1 c 01 c 3 原命题 0 1 1 1 1 1 1 1 cbacbabaccbacbacba1 dc 由 2 得cbacba 1 1 1 1 又1 d dcbacbaddcba dcbadcba 1 1 1 1 1 1 1 1 例 4 任意一圆和的图象相交的交点xysin A 至多 2 点 B 至多 4 点 C 至多 6 点 D 可以多于 6 答案 D 圆心离 x 轴远点 半径无限大 一般化 建立模型 符号化 逆推 反证 推广等 模型 在一个边长为的正方形中剪出两个尽量大的两圆 可用函数的观点 a 而 22 rRrRf rgR 例 在 1990 1990 的方格棋盘中 对每一个 1 1 方格染上红 白两种颜色中的一种 使得方格棋 盘中心对称的两个 1 1 方格染上不同的颜色 问 是否存在一种染法 能使方格棋盘中的每一行 每一列中红 白颜色的格子数相等 符号法 记红色格为 1 白色格为 1 将方格棋盘分成四等分 每一个方格为 995 995 在左上方的每个小方格 的数字之和记为 右 1 A 上方的数字之和记为 左下方为 右下方为 2 A 3 A 4 A 由题意知0 3241 AAAA 995 为奇数 0 1 A0 432 AAA 不妨设时 1 不合题意0 1 A00 212 AAA 2 不合题意000 3132 AAAA 结论 不可能存在这样的染法 2 猜测与验证 四色猜想用计算机来解决 费马大定理也彻底解决了 书上有的 不属于探究的范畴 例 矩形 ABCD 中 P 是其内部或其边界上的点 则有何关系 PDPCPBPA 特例 点 P 与 A 重合时 发现 其中 222 PDPBPC 0 PA 点 P 与点 B 重合时 发现 其中 222 PCPAPD 0 PB 猜想 2222 PDPBPCPA 并加以证明 可用解析法 3 解决问题的教学模式对数学课堂教学改革的启示 公交车的座位设计问题 一边是一座 一边是两座 你会站在哪一边 站在两座旁边 理由 概率问题 例 如图所示 求的面积ABC 4 15895 4 358915 203020 15 20 15 30 20 21 2 1 21 SS PB PES S PF PCSS 而代入发现不成立 从而说明题目有问题 PA PD S S 15 20 3020 2 1 条件多给了 多少个小三角形的面积告诉你 就可以求大三角形的面积 例 5 若对非零常数 函数满足m xf 7 2 cos 2 Rxxfmxfmxf 求证 是周期函数 xf 证明 设则 7 2 sin 7 2 cos iz 1 7 2 cos2 zzzz 由条件 任给 Rx xfzxfzxfzzmxfmxf 移项 mxfzxfzmxfxfzxfzmxf 于是 1 7 2 sin 7 2 cos 5 6 6 7 7 8 7 77 2 izxfzmxfxfzmxfz mxfzmxfz mxfzmxfzmxfzmxf 比较等式两边虚部 可得 7 7 2 sin 7 7 2 sinxfmxfxfmxf 又是周期函数 0 xfm 例如 求通项公式5 1 023 2121 aaaaa nnn 注意系数的特点 可得 n nn n nn b aa b aa 21 1 1 04 21 nnn aaa 设 211 nnnn AaaBAaa 则 1 4 AB BA 再回到刚才的那道题 得 mxAfxfBxAfmxf 其中 7 2 sin 7 2 cos 7 2 sin 7 2 cos 7 2 cos2 1 iB ziA BA AB 特殊 2sin Txxf mxfmxmxmxmxfmxfcos 2cossin2 sin sin 猜想周期为 然后再验证 mm72 7 2 m7 例 若满足 求证 是周期函数 xfy 0 1 1 m xf xf mxf xf 找一个特殊的函数 xxftan x x x tan1 tan1 4 tan m4 可猜想 周期为 然后再给出验证 4 xfmxf m4 三 课改为解决问题搭建平台 教师要成为学生探究的组织者和主导者 教师应根据学生的差异进行鼓励和指导 善于信息处理 善于转化问题 善于长期的记忆 小学生 案例 一只大桶装了 10