2012年高考数学 高考试题+模拟新题分类汇编专题B 函数与导数 理

用心 爱心 专心1 B B 函数与导数函数与导数 B1 函数及其表示 14 B1B1 2012 天津卷 已知函数y 的图象与函数y kx 2 的图象恰有两个 x2 1 x 1 交点 则实数k的取值范围是 14 0 1 1 4 解析 本题考查函数的表示及图象应用 考查应用意识 偏难 y Error 在同一坐标系内画出y kx 2 与y 的图象如图 x2 1 x 1 x2 1 x 1 结合图象当直线y kx 2 斜率从 0 增到 1 时 与y 在x轴下方的图象有两 x2 1 x 1 公共点 当斜率从 1 增到 4 时 与y 的图象在x轴上下方各有一个公共点 x2 1 x 1 5 B1B1 2012 江苏卷 函数f x 的定义域为 1 2 log6x 5 0 解析 本题考查函数定义域的求解 解题突破口为寻找使函数解析式有 6 意义的限制条件 由Error 解得 00 y xex的定义域为 R R y 的定义域为 lnx x sinx x x x 0 故选 D 3 B1B1 2012 江西卷 若函数f x Error 则f f 10 用心 爱心 专心2 A lg101 B 2 C 1 D 0 3 B 解析 考查分段函数的定义 对数的运算 分类讨论思想 解题的突破口是根 据自变量取值范围选择相应的解析式解决问题 10 1 f 10 lg10 1 1 f f 10 f 1 12 1 2 故选 B B2 反函数 B3 函数的单调性与最值 7 B3B3 2012 上海卷 已知函数f x e x a a为常数 若f x 在区间 1 上 是增函数 则a的取值范围是 7 1 解析 考查复合函数的单调性 实为求参数a 的取值范围 令t 又 e 1 函数f x 在 1 上是增函数 只需函数t 在 x a x a 1 上是增函数 所以参数a的取值范围是 1 11 B3B3 B4B4 B9B9 2012 辽宁卷 设函数f x x R R 满足f x f x f x f 2 x 且当x 0 1 时 f x x3 又函数g x xcos x 则函数h x g x f x 在上的零点个数为 1 2 3 2 A 5 B 6 C 7 D 8 11 B 解析 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断 解题的突 破口为根据函数的性质得到函数f x 的解析式 结合函数图象求解 f x f x 所以函数f x 为偶函数 所以f x f 2 x f x 2 所以函数 f x 为周期为 2 的周期函数 且f 0 0 f 1 1 而g x 为偶函数 且 xcos x g 0 g g g 0 在同一坐标系下作出两函数在上的图像 发现在 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 内图像共有 6 个公共点 则函数h x g x f x 在上的零点个数为 6 1 2 3 2 1 2 3 2 3 A2A2 B3B3 2012 山东卷 设a 0 且a 1 则 函数f x ax在 R R 上是减函数 是 函数g x 2 a x3在 R R 上是增函数 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 A 解析 本题考查充分必要条件及函数的单调性 考查推理论证能力 容易题 当f ax为 R R 上的减函数时 0 a0 此时g x 2 a x3在 R R 上为增函数 x 成立 当g x 2 a x3为增函数时 2 a 0 即a 2 但 1 a即可 也就是 Sm m Sn n Sm m Sm 1 m 1 Sm 0 m 0 Sm 1 0 m 1 0 即可以看作点Qm m Sm 与O 0 0 连线的斜率大于点Qm 1 m 1 Sm 1 与O 0 0 连线的斜 率 所以观察可知到第Q9 9 S9 与O 0 0 连线的斜率开始大于点Q10 10 S10 与O 0 0 连 线的斜率 答案为 C 14 A2A2 A3A3 B3B3 E3E3 2012 北京卷 已知f x m x 2m x m 3 g x 2x 2 若同时满足条件 x R R f x 0 或g x 0 x 4 f x g x 0 则m的取值范围是 14 4 2 解析 本题考查函数图像与性质 不等式求解 逻辑 二次函数与 指数函数等基础知识和基本技能 满足条件 时 由g x 2x 2 0 可得x 1 要使 x R R f x 0 或g x 0 必须使 x 1 时 f x m x 2m x m 3 0 恒成立 当m 0 时 f x m x 2m x m 3 0 不满足条件 所以二次函数f x 必须开口 向下 也就是m 0 要满足条件 必须使方程f x 0 的两根 2m m 3 都小于 1 即 Error 可得m 4 0 满足条件 时 因为x 4 时 g x 0 所以要使 x 4 时 f x g x 0 即可 只要使 4 比 2m m 3 中较小的 一个大即可 当m 1 0 时 2m m 3 只要 4 m 3 解得m 1 与m 1 0 的 交集为空集 当m 1 时 两根为 2 2 4 不符合 当m 4 1 时 2m2m 所以m 4 2 综上可知m 4 2 20 B3B3 D4D4 M4M4 2012 北京卷 设A是由m n个实数组成的m行n列的数表 满足 每个数的绝对值不大于 1 且所有数的和为零 记S m n 为所有这样的数表构成的集合 对于A S m n 记ri A 为A的第i行各数之和 1 i m cj A 为A的第j列各 数之和 1 j n 用心 爱心 专心4 记k A 为 r1 A r2 A rm A c1 A c2 A cn A 中的最小 值 1 对如下数表A 求k A 的值 11 0 8 0 1 0 3 1 2 设数表A S 2 3 形如 11c ab 1 求k A 的最大值 3 给定正整数t 对于所有的A S 2 2t 1 求k A 的最大值 20 解 1 因为r1 A 1 2 r2 A 1 2 c1 A 1 1 c2 A 0 7 c3 A 1 8 所以k A 0 7 2 不妨设a b 由题意得c 1 a b 又因c 1 所以a b 0 于是a 0 r1 A 2 c 1 r2 A r1 A 1 c1 A 1 a c2 A 1 b c3 A 1 a 1 b 1 a 所以k A 1 a 1 当a b 0 且c 1 时 k A 取得最大值 1 3 对于给定的正整数t 任给数表A S 2 2t 1 如下 a1a2 a2t 1 b1b2 b2t 1 任意改变A的行次序或列次序 或把A中的每个数换成它的相反数 所得数表 A S 2 2t 1 并且k A k A 因此 不妨设r1 A 0 且cj A 0 j 1 2 t 1 由k A 的定义知 k A r1 A k A cj A j 1 2 t 1 又因为c1 A c2 A c2t 1 A 0 所以 t 2 k A r1 A c1 A c2 A ct 1 A r1 A ct 2 A c2t 1 A j j t 1 j 1 a 2t 1 j t 2 b t 1 t 1 2t 1 所以k A 2t 1 t 2 对数表A0 第 1 列第 2 列 第t 1 列第t 2 列 第 2t 1 列 11 1 1 t 1 t t 2 1 t 1 t t 2 t 1 t 2 t 1 t 2 t 1 t 2 1 1 则A0 S 2 2t 1 且k A0 2t 1 t 2 综上 对于所有的A S 2 2t 1 k A 的最大值为 2t 1 t 2 用心 爱心 专心5 2 B3B3 B4B4 2012 陕西卷 下列函数中 既是奇函数又是增函数的为 A y x 1 B y x3 C y D y x x 1 x 2 D 解析 本小题主要考查函数的单调性 奇偶性 解题的突破口为单调性的定义 奇偶性的定义与函数图像的对应关系 若函数为单调增函数 其图像为从左向右依次上升 若函数为奇函数 其图像关于原点对称 经分析 A 选项函数的图像不关于原点对称 不 是奇函数 排除 B 选项函数的图像从左向右依次下降 为单调减函数 排除 C 选项函数 的图像从左向右依次下降 为单调减函数 排除 故选 D 其实对于选项 D 我们也可利用 x 0 x 0 x 0 分类讨论其解析式 然后画出图像 经判断符合要求 12 B3B3 D2D2 2012 四川卷 设函数f x 2x cosx an 是公差为的等差数列 8 f a1 f a2 f a5 5 则 f a3 2 a1a5 A 0 B 2 1 16 C 2 D 2 1 8 13 16 12 D 解析 设a3 则a1 a2 a4 a5 4 8 8 4 由f a1 f a2 f a5 5 得 2 5 cos cos cos cos cos 5 4 8 8 4 即 10 1 cos 5 22 2 当 0 时 左边是 的增函数 且 满足等式 2 当 时 10 10 而 1 cos 5cos 5 等式不可能成立 22 2 当 0 时 10 0 而 1 cos 5 等式也不可能成立 22 2 故a3 2 f a3 2 a1a5 2 2 4 4 13 16 B4 函数的奇偶性与周期性 9 B4B4 2012 上海卷 已知y f x x2是奇函数 且f 1 1 若g x f x 2 则g 1 9 1 解析 考查函数的奇偶性和转化思想 此题的关键是利用y f x x2为奇 函数 已知函数y f x x2为奇函数 则f 1 1 2 f 1 1 2 解得 f 1 3 所以g 1 f 1 2 3 2 1 8 B4B4 2012 山东卷 定义在 R R 上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1 时 f x x 2 2 当 1 x0 x 0 x 0 分类讨论其解析式 然后画出图像 经判断符合要求 用心 爱心 专心7 11 B3B3 B4B4 B9B9 2012 辽宁卷 设函数f x x R R 满足f x f x f x f 2 x 且当x 0 1 时 f x x3 又函数g x xcos x 则函数h x g x f x 在上的零点个数为 1 2 3 2 A 5 B 6 C 7 D 8 11 B 解析 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断 解题的突 破口为根据函数的性质得到函数f x 的解析式 结合函数图象求解 f x f x 所以函数f x 为偶函数 所以f x f 2 x f x 2 所以函数 f x 为周期为 2 的周期函数 且f 0 0 f 1 1 而g x 为偶函数 且 xcos x g 0 g g g 0 在同一坐标系下作出两函数在上的图像 发现在 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 内图像共有 6 个公共点 则函数h x g x f x 在上的零点个数为 6 1 2 3 2 1 2 3 2 B5 二次函数 12 B5B5 2012 山东卷 设函数f x g x ax2 bx a b R R a 0 若y f x 的 1 x 图象与y g x 的图象有且仅有两个不同的公共点A x1 y1 B x2 y2 则下列判断正确 的是 A 当a 0 时 x1 x20 B 当a0 y1 y20 时 x1 x2 0 y1 y20 时 x1 x2 0 y1 y2 0 12 B 解析 本题考查函数的图象与性质 考查推理论证能力 偏难 当y f的图象与y g图象有且仅有两个不同的公共点时 a 0 时 其图象为 x x 作出点A关于原点的对称点C 则C点坐标为 x1 y1 由图象知 x1y2 故x1 x2 0 y1 y20 时 有x1 x20 故选 B 17 B5B5 B9B9 2012 浙江卷 设a R R 若x 0 时均有 a 1 x 1 x2 ax 1 0 则a 17 解析 本题主要考查不等式的恒成立 不等式与方程的转化与应用问题 考查 3 2 用心 爱心 专心8 数形结合和转化化归的数学思想 令y1 x 1 y2 x2 ax 1 则函数 a 1 y1 x 1 y2 x2 ax 1 都过定点P 考查函数y1 x 1 令y 0 a 1 0 1 a 1 得M 同时只有a 1 0 即a 1 时才有可能满足x 时 y1 y2 0 1 a 1 0 0 考查函数y2 x2 ax 1 显然只有过点M时才能满足x 时 1 a 1 0 0 y1 y2 0 代入得 2 1 0 可得 2 a 1 0 2a2 3a 0 解得 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 a 或a 0 舍去a 0 得答案 a 3 2 3 2 3 B13B13 B5B5 2012 湖北卷 已知二次函数y f x 的图象如图 1 1 所示 则它与x 轴所围图形的面积为 图 1 1 A B 2 5 4 3 C D 3 2 2 3 B 解析 解法一 设f x ax2 bx c 因为函数f x 的图象过 1 0 a 0 1 0 0 1 代入得Error 解得Error 故f x 1 x2 故S 1dx Error 故选B 1 1 x2 x x3 3 1 1 4 3 解法二 设 f x a 将 x 0 y 1 代入 f x a 得 x 1 x 1 x 1 x 1 a 1 所以 f x 1 x2 所以 S 1dx Error x 1 x 1 1 1 x2 x x3 3 1 1 故选B 4 3 解法三 观察函数图象可知 二次函数 f x 的顶点坐标为 0 1 故可设 f x ax2 1 又函数图象过点 1 0 代入得 a 1 所以 f x x2 1 所以 S Error 故选B 1 1 1 x2 dx x x3 3 1 1 4 3 B6 指数与指数函数 5 B6B6 2012 四川卷 函数y ax a 0 且a 1 的图象可能是 1 a 图 1 2 用心 爱心 专心9 5 D 解析 若a 1 则f x 为增函数 排除 C D 而 0 1 图象与y轴的交 1 a 点应该在 0 1 内 A B 也不符合 故a 1 不合题意 若 0 a 1 则f x 为减函数 排除 A B 此时 1 故图象与y轴的交点应该在负 1 a 半轴 排除 C 选 D B7 对数与对数函数 9 B7B7 2012 全国卷 已知x ln y log52 z e 则 1 2 A x y z B z x y C z y x D y zlne 1 0 log52e y z0 时 1 x 1 x x 1 g x 0 g x ln x 1 x单调递减 所以g x g 0 0 所以f x 单调递增且小于 0 当 1 x0 g x ln x 1 x单调递 1 ln x 1 x 增 所以g x g 0 0 所以f x 单调递减且小于 0 故选 B 1 ln x 1 x B8 幂函数与函数的图像象 B9 函数与方程 4 B9B9 2012 天津卷 函数f x 2x x3 2 在区间 0 1 内的零点个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 用心 爱心 专心10 4 B 解析 本题考查函数的方程与零点 考查数据处理能力 容易题 法一 f x 2x x3 2 在 0 1 上单调递增 且f 0 f 1 1 1 1 0 函数f x 2x x3 2 在 0 1 上有一个零点 法二 将 2x x3 2 0 化为 2x 2 x3 在同一坐标系内画出y 2x与y 2 x3的图 象 如图所示 结合图象可知函数f x 2x x3 2 在 0 1 上有一个零点 9 B9B9 C1C1 2012 湖北卷 函数f x xcosx2在区间 0 4 上的零点个数为 A 4 B 5 C 6 D 7 9 C 解析 令f x 0 得x 0 或 cosx2 0 由x 得x2 因为 0 4 0 16 cos 0 故方程 cosx2 0 中x2的解只能取x2 2 k k Z Z 2 3 2 5 2 7 2 9 2 所以零点个数为 6 故选 C 0 16 11 B3B3 B4B4 B9B9 2012 辽宁卷 设函数f x x R R 满足f x f x f x f 2 x 且当x 0 1 时 f x x3 又函数g x xcos x 则函数h x g x f x 在上的零点个数为 1 2 3 2 A 5 B 6 C 7 D 8 11 B 解析 本小题主要考查函数的奇偶性与周期性和函数零点的判断 解题的突 破口为根据函数的性质得到函数f x 的解析式 结合函数图象求解 f x f x 所以函数f x 为偶函数 所以f x f 2 x f x 2 所以函数 f x 为周期为 2 的周期函数 且f 0 0 f 1 1 而g x 为偶函数 且 xcos x g 0 g g g 0 在同一坐标系下作出两函数在上的图像 发现在 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 内图像共有 6 个公共点 则函数h x g x f x 在上的零点个数为 6 1 2 3 2 1 2 3 2 21 B9B9 E8E8 2012 陕西卷 设函数fn x xn bx c n N N b c R R 1 设n 2 b 1 c 1 证明 fn x 在区间内存在唯一零点 1 2 1 2 设n 2 若对任意x1 x2 1 1 有 f2 x1 f2 x2 4 求b的取值范围 3 在 1 的条件下 设xn是fn x 在内的零点 判断数列x2 x3 xn 的 1 2 1 增减性 用心 爱心 专心11 21 解 1 b 1 c 1 n 2 时 fn x xn x 1 fnfn 1 10 1 2 1 fn x 在上是单调递增的 fn x 在内存在唯一零点 1 2 1 1 2 1 2 当n 2 时 f2 x x2 bx c 对任意x1 x2 1 1 都有 f2 x1 f2 x2 4 等价于f2 x 在 1 1 上的最大值 与最小值之差M 4 据此分类讨论如下 当 1 即 b 2 时 b 2 M f2 1 f2 1 2 b 4 与题设矛盾 当 1 0 即 0 b 2 时 b 2 M f2 1 f2 2 4 恒成立 b 2 b 2 1 当 0 1 即 2 b 0 时 b 2 M f2 1 f2 2 4 恒成立 b 2 b 2 1 综上可知 2 b 2 注 也可合并证明如下 用 max a b 表示a b中的较大者 当 1 1 即 2 b 2 时 b 2 M max f2 1 f2 1 f2 b 2 f2 f2 1 f2 1 2 f2 1 f2 1 2 b 2 1 c b b2 4 c 2 4 恒成立 1 b 2 3 法一 设xn是fn x 在内的唯一零点 n 2 1 2 1 fn xn x xn 1 0 fn 1 xn 1 x xn 1 1 0 xn 1 n nn 1n 1 1 2 1 于是有fn xn 0 fn 1 xn 1 x xn 1 1 x xn 1 1 fn xn 1 n 1n 1nn 1 又由 1 知fn x 在上是递增的 故xn xn 1 n 2 所以 数列 1 2 1 x2 x3 xn 是递增数列 法二 设xn是fn x 在内的唯一零点 1 2 1 fn 1 xn fn 1 1 x xn 1 1n 1 1 1 n 1n x xn 1 x xn 1 0 n 1nn n 则fn 1 x 的零点xn 1在 xn 1 内 故xn0 时均有 a 1 x 1 x2 ax 1 0 用心 爱心 专心12 则a 17 解析 本题主要考查不等式的恒成立 不等式与方程的转化与应用问题 考查 3 2 数形结合和转化化归的数学思想 令y1 x 1 y2 x2 ax 1 则函数 a 1 y1 x 1 y2 x2 ax 1 都过定点P 考查函数y1 x 1 令y 0 a 1 0 1 a 1 得M 同时只有a 1 0 即a 1 时才有可能满足x 时 y1 y2 0 1 a 1 0 0 考查函数y2 x2 ax 1 显然只有过点M时才能满足x 时 1 a 1 0 0 y1 y2 0 代入得 2 1 0 可得 2 a 1 0 2a2 3a 0 解得 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 a 或a 0 舍去a 0 得答案 a 3 2 3 2 B10 函数模型及其应用 21 B10B10 2012 上海卷 海事救援船对一艘失事船进行定位 以失事船的当前位置为 原点 以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系 以 1 海里为单位长度 则救援船恰 好在失事船正南方向 12 海里A处 如图 1 4 现假设 失事船的移动路径可视为抛物线 y x2 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援 救援船出发t小时后 失事船所在 12 49 位置的横坐标为 7t 1 当t 0 5 时 写出失事船所在位置P的纵坐标 若此时两船恰好会合 求救援船 速度的大小和方向 2 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船 图 1 4 21 解 1 t 0 5 时 P的横坐标xP 7t 代入抛物线方程y x2 得P的纵 7 2 12 49 坐标yP 3 由 AP 得救援船速度的大小为海里 时 949 2949 由 tan OAP 得 OAP arctan 故救援船速度的方向为北偏东 arctan弧 7 30 7 30 7 30 度 2 设救援船的时速为v海里 经过t小时追上失事船 此时位置为 7t 12t2 由vt 7t 2 12t2 12 2 整理得v2 144 337 t2 1 t2 用心 爱心 专心13 因为t2 2 当且仅当t 1 时等号成立 1 t2 所以v2 144 2 337 252 即v 25 因此 救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船 18 B10B10 B11B11 B12B12 2012 北京卷 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 1 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求a b的值 2 当a2 4b时 求函数f x g x 的单调区间 并求其在区间 1 上的最 大值 18 解 1 f x 2ax g x 3x2 b 因为曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 所以 f 1 g 1 且f 1 g 1 即a 1 1 b 且 2a 3 b 解得a 3 b 3 2 记h x f x g x 当b a2时 1 4 h x x3 ax2 a2x 1 1 4 h x 3x2 2ax a2 1 4 令h x 0 得x1 x2 a 2 a 6 a 0 时 h x 与h x 的情况如下 x a 2 a 2 a 2 a 6 a 6 a 6 h x 0 0 h x 所以函数h x 的单调递增区间为和 单调递减区间为 a 2 a 6 a 2 a 6 当 1 即 0 a 2 时 a 2 函数h x 在区间 1 上单调递增 h x 在区间 1 上的最大值为 h 1 a a2 1 4 当 1 且 1 即 2 a 6 时 a 2 a 6 函数h x 在区间内单调递增 在区间上单调递减 h x 在区间 a 2 a 2 1 1 上的最大值为h 1 a 2 当 6 时 函数h x 在区间内单调递增 在区间内 a 6 a 2 a 2 a 6 单调递减 在区间上单调递增 a 6 1 又因h h 1 1 a a2 a 2 1 4 用心 爱心 专心14 a 2 2 0 1 4 所以h x 在区间 1 上的最大值为 h 1 a 2 22 B10B10 B11B11 B12B12 2012 浙江卷 已知a 0 b R R 函数f x 4ax3 2bx a b 1 证明 当 0 x 1 时 i 函数f x 的最大值为 2a b a ii f x 2a b a 0 2 若 1 f x 1 对x 0 1 恒成立 求a b的取值范围 22 解 1 i f x 12ax2 2b 12a x2 b 6a 当b 0 时 有f x 0 此时f x 在 0 上单调递增 当b 0 时 f x 12a x b 6a x b 6a 此时f x 在上单调递减 在上单调递增 0 b 6a b 6a 所以当 0 x 1 时 f x max max f 0 f 1 max a b 3a b Error 2a b a ii 由于 0 x 1 故 当b 2a时 f x 2a b a f x 3a b 4ax3 2bx 2a 4ax3 4ax 2a 2a 2x3 2x 1 当b 2a时 f x 2a b a f x a b 4ax3 2b 1 x 2a 4ax3 4a 1 x 2a 2a 2x3 2x 1 设g x 2x3 2x 1 0 x 1 则 g x 6x2 2 6 x 3 3 x 3 3 于是 x0 0 3 3 3 3 3 3 1 1 g x 0 g x 1 减极小值增 1 所以 g x min g 1 0 3 3 4 3 9 所以当 0 x 1 时 2x3 2x 1 0 故f x 2a b a 2a 2x3 2x 1 0 2 由 i 知 当 0 x 1 时 f x max 2a b a 所以 2a b a 1 若 2a b a 1 则由 知 f x 2a b a 1 所以 1 f x 1 对任意 0 x 1 恒成立的充要条件是 Error 即Error 或Error 在直角坐标系aOb中 所表示的平面区域为如图所示的阴影部分 其中不包括线段 BC 用心 爱心 专心15 做一组平行线a b t t R R 得 1 a b 3 所以a b的取值范围是 1 3 23 数学史与不等式选讲 模块 已知a R R 设关于x的不等式 2x a x 3 2x 4 的解集为A 1 若a 1 求A 2 若A R R 求a的取值范围 解 1 当x 3 时 原不等式化为 3x 2 2x 4 综合得x 3 当 3 x 时 原不等式化为 x 4 2x 4 综合得 3 时 原不等式为 3x 2 2x 4 得x 2 1 2 综上 A x x 0 或x 2 2 当x 2 时 2x a x 3 0 2x 4 成立 当x 2 时 2x a x 3 2x a x 3 2x 4 得x a 1 或x a 1 3 所以a 1 2 或a 1 得a 2 a 1 3 综上 a的取值范围为a 2 24 矩阵与变换和坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 设倾斜角为 的直线l Error t为参数 与曲线 C Error 为参数 相交于不同两点A B 1 若 求线段AB中点M的坐标 3 2 若 PA PB OP 2 其中P 2 求直线l的斜率 3 解 设直线l上的点A B对应参数分别为t1 t2 将曲线C的参数方程化为普通方程 y2 1 x2 4 1 当 时 设点M对应参数为t0 3 直线l方程为Error t为参数 代入曲线C的普通方程 y2 1 得 13t2 56t 48 0 则 x2 4 t0 t1 t2 2 28 13 所以 点M的坐标为 12 13 3 13 2 将Error 代入曲线C的普通方程 y2 1 得 cos2 4sin2 x2 4 t2 8sin 4cos t 12 0 3 因为 PA PB t1t2 OP 2 7 所以 7 12 cos2 4sin2 12 cos2 4sin2 用心 爱心 专心16 得 tan2 5 16 由于 32cos 2sin cos 0 故 tan 3 5 4 所以直线l的斜率为 5 4 8 B3B3 B10B10 2012 北京卷 某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图 1 6 所 示 从目前记录的结果看 前m年的年平均产量最高 m值为 图 1 6 A 5 B 7 C 9 D 11 8 C 解析 本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势 也就是函数增减速度的 快慢 法一 因为随着n的增大 Sn在增大 要使取得最大值 只要让随着n的增大 Sn n Sn 1 Sn的值超过 平均变化 的加入即可 Sn 1 Sn的值不超过 平均 Sn 1 S1 n Sn 1 S1 n 变化 的舍去 由图像可知 6 7 8 9 这几年的改变量较大 所以应该加入 到第 10 11 年 的时候 改变量明显变小 所以不应该加入 故答案为 C 法二 假设是取的最大值 所以只要 即可 也就是 Sm m Sn n Sm m Sm 1 m 1 Sm 0 m 0 Sm 1 0 m 1 0 即可以看作点Qm m Sm 与O 0 0 连线的斜率大于点Qm 1 m 1 Sm 1 与O 0 0 连线的斜 率 所以观察可知到第Q9 9 S9 与O 0 0 连线的斜率开始大于点Q10 10 S10 与O 0 0 连 线的斜率 答案为 C 18 K6K6 B10B10 2012 课标全国卷 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫 瑰花 然后以每枝 10 元的价格出售 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理 1 若花店一天购进 16 枝玫瑰花 求当天的利润y 单位 元 关于当天需求量n 单位 枝 n N N 的函数解析式 2 花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 日需求量n 14151617181920 频数 10201616151310 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 若花店一天购进 16 枝玫瑰花 X表示当天的利润 单位 元 求X的分布列 数学 期望及方差 用心 爱心 专心17 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花 你认为应购进 16 枝还是 17 枝 请说明 理由 18 解 1 当日需求量n 16 时 利润y 80 当日需求量n 16 时 利润y 10n 80 所以y关于n的函数解析式为 y Error n N N 2 X可能的取值为 60 70 80 并且 P X 60 0 1 P X 70 0 2 P X 80 0 7 X的分布列为 X607080 P0 10 20 7 X的数学期望为 EX 60 0 1 70 0 2 80 0 7 76 X的方差为 DX 60 76 2 0 1 70 76 2 0 2 80 76 2 0 7 44 答案一 花店一天应购进 16 枝玫瑰花 理由如下 若花店一天购进 17 枝玫瑰花 Y表示当天的利润 单位 元 那么Y的分布列为 Y55657585 P0 10 20 160 54 Y的数学期望为 EY 55 0 1 65 0 2 75 0 16 85 0 54 76 4 Y的方差为 DY 55 76 4 2 0 1 65 76 4 2 0 2 75 76 4 2 0 16 85 76 4 2 0 54 112 04 由以上的计算结果可以看出 DX DY 即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小 另外 虽然EX EY 但两者相差不大 故花店一天应购进 16 枝玫瑰花 答案二 花店一天应购进 17 枝玫瑰花 理由如下 若花店一天购进 17 枝玫瑰花 Y表示当天的利润 单位 元 那么Y的分布列为 Y55657585 P0 10 20 160 54 Y的数学期望为 EY 55 0 1 65 0 2 75 0 16 85 0 54 76 4 由以上的计算结果可以看出 EX0 b R R 函数f x 4ax3 2bx a b 1 证明 当 0 x 1 时 i 函数f x 的最大值为 2a b a ii f x 2a b a 0 2 若 1 f x 1 对x 0 1 恒成立 求a b的取值范围 22 解 1 i f x 12ax2 2b 12a x2 b 6a 当b 0 时 有f x 0 此时f x 在 0 上单调递增 当b 0 时 f x 12a x b 6a x b 6a 此时f x 在上单调递减 在上单调递增 0 b 6a b 6a 所以当 0 x 1 时 f x max max f 0 f 1 max a b 3a b Error 2a b a ii 由于 0 x 1 故 当b 2a时 f x 2a b a f x 3a b 4ax3 2bx 2a 4ax3 4ax 2a 2a 2x3 2x 1 当b 2a时 f x 2a b a f x a b 4ax3 2b 1 x 2a 4ax3 4a 1 x 2a 2a 2x3 2x 1 设g x 2x3 2x 1 0 x 1 则 g x 6x2 2 6 x 3 3 x 3 3 于是 x0 0 3 3 3 3 3 3 1 1 g x 0 g x 1 减极小值增 1 所以 g x min g 1 0 3 3 4 3 9 所以当 0 x 1 时 2x3 2x 1 0 用心 爱心 专心19 故f x 2a b a 2a 2x3 2x 1 0 2 由 i 知 当 0 x 1 时 f x max 2a b a 所以 2a b a 1 若 2a b a 1 则由 知 f x 2a b a 1 所以 1 f x 1 对任意 0 x 1 恒成立的充要条件是 Error 即Error 或Error 在直角坐标系aOb中 所表示的平面区域为如图所示的阴影部分 其中不包括线段 BC 做一组平行线a b t t R R 得 1 a b 3 所以a b的取值范围是 1 3 18 B10B10 B11B11 B12B12 2012 北京卷 已知函数f x ax2 1 a 0 g x x3 bx 1 若曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 求a b的值 2 当a2 4b时 求函数f x g x 的单调区间 并求其在区间 1 上的最 大值 18 解 1 f x 2ax g x 3x2 b 因为曲线y f x 与曲线y g x 在它们的交点 1 c 处具有公共切线 所以 f 1 g 1 且f 1 g 1 即a 1 1 b 且 2a 3 b 解得a 3 b 3 2 记h x f x g x 当b a2时 1 4 h x x3 ax2 a2x 1 1 4 h x 3x2 2ax a2 1 4 令h x 0 得x1 x2 a 2 a 6 a 0 时 h x 与h x 的情况如下 x a 2 a 2 a 2 a 6 a 6 a 6 h x 0 0 h x 所以函数h x 的单调递增区间为和 单调递减区间为 a 2 a 6 a 2 a 6 当 1 即 0 a 2 时 a 2 用心 爱心 专心20 函数h x 在区间 1 上单调递增 h x 在区间 1 上的最大值为 h 1 a a2 1 4 当 1 且 1 即 2 a 6 时 a 2 a 6 函数h x 在区间内单调递增 在区间上单调递减 h x 在区间 a 2 a 2 1 1 上的最大值为h 1 a 2 当 6 时 函数h x 在区间内单调递增 在区间内 a 6 a 2 a 2 a 6 单调递减 在区间上单调递增 a 6 1 又因h h 1 1 a a2 a 2 1 4 a 2 2 0 1 4 所以h x 在区间 1 上的最大值为 h 1 a 2 20 B11B11 B12B12 2012 福建卷 已知函数f x ex ax2 ex a R R 1 若曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线平行于x轴 求函数f x 的单调区间 2 试确定a的取值范围 使得曲线y f x 上存在唯一的点P 曲线在该点处的切线 与曲线只有一个公共点P 20 解 1 由于f x ex 2ax e 曲线y f x 在点 1 f 1 处切线斜率 k 2a 0 所以a 0 即f x ex ex 此时f x ex e 由f x 0 得x 1 当x 1 时 有f x 0 所以f x 的单调递减区间为 1 单调递增区间为 1 2 设点P x0 f x0 曲线y f x 在点P处的切线方程为y f x0 x x0 f x0 令g x f x f x0 x x0 f x0 故曲线y f x 在点P处的切线与曲线只有 一个公共点P等价于函数g x 有唯一零点 因为g x0 0 且g x f x f x0 ex ex0 2a x x0 若a 0 当x x0时 g x 0 则x x0时 g x g x0 0 当x x0时 g x 0 则x x0时 g x g x0 0 故g x 只有唯一零点x x0 由于x0具有任意性 不符合P的唯一性 故a 0 不合题意 若a 0 令h x ex ex0 2a x x0 则h x0 0 h x ex 2a 令h x 0 得x ln 2a 记x ln 2a 则当x x 时 h x 0 从而h x 在 x 内单调递减 当x x 时 h x 0 从而h x 在 x 内单调递增 i 若x0 x 由x x 时 g x h x h x 0 x x 时 g x h x h x 0 知g x 在 R R 上单调递增 所以函数g x 在 R R 上有且只有一个零点x x ii 若x0 x 由于h x 在 x 内单调递增 且h x0 0 则当x x x0 时 有g x h x h x0 0 g x g x0 0 任取x1 x x0 有g x1 0 又当x x1 时 易知g x ex ax2 e f x0 x f x0 x0f x0 ex1 ax2 e f x0 x f x0 x0f x0 ax2 bx c 其中b e f x0 c ex1 f x0 x0f x0 由于a 0 则必存在x2 x1 使得ax bx2 c 0 2 2 用心 爱心 专心21 所以g x2 0 故g x 在 x2 x1 内存在零点 即g x 在 R R 上至少有两个零点 iii 若x0 x 仿 ii 并利用 ex 可证函数g x 在 R R 上至少有两个零点 x3 6 综上所述 当a 0 时 曲线y f x 上存在唯一点P ln 2a f ln 2a 曲线 在该点处的切线与曲线只有一个公共点P 12 B11B11 2012 广东卷 曲线y x3 x 3 在点 1 3 处的切线方程为 12 y 2x 1 解析 根据已知曲线方程求导得 y 3x2 1 所以切线斜率 k y x 1 3 1 2 所以根据点斜式方程得 y 3 2 x 1 即方程为 y 2x 1 15 B11B11 2012 辽宁卷 已知P Q为抛物线x2 2y上两点 点P Q的横坐标分别为 4 2 过P Q分别作抛物线的切线 两切线交于点A 则点A的纵坐标为 15 4 解析 本小题主要考查导数的几何意义的应用 解题的突破口为求切点坐 标和切线的斜率 由x2 2y可知y x2 这时y x 由P Q的横坐标为 4 2 这时P 4 8 1 2 Q 2 2 以点P为切点的切线方程PA为y 8 4 x 4 即 4x y 8 0 以点Q为 切点的切线方程QA为y 2 2 x 2 即 2x y 2 0 由 联立得A点坐标为 1 4 这时纵坐标为 4 9 B11B11 B12B12 E1E1 2012 浙江卷 设a 0 b 0 A 若 2a 2a 2b 3b 则a b B 若 2a 2a 2b 3b 则ab D 若 2a 2a 2b 3b 则a2b 2b 构造函数 f x 2x 2x 则f x 2x 2x在x 0 上单调递增 即a b成立 故 A 正确 B 错误 其余 选项用同样方法排除 B12 导数的应用 22 B10B10 B11B11 B12B12 2012 浙江卷 已知a 0 b R R 函数f x 4ax3 2bx a b 1 证明 当 0 x 1 时 i 函数f x 的最大值为 2a b a ii f x 2a b a 0 2 若 1 f x 1 对x 0 1 恒成立 求a b的取值范围 22 解 1 i f x 12ax2 2b 12a x2 b 6a 当b 0 时 有f x 0 此时f x 在 0 上单调递增 当b 0 时 f x 12a x b 6a x b 6a 此时f x 在上单调递减 在上单调递增 0 b 6a b 6a 所以当 0 x 1 时 f x max max f 0 f 1 max a b 3a b Error 2a b a ii 由于 0 x 1 故 当b 2a时 f x 2a b a f x 用心 爱心 专心22 3a b 4ax3 2bx 2a 4ax3 4ax 2a 2a 2x3 2x 1 当b 2a时 f x 2a b a f x a b 4ax3 2b 1 x 2a 4ax3 4a 1 x 2a 2a 2x3 2x 1 设g x 2x3 2x 1 0 x 1 则 g x 6x2 2 6 x 3 3 x 3 3 于是 x0 0 3 3 3 3 3 3 1 1 g x 0 g x 1 减极小值增 1 所以 g x min g 1 0 3 3 4 3 9 所以当 0 x 1 时 2x3 2x 1 0 故f x 2a b a 2a 2x3 2x 1 0 2 由 i 知 当 0 x 1 时 f x max 2a b a 所以 2a b a 1 若 2a b a 1 则由 知 f x 2a b a 1 所以 1 f x 1 对任意 0 x 1 恒成立的充要条件是 Error 即Error 或Error 在直角坐标系aOb中 所表示的平面区域为如图所示的阴影部分 其中不包括线段 BC 做一组平行线a b t t R R 得 1 a b 3 所以a b的取值范围是 1 3 23 数学史与不等式选讲 模块 已知a R R 设关于x的不等式 2x a x 3 2x 4 的解集为A 1 若a 1 求A 2 若A R R 求a的取值范围 解 1 当x 3 时 原不等式化为 3x 2 2x 4 综合得x 3 当 3 x 时 原不等式化为 x 4 2x 4 综合得 3 时 原不等式为 3x 2 2x 4 得x 2 1 2 综上 A x x 0 或x 2 2 当x 2 时 2x a x 3 0 2x 4 成立 当x 2 时 2x a x 3 2x a x 3 2x 4 得x a 1 或x a 1 3 所以a 1 2 或a 1 得a 2 a 1 3 用心 爱心 专心23 综上 a的取值范围为a 2 24 矩阵与变换和坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 设倾斜角为 的直线l Error t为参数 与曲线 C Error 为参数 相交于不同两点A B 1 若 求线段AB中点M的坐标 3 2 若 PA PB OP 2 其中P 2 求直线l的斜率 3 解 设直线l上的点A B对应参数分别为t1 t2 将曲线C的参数方程化为普通方程 y2 1 x2 4 1 当 时 设点M对应参数为t0 3 直线l方程为Error t为参数 代入曲线C的普通方程 y2 1 得 13t2 56t 48 0 则 x2 4 t0 t1 t2 2 28 13 所以 点M的坐标为 12 13 3 13 2 将Error 代入曲线C的普通方程 y2 1 得 cos2 4sin2 x2 4 t2 8sin 4cos t 12 0 3 因为 PA PB t1t2 OP 2 7 所以 7 12 cos2 4sin2 12 cos2 4sin2 得 tan2 5 16 由于 32cos 2sin cos 0 故 tan 3 5 4 所以直线l的斜率为 5 4 21 B12B12 E7E7 2012 辽宁卷 设f x ln x 1 ax b a b R R a b为常 x 1 数 曲线y f x 与直线y x在 0 0 点相切 3 2 1 求a b的值 2 证明 当 0 x 2 时 f x 9x x 6 21 解 1 由y f x 过 0 0 点 得b 1 由y f x 在 0 0 点的切线斜率为 3 2 又y x 0 a x 0 1 x 1 1 2x 1 a 3 2 用心