数列求和同步练习题含答案解析

1 数列求和 基础题 1 数列 1 2n 1 的前 n 项和 Sn 2 若数列 an 的通项公式是 an 1 n 3n 2 则 a1 a2 a10 3 数列 1 3 5 7 的前 n 项和 Sn 1 2 1 4 1 8 1 16 4 已知数列 an 的通项公式是 an 若前 n 项和为 10 则项数 1 n n 1 n 5 数列 an bn 都是等差数列 a1 5 b1 7 且 a20 b20 60 则 an bn 的 前 20 项的和为 6 等比数列 an 的前 n 项和 Sn 2n 1 则 a a a 2 12 22 n 7 已知等比数列 an 中 a1 3 a4 81 若数列 bn 满足 bn log3an 则数列 的前 n 项和 Sn 1 bnbn 1 二 解答题 每小题 15 分 共 45 分 8 已知 an 为等差数列 且 a3 6 a6 0 1 求 an 的通项公式 2 若等比数列 bn 满足 b1 8 b2 a1 a2 a3 求 bn 的前 n 项和公式 9 设 an 是公比为正数的等比数列 a1 2 a3 a2 4 1 求 an 的通项公式 2 设 bn 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 求数列 an bn 的前 n 项和 Sn 2 10 已知首项不为零的数列 an 的前 n 项和为 Sn 若对任意的 r t N 都有 2 Sr St r t 1 判断 an 是否是等差数列 并证明你的结论 2 若 a1 1 b1 1 数列 bn 的第 n 项是数列 an 的第 bn 1项 n 2 求 bn 3 求和 Tn a1b1 a2b2 anbn 能力题 1 已知 an 是首项为 1 的等比数列 Sn是 an 的前 n 项和 且 9S3 S6 则数列 的前 5 项和为 1 an 2 若数列 an 为等比数列 且 a1 1 q 2 则 Tn 1 a1a2 1 a2a3 的结果可化为 1 anan 1 3 数列 1 的前 n 项和 Sn 1 1 2 1 1 2 3 4 在等比数列 an 中 a1 a4 4 则公比 1 2 q a1 a2 an 5 已知 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 且 S11 35 S6 则 S17的值为 6 等差数列 an 的公差不为零 a4 7 a1 a2 a5成等比数列 数列 Tn 满足 条件 Tn a2 a4 a8 a2n 则 Tn 7 设 an 是等差数列 bn 是各项都为正数的等比数列 且 a1 b1 1 a3 b5 21 a5 b3 13 1 求 an bn 的通项公式 3 2 求数列的前 n 项和 Sn an bn 8 在各项均为正数的等比数列 an 中 已知 a2 2a1 3 且 3a2 a4 5a3成等差 数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn log3an 求数列 anbn 的前 n 项和 Sn 提高题提高题 1 北京卷 北京卷 设 则等于 4710310 22222 n f nnN f n A B C D 2 81 7 n 1 2 81 7 n 3 2 81 7 n 4 2 81 7 n 2 等差数列 an 中 a1 1 a3 a5 14 其前n项和Sn 100 则n A 9 B 10 C 11 D 12 3 福建 数列的前项和为 若 则等于 n an n S 1 1 n a n n 5 S A 1 B C D 5 6 1 6 1 30 4 全国 全国 IIII 设Sn是等差数列 an 的前n项和 若 则 S 3 S 6 1 3 S 6 S 12 A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 5 天津卷 天津卷 已知数列 都是公差为 1 的等差数列 其首项分别为 且 n a n b 1 a 1 b 设 则数列的前 10 项和等于 5 11 ba 11 Nba n bn ac Nn n c A 55 B 70 C 85 D 100 4 6 江苏卷 江苏卷 对正整数n 设曲线在x 2 处的切线与y轴交点的纵坐标为 1 xxy n 则数列的前n项和的公式是 n a 1 n an 7 0707 高考天津理高考天津理 2121 在数列 在数列中 中 n a 1 11 2 2 2 nn nn aaan N 其中其中 0 求数列 求数列的通项公式 的通项公式 n a 求数列 求数列的前的前项和项和 n an n S 8 0606 湖北卷理湖北卷理 1717 已知二次函数 已知二次函数的图像经过坐标原点 其导函数为的图像经过坐标原点 其导函数为 yf x 数列 数列的前的前 n n 项和为项和为 点 点均在函数均在函数的图的图 62fxx n a n S n n SnN yf x 像上 像上 求数列 求数列的通项公式 的通项公式 n a 设 设 是数列是数列的前的前 n n 项和 求使得项和 求使得对所有对所有都成立都成立 1 1 n nn b a a n T n b 20 n m T nN 的最小正整数的最小正整数 m m 9 9 求数列的前 n 项和 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa n 5 参考答案 基础题基础题 1 解析 Sn n n 2n 1 1 2n 1 2 答案 n 2n 1 2 解析 设 bn 3n 2 则数列 bn 是以 1 为首项 3 为公差的等差数列 所 以 a1 a2 a9 a10 b1 b2 b9 b10 b2 b1 b4 b3 b10 b9 5 3 15 答案 15 3 解析 由题意知已知数列的通项为 an 2n 1 则 Sn 1 2n n 1 2n 1 2 n2 1 1 2 1 1 2n 1 1 2 1 2n 答案 n2 1 1 2n 4 解析 an Sn a1 a2 an 1 1 n n 1n 1n2 1 令 1 10 得 n 120 32n 1nn 1n 1 答案 120 5 解析 由题意知 an bn 也为等差数列 所以 an bn 的前 20 项和为 S20 720 20 a1 b1 a20 b20 2 20 5 7 60 2 6 答案 720 6 解析 当 n 1 时 a1 S1 1 当 n 2 时 an Sn Sn 1 2n 1 2n 1 1 2n 1 又 a1 1 适合上式 an 2n 1 a 4n 1 2 n 数列 a 是以 a 1 为首项 以 4 为公比的等比数列 2 n2 1 a a a 4n 1 2 12 22 n 1 1 4n 1 4 1 3 答案 4n 1 1 3 7 解析 设等比数列 an 的公比为 q 则 q3 27 解得 q 3 所以 a4 a1 an a1qn 1 3 3n 1 3n 故 bn log3an n 所以 1 bnbn 1 1 n n 1 1 n 1 n 1 则数列的前 n 项和为 1 1 1 bnbn 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 1 n 1 n n 1 答案 n n 1 8 解 1 设等差数列 an 的公差为 d 因为 a3 6 a6 0 所以Error Error 解得 a1 10 d 2 所以 an 10 n 1 2 2n 12 2 设等比数列 bn 的公比为 q 因为 b2 a1 a2 a3 24 b1 8 所以 8q 24 即 q 3 所以 bn 的前 n 项和公式为 Sn 4 1 3n b1 1 qn 1 q 9 解 1 设 q 为等比数列 an 的公比 则由 a1 2 a3 a2 4 得 2q2 2q 4 即 q2 q 2 0 解得 q 2 或 q 1 舍去 因此 q 2 所以 an 的通项为 an 2 2n 1 2n n N 7 2 Sn n 1 2 2n 1 n2 2 2 1 2n 1 2 n n 1 2 10 解 1 an 是等差数列 证明如下 因为 a1 S1 0 令 t 1 r n 则由 2 得 n2 即 Sn a1n2 Sr St r t Sn S1 所以当 n 2 时 an Sn Sn 1 2n 1 a1 且 n 1 时此式也成立 所以 an 1 an 2a1 n N 即 an 是以 a1为首项 2a1为公差的等差数列 2 当 a1 1 时 由 1 知 an a1 2n 1 2n 1 依题意 当 n 2 时 bn abn 1 2bn 1 1 所以 bn 1 2 bn 1 1 又 b1 1 2 所以 bn 1 是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 所以 bn 1 2 2n 1 即 bn 2n 1 3 因为 anbn 2n 1 2n 1 2n 1 2n 2n 1 Tn 1 2 3 22 2n 1 2n 1 3 2n 1 即 Tn 1 2 3 22 2n 1 2n n2 2Tn 1 22 3 23 2n 1 2n 1 2n2 得 Tn 2n 3 2n 1 n2 6 能力题能力题 1 解析 设数列 an 的公比为 q 由题意可知 q 1 且 解得 9 1 q3 1 q 1 q6 1 q q 2 所以数列是以 1 为首项 为公比的等比数列 由求和公式可得 S5 1 an 1 2 31 16 答案 31 16 2 解析 an 2n 1 设 bn 2n 1 则 1 anan 1 1 2 8 Tn b1 b2 bn 3 2n 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 4n 1 1 4 2 3 1 1 4n 答案 2 3 1 1 4n 3 解析 由于数列的通项 an 2 1 1 2 3 n 2 n n 1 1 n 1 n 1 Sn 2 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n 1 2 1 1 n 1 2n n 1 答案 2n n 1 4 解析 q3 8 q 2 a1 a2 an 2n 1 a4 a1 1 2 1 2n 1 2 1 2 答案 2 2n 1 1 2 5 解析 因 S11 35 S6 得 11a1 d 35 6a1 d 即 11 10 2 6 5 2 a1 8d 7 所以 S17 17a1 d 17 a1 8d 17 7 119 17 16 2 答案 119 6 解析 设 an 的公差为 d 0 由 a1 a2 a5成等比数列 得 a a1a5 即 2 2 7 2d 2 7 3d 7 d 所以 d 2 或 d 0 舍去 所以 an 7 n 4 2 2n 1 又 a2n 2 2n 1 2n 1 1 故 Tn 22 1 23 1 24 1 2n 1 1 22 23 2n 1 n 2n 2 n 4 9 答案 2n 2 n 4 7 解 1 设 an 的公差为 d bn 的公比为 q 则依题意有 q 0 且Error Error 解得 Error Error 所以 an 1 n 1 d 2n 1 bn qn 1 2n 1 2 an bn 2n 1 2n 1 Sn 1 3 21 5 22 2n 3 2n 2 2n 1 2n 1 2Sn 2 3 5 2 2n 3 2n 3 2n 1 2n 2 得 Sn 2 2 2 2 2 22 2 2n 2 2n 1 2n 1 2 2 1 1 2 1 22 1 2n 2 2n 1 2n 1 2 2 6 1 1 2n 1 1 1 2 2n 1 2n 1 2n 3 2n 1 8 解 1 设 an 公比为 q 由题意 得 q 0 且Error Error 即Error Error 解得Error Error 或Error Error 舍去 所以数列 an 的通项公式为 an 3 3n 1 3n n N 2 由 1 可得 bn log3an n 所以 anbn n 3n 所以 Sn 1 3 2 32 3 33 n 3n 所以 3Sn 1 32 2 33 3 34 n 3n 1 两式相减 得 2Sn 3 32 33 3n n 3n 1 3 32 33 3n n 3n 1 n 3n 1 3 1 3n 1 3 3 2n 1 3n 1 2 10 所以数列 anbn 的前 n 项和为 Sn 3 2n 1 3n 1 4 提高题提高题 1 D 2 B 3 B 4 A 解析解析 由等差数列的求和公式可得且 31 1 61 331 2 6153 Sad ad Sad 可得 0d 所以 故选 A 61 121 615273 12669010 Sadd Sadd 5 C 解 数列 都是公差为 1 的等差数列 其首项分别为 且 n a n b 1 a 1 b5 11 ba 设 则数列的前 10 项和等于 11 Nba n bn ac Nn n c 1210 bbb aaa 111 19bbb aaa 1 11 1 4 b aab 111 19bbb aaa 选 C4561385 6 解 曲线 y xn 1 x 在 x 2 处的切线的斜率为 k n2n 1 n 1 2n 1 1 nn ynxnx 切点为 2 2n 所以切线方程为 y 2n k x 2 令 x 0 得 an n 1 2n 令 bn 2 1 n n a n 数列的前 n 项和为 2 22 23 2n 2n 1 2 1n an 7 解 由 1 1 2 2 nn nn aan N0 可得 1 1 1 22 1 nn nn nn aa 所以为等差数列 其公差为 1 首项为 0 故 所以数列 2 n n n a 2 1 n n n a n 的通项公式为 n a 1 2 nn n an 解 设 2341 23 2 1 nn n Tnn 11 3451 23 2 1 nn n Tnn 当时 式减去 式 1 得 21 2311 1 1 1 1 n nnn n Tnn 211212 22 1 1 1 1 1 nnnn n nnn T 这时数列的前项和 n