大学物理简明教程课后习题加答案 2

文档鉴赏 大学物理简明教程习题解答大学物理简明教程习题解答 习题一习题一 1 1 r 与r 有无不同 td dr 和 td dr 有无不同 td dv 和 td dv 有无不同 其不同在哪里 试举例说明 解 1 r 是位移的模 r是位矢的模的增量 即 r 12 rr 12 rrr 2 td dr 是速度的模 即 td dr v t s d d t r d d 只是速度在径向上的分量 有rr r 式中 r 叫做单位矢 则t r t r td d d d d dr r r 式中t r d d 就是速度径向上的分量 t r td d d d 与 r 不同如题 1 1 图所示 题 1 1 图 3 td dv 表示加速度的模 即 t v a d d t v d d 是加速度a在切向上的分量 有 v v 表轨道节线方向单位矢 所以 t v t v t v d d d d d d 式中dt dv 就是加速度的切向分量 tt r d d d d 与 的运算较复杂 超出教材规定 故不予讨论 1 2 设质点的运动方程为x x t y y t 在计算质点的速度和 加速度时 有人先求出r 22 yx 然后根据v t r d d 及a 2 2 d d t r 而 求得结果 又有人先计算速度和加速度的分量 再合成求得结果 即 v 22 d d d d t y t x 及a 2 2 2 2 2 2 d d d d t y t x 文档鉴赏 你认为两种方法哪一种正确 为什么 两者差别何在 解 后一种方法正确 因为速度与加速度都是矢量 在平面直角坐标 系中 有 j yi xr j t y i t x t r a j t y i t x t r v 2 2 2 2 2 2 d d d d d d d d d d d d 故它们的模即为 2 2 2 2 2 2 22 22 22 d d d d d d d d t y t x aaa t y t x vvv yx yx 而前一种方法的错误可能有两点 其一是概念上的错误 即误把速 度 加速度定义作 2 2 d d d d t r a t r v 其二 可能是将 2 2 d d d d t r t r 与 误作速度与加速度的模 在 1 1 题中已说明 t r d d 不是速度的模 而只是速度在径向上的分量 同样 2 2 d d t r 也不是 加速度的模 它只是加速度在径向分量中的一部分 2 2 2 d d d d t r t r a 径 或者概括性地说 前一种方法只考虑了位矢r 在 径向 即量值 方面随时间的变化率 而没有考虑位矢r 及速度v 的 方向随间的变化率对速度 加速度的贡献 1 3 一质点在xOy平面上运动 运动方程为 x 3t 5 y 2 1 t2 3t 4 式中t以 s 计 x y以 m 计 1 以时间t为变量 写出质点位置矢 量的表示式 2 求出t 1 s 时刻和t 2s 时刻的位置矢量 计算这 1 秒内质点的位移 3 计算t 0 s 时刻到t 4s 时刻内的平均速度 4 求出质点速度矢量表示式 计算t 4 s 时质点的速度 5 计算 t 0s 到t 4s 内质点的平均加速度 6 求出质点加速度矢量的表 示式 计算t 4s 时质点的加速度 请把位置矢量 位移 平均速度 瞬时速度 平均加速度 瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量 式 解 1 jttitr 43 2 1 53 2 m 文档鉴赏 2 将1 t 2 t代入上式即有 jir 5 08 1 m jjr 411 2 m jjrrr 5 43 12 m 3 jirjjr 1617 45 40 104 sm53 4 2012 04 ji jirr t r v 4 1 sm 3 3 d d jti t r v 则 jiv 73 4 1 sm 5 jivjiv 73 33 40 204 sm1 4 4 4 j vv t v a 6 2 sm1 d d j t v a 这说明该点只有y方向的加速度 且为恒量 1 4 在离水面高 h 米的岸上 有人用绳子拉船靠岸 船在离岸 S 处 如题 1 4 图所示 当人以 0 v m 1 s 的速率收绳时 试求船运动的速 度和加速度的大小 图 1 4 解 设人到船之间绳的长度为l 此时绳与水面成 角 由图可知 222 shl 将上式对时间t求导 得 t s s t l l d d 2 d d 2 题 1 4 图 根据速度的定义 并注意到l s是随t减少的 t s vv t l v d d d d 0 船绳 文档鉴赏 即 cosd d d d 0 0 v v s l t l s l t s v 船 或 s vsh s lv v 0 2 122 0 船 将船 v 再对t求导 即得船的加速度 3 2 0 2 2 2 0 2 0 2 0 0 2 d d d d d d s vh s v s l s v s lvsv v s t s l t l s t v a 船船 1 5 质点沿x轴运动 其加速度和位置的关系为 a 2 6 2 x a的单 位为 2 sm x的单位为 m 质点在x 0 处 速度为 10 1 sm 试求质 点在任何坐标处的速度值 解 x v v t x x v t v a d d d d d d d d 分离变量 xxadxd 62 d 2 两边积分得 cxxv 32 22 2 1 由题知 0 x时 10 0 v 50 c 13 sm252 xxv 1 6 已知一质点作直线运动 其加速度为 a 4 3t 2 sm 开始运 动时 x 5 m v 0 求该质点在t 10s 时的速度和位置 解 t t v a34 d d 分离变量 得 ttvd 34 d 积分 得 1 2 2 3 4cttv 由题知 0 t 0 0 v 0 1 c 故 2 2 3 4ttv 又因为 2 2 3 4 d d tt t x v 分离变量 tttxd 2 3 4 d 2 积分得 2 32 2 1 2cttx 由题知 0 t 5 0 x 5 2 c 故 5 2 1 2 32 ttx 所以 s10 t 时 文档鉴赏 m705510 2 1 102 sm19010 2 3 104 32 10 12 10 x v 1 7 一质点沿半径为 1 m 的圆周运动 运动方程为 2 3 3 t 式中以弧度计 t以秒计 求 1 t 2 s 时 质点的切向和法 向加速度 2 当加速度的方向和半径成 45 角时 其角位移是多 少 解 t t t t 18 d d 9 d d 2 1 s2 t 时 2 sm362181 Ra 2222 sm1296 29 1 Ran 2 当加速度方向与半径成 45角时 有 145tan n a a 即 RR 2 亦即 tt18 9 22 则解得 9 2 3 t 于是角位移为 rad67 2 9 2 3232 3 t 1 8 质点沿半径为R的圆周按s 2 0 2 1 bttv 的规律运动 式中s为质点 离圆周上某点的弧长 0 v b都是常量 求 1 t时刻质点的加速度 2 t为何值时 加速度在数值上等于b 解 1 btv t s v 0 d d R btv R v a b t v a n 2 0 2 d d 则 2 4 0222 R btv baaa n 加速度与半径的夹角为 2 0 arctan btv Rb a a n 2 由题意应有 2 4 02 R btv bba 即 0 4 0 2 4 022 btv R btv bb 当b v t 0 时 ba 文档鉴赏 1 9 以初速度 0 v 20 1 sm 抛出一小球 抛出方向与水平面成幔 60 的夹角 求 1 球轨道最高点的曲率半径1 R 2 落地处的曲率半径2 R 提示 利用曲率半径与法向加速度之间的关系 解 设小球所作抛物线轨道如题 1 10 图所示 题 1 9 图 1 在最高点 o 01 60cosvvv x 2 1 sm10 gan 又 1 2 1 1 v an m10 10 60cos20 22 1 1 1 n a v 2 在落地点 20 02 vv 1 sm 而 o 60cos 2 gan m80 60cos10 20 22 2 2 2 n a v 1 10 飞轮半径为 0 4 m 自静止启动 其角加速度为 0 2 rad 2 s 求t 2s 时边缘上各点的速度 法向加速度 切向加速度 和合加速度 解 当 s2 t 时 4 022 0 t 1 srad 则16 0 4 04 0 Rv 1 sm 064 0 4 0 4 0 22 Ran 2 sm 08 0 2 04 0 Ra 2 sm 22222 sm102 0 08 0 064 0 aaa n 1 11 一船以速率1 v 30km h 1沿直线向东行驶 另一小艇在其前方 以速率2 v 40km h 1 沿直线向北行驶 问在船上看小艇的速度为何 在艇上看船的速度又 文档鉴赏 为何 解 1 大船看小艇 则有1221 vvv 依题意作速度矢量图如题 1 13 图 a 题 1 11 图 由图可知 12 2 2 121 hkm50 vvv 方向北偏西 87 36 4 3 arctanarctan 2 1 v v 2 小船看大船 则有2112 vvv 依题意作出速度矢量图如题 1 13 图 b 同上法 得 50 12 v 1 hkm 方向南偏东 o 87 36 习题二习题二 2 1 一个质量为P的质点 在光滑的固定斜面 倾角为 上以初速 度 0 v 运动 0 v 的方向与斜面底边的水平线AB平行 如图所示 求这 质点的运动轨道 解 物体置于斜面上受到重力mg 斜面支持力N 建立坐标 取 0 v 方向为X轴 平行斜面与X轴垂直方向为Y轴 如图 2 2 题 2 1 图 X方向 0 x F tvx 0 Y方向 yy mamgF sin 0 t时 0 y 0 y v 2 sin 2 1 tgy 由 式消去t 得 2 2 0 sin 2 1 xg v y 2 2 质量为 16 kg 的质点在xOy平面内运动 受一恒力作用 力的 分量为 x f 6 N y f 7 N 当t 0 时 yx 0 x v 2 m s 1 文档鉴赏 y v 0 求 当t 2 s 时质点的 1 位矢 2 速度 解 2 sm 8 3 16 6 m f a x x 2 sm 16 7 m f a y y 1 2 0 1 0 1 2 0 0 sm 8 7 2 16 7 sm 4 5 2 8 3 2 dtavv dtavv yyy xxx 于是质点在s2时的速度 1 sm 8 7 4 5 jiv 2 m 8 7 4 13 4 16 7 2 1 4 8 3 2 1 22 2 1 2 1 22 0 ji ji jtaitatvr yx 2 3 质点在流体中作直线运动 受与速度成正比的阻力kv k为常数 作用 t 0 时质点的速度为 0 v 证明 1 t时刻的速度为 v t m k ev 0 2 由 0 到t的时间内经过的距离为 x k mv0 1 t m k e 3 停止运动前经过的距离为 0 k m v 4 证 明当 kmt 时速度减至 0 v 的e 1 式中m为质点的质量 答 1 t v m kv a d d 分离变量 得 m tk v vdd 即 v v t m tk v v 0 0 dd m kt e v v lnln 0 t m k evv 0 2 t tt m k m k e k mv tevtvx 0 0 0 1 dd 文档鉴赏 3 质点停止运动时速度为零 即 t 故有 0 0 0 d k mv tevx t m k 4 当 t k m 时 其速度为 e v evevv k m m k 01 00 即速度减至 0 v 的e 1 2 4 一质量为m的质点以与地的仰角 30 的初速 0 v 从地面抛出 若 忽略空气阻力 求质点落地时相对抛射时的动量的增量 解 依题意作出示意图如题 2 6 图 题 2 4 图 在忽略空气阻力情况下 抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小 相同 与轨道相切斜向下 而抛物线具有对y轴对称性 故末速度与x轴夹角亦为 o 30 则动量 的增量为 0 vmvmp 由矢量图知 动量增量大小为 0 vm 方向竖直向下 2 5 作用在质量为 10 kg 的物体上的力为 itF 210 N 式中t的单 位是 s 1 求 4s 后 这物体的动量和速度的变化 以及力给予物 体的冲量 2 为了使这力的冲量为 200 N s 该力应在这物体上 作用多久 试就一原来静止的物体和一个具有初速度 j 6 m s 1的 物体 回答这两个问题 解 1 若物体原来静止 则 itittFp t 1 0 4 0 1 smkg56d 210 d 沿x轴正向 ipI i m p v 1 11 11 1 smkg56 sm6 5 若物体原来具有6 1 sm 初速 则 tt tFvmt m F vmpvmp 0 0 0 000 d d 于是 t ptFppp 0 102 d 同理 12 vv 12 II 文档鉴赏 这说明 只要力函数不变 作用时间相同 则不管物体有无初动量 也不管初动量有多大 那么物体获得的动量的增量 亦即冲量 就一 定相同 这就是动量定理 2 同上理 两种情况中的作用时间相同 即 t ttttI 0 2 10d 210 亦即 020010 2 tt 解得 s10 t s20 t 舍去 2 6 一颗子弹由枪口射出时速率为 1 0 sm v 当子弹在枪筒内被加速 时 它所受的合力为 F bta N ba 为常数 其中t以秒为单位 1 假设子弹运行到枪口处合力刚好为零 试计算子弹走完枪筒全长 所需时间 2 求子弹所受的冲量 3 求子弹的质量 解 1 由题意 子弹到枪口时 有 0 btaF 得b a t 2 子弹所受的冲量 t btattbtaI 0 2 2 1 d 将b a t 代入 得 b a I 2 2 3 由动量定理可求得子弹的质量 0 2 0 2bv a v I m 2 7 设 N67jiF 合 1 当一质点从原点运动到 m1643kjir 时 求F 所作的功 2 如果质点到r处时需 0 6s 试求平均功率 3 如果质点的质量为 1kg 试求动能的变化 解 1 由题知 合 F 为恒力 1643 67 kjijirFA 合 J452421 2 w75 6 0 45 t A P 3 由动能定理 J45 AEk 2 8 如题 2 18 图所示 一物体质量为 2kg 以初速度 0 v 3m s 1从 斜面A点处下滑 它与斜面的摩擦力为 8N 到达B点后压缩弹簧 20cm 后停止 然后又被弹回 求弹簧的劲度系数和物体最后能回到 的高度 解 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点 弹簧原 文档鉴赏 长处为弹性势能零点 则由功能原理 有 37sin 2 1 2 1 22 mgsmvkxsfr 2 2 2 1 37sin 2 1 kx sfmgsmv k r 式中 m52 08 4 s m2 0 x 再代入有关数据 解得 1 mN1390 k 题 2 8 图 再次运用功能原理 求木块弹回的高度 h 2o 2 1 37sinkxsmgsfr 代入有关数据 得 m4 1 s 则木块弹回高度 m84 0 37sin o sh 2 9 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞 试证 碰后两小球的运动方向互相垂直 证 两小球碰撞过程中 机械能守恒 有 2 2 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 mvmvmv 即 2 2 2 1 2 0 vvv 题 2 9 图 a 题 2 9 图 b 又碰撞过程中 动量守恒 即有 210 vmvmvm 亦即 210 vvv 由 可作出矢量三角形如图 b 又由 式可知三矢量之间满足勾股 定理 且以 0 v 为斜边 故知1 v 与2 v 是互相垂直的 2 10 一质量为m的质点位于 11 y x 处 速度为 jvivv yx 质点受 文档鉴赏 到一个沿x负方向的力 f 的作用 求相对于坐标原点的角动量以及作 用于质点上的力的力矩 解 由题知 质点的位矢为 jyixr 11 作用在质点上的力为 i ff 所以 质点对原点的角动量为 vmrL 0 11 jvivmiyix yx kmvymvx xy 11 作用在质点上的力的力矩为 k fyi fjyixfrM 1110 2 11 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆 它离太阳最近距离为 1 r 8 75 1010m 时的速率是 1 v 5 46 104 m s 1 它离太阳最远 时的速率是2 v 9 08 102m s 1 这时它离太阳的距离2 r 多少 太 阳位于椭圆的一个焦点 解 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力 即有心力的作用 所 以角动量守恒 又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨 道半径垂直 故有 2211 mvrmvr m1026 5 1008 9 1046 5 1075 8 12 2 410 2 11 2 v vr r 2 12 物体质量为 3kg t 0 时位于m4ir 1 sm6 jiv 如一恒 力 N5jf 作用在物体上 求 3 秒后 1 物体动量的变化 2 相对 z轴角动量的变化 解 1 3 0 1 smkg15d5djtjtfp 2 解 一 734 00 tvxx x jattvy y 5 253 3 5 2 1 36 2 1 22 0 即 ir 4 1 jir 5 257 2 1 0 xx vv 113 3 5 6 0 atvv yy 即 jiv 6 11 jiv 11 2 kjiivmrL 72 6 34 111 kjijivmrL 5 154 11 3 5 257 222 12 12 smkg 5 82 kLLL 文档鉴赏 解 二 dt dz M tt tFrtML 00 d d 3 0 1 3 0 2 smkg 5 82d 4 5 d5 3 5 2 1 6 4 2 ktkt tjjttit 题 2 12 图 2 13 飞轮的质量m 60kg 半径R 0 25m 绕其水平中心轴O转动 转速为 900rev min 1 现利用一制动的闸杆 在闸杆的一端加一竖 直方向的制动力F 可使飞轮减速 已知闸杆的尺寸如题 2 25 图所 示 闸瓦与飞轮之间的摩擦系数 0 4 飞轮的转动惯量可按匀质 圆盘计算 试求 1 设F 100 N 问可使飞轮在多长时间内停止转动 在这段时间里 飞轮转了几转 2 如果在 2s 内飞轮转速减少一半 需加多大的力F 解 1 先作闸杆和飞轮的受力分析图 如图 b 图中N N 是正 压力 r F r F 是摩擦力 x F 和 y F 是杆在A点转轴处所受支承力 R是轮的重力 P是轮在O轴处所受支承力 题 2 13 图 a 题 2 13 图 b 杆处于静止状态 所以对A点的合力矩应为零 设闸瓦厚度不计 则有 文档鉴赏 F l ll NlNllF 1 21 121 0 对飞轮 按转动定律有 IRFr 式中负号表示 与角速度 方向 相反 NFr N N F l ll NFr 1 21 又 2 1 2 mRI F mRl ll I RFr 1 21 2 以 N100 F 等代入上式 得 2 srad 3 40 100 50 0 25 0 60 75 0 50 0 40 0 2 由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为 s06 7 4060 32900 0 t 这段时间内飞轮的角位移为 rad2 1 53 4 9 3 40 2 1 4 9 60 2900 2 1 22 0 tt 可知在这段时间里 飞轮转了1 53转 2 1 0 srad 60 2 900 要求飞轮转速在2 ts内减少一半 可知 20 0 0 srad 2 15 2 2 tt 用上面式 1 所示的关系 可求出所需的制动力为 N ll mRl F 177 2 75 0 50 0 40 0 2 1550 0 25 0 60 2 21 1 2 14 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴 O O 转动 设大小圆柱体的半径分别为R和r 质量分别为 M和m 绕在两柱体上的细绳分别与物体1 m 和2 m 相连 1 m 和2 m 则挂 在圆柱体的两侧 如题 2 26 图所示 设R 0 20m r 0 10m m 4 kg M 10 kg 1 m 2 m 2 kg 且开始时1 m 2 m 离地均为h 2m 求 文档鉴赏 1 柱体转动时的角加速度 2 两侧细绳的张力 解 设1 a 2 a 和 分别为1 m 2 m 和柱体的加速度及角加速度 方向如 图 如图 b 题 2 14 a 图 题 2 14 b 图 1 1 m 2 m 和柱体的运动方程如下 2222 amgmT 1111 amTgm IrTRT 21 式中 RaraTTTT 122211 而 22 2 1 2 1 mrMRI 由上式求得 2 2222 2 2 2 1 21 srad13 6 8 9 10 0 220 0 210 0 4 2 1 20 0 10 2 1 21 022 0 g rmRmI rmRm 2 由 式 8 208 9213 6 10 0 2 222 gmrmT N 由 式 1 1713 6 2 028 92 111 RmgmT N 2 15 如题 2 15 图所示 一匀质细杆质量为m 长为l 可绕过一端 O的水平轴自由转动 杆于水平位置由静止开始摆下 求 1 初始时刻的角加速度 2 杆转过 角时的角速度 解 1 由转动定律 有 文档鉴赏 3 1 2 1 2 mlmg l g 2 3 2 由机械能守恒定律 有 22 3 1 2 1 sin 2 ml l mg l g sin3 题 2 15 图 习题三习题三 3 1 气体在平衡态时有何特征 气体的平衡态与力学中的平衡态有何 不同 答 气体在平衡态时 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换 系统的宏观性质不随时间变化 力学平衡态与热力学平衡态不同 当系统处于热平衡态时 组成系 统的大量粒子仍在不停地 无规则地运动着 大量粒子运动的平均 效果不变 这是一种动态平衡 而个别粒子所受合外力可以不为 零 而力学平衡态时 物体保持静止或匀速直线运动 所受合外力 为零 3 2 气体动理论的研究对象是什么 理想气体的宏观模型和微观模型 各如何 答 气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统 是从物质 的微观结构和分子运动论出发 运用力学规律 通过统计平均的办 法 求出热运动的宏观结果 再由实验确认的方法 从宏观看 在温度不太低 压强不大时 实际气体都可近似地当作 理想气体来处理 压强越低 温度越高 这种近似的准确度越 高 理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点 3 3 温度概念的适用条件是什么 温度微观本质是什么 答 温度是大量分子无规则热运动的集体表现 是一个统计概念 对个别分子无意义 温度微观本质是分子平均平动动能的量度 文档鉴赏 3 4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率 i N 214682 sm 1 i V 10 020 030 040 050 0 解 平均速率 286421 5024083062041021 i ii N VN V 7 21 41 890 1 sm 方均根速率 286421 5024081062041021 22322 2 2 i ii N VN V 6 25 1 sm 3 5 速率分布函数 vf的物理意义是什么 试说明下列各量的物理意 义 n为分子数密度 N为系统总分子数 1 vvfd 2 vvnfd 3 vvNfd 4 v vvf 0 d 5 0 d vvf 6 2 1 d v v vvNf 解 vf 表示一定质量的气体 在温度为T的平衡态时 分布在 速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比 1 vvfd 表示分布在速率v附近 速率区间vd内的分子数占总分 子数的百分比 2 vvnfd 表示分布在速率v附近 速率区间dv内的分子数密 度 3 vvNfd 表示分布在速率v附近 速率区间dv内的分子数 4 v vvf 0 d 表示分布在 21 v v区间内的分子数占总分子数的百分 比 5 0 d vvf 表示分布在 0的速率区间内所有分子 其与总分子 数的比值是1 6 2 1 d v v vvNf 表示分布在 21 vv区间内的分子数 3 6 题 3 6 图 a 是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布 曲线 哪一条代表氢 题 3 6 图 b 是某种气体在不同温度下的两条 文档鉴赏 麦克斯韦速率分布曲线 哪一条的温度较高 答 图 a 中 1 表示氧 2 表示氢 图 b 中 2 温度高 题 3 6 图 3 7 试说明下列各量的物理意义 1 kT 2 1 2 kT 2 3 3 kT i 2 4 RT i M M mol 2 5 RT i 2 6 RT 2 3 解 1 在平衡态下 分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由 度上的能量均为k 2 1 T 2 在平衡态下 分子平均平动动能均为kT 2 3 3 在平衡态下 自由度为i的分子平均总能量均为kT i 2 4 由质量为M 摩尔质量为 mol M 自由度为i的分子组成的系统的 内能为RT i M M 2 mol 5 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为RT i 2 6 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT 2 3 或者说热力学 体系内 1 摩尔分子的平均平动动能之总和为RT 2 3 3 8 有一水银气压计 当水银柱为 0 76m 高时 管顶离水银柱液面 0 12m 管的截面积为 2 0 10 4m2 当有少量氦 He 混入水银管内 顶部 水银柱高下降为 0 6m 此时温度为 27 试计算有多少质量氦气在管顶 He 的摩尔质量为 0 004kg mol 1 解 由理想气体状态方程RT M M pV mol 得 RT pV MM mol 汞的重度 5 1033 1 Hg d 3 mN 文档鉴赏 氦气的压强 Hg 60 076 0 dP 氦气的体积 4 100 2 60 0 88 0 V 3 m 27273 100 228 0 60 0 76 0 004 0 4 Hg R d M 27273 31 8 100 228 0 60 0 76 0 004 0 4 Hg d 6 1091 1 Kg 3 9 设有N个粒子的系统 其速率分布如题 6 18 图所示 求 1 分布函数 vf的表达式 2 a与 0 v之间的关系 3 速度在 1 5 0 v到 2 0 0 v之间的粒子数 4 粒子的平均速率 5 0 5 0 v到 1 0 v区间内粒子平均速率 题 3 9 图 解 1 从图上可得分布函数表达式 2 0 2 0 0 00 00 vvvNf vvvavNf vvvavvNf 2 0 2 0 0 00 00 vv vvvNa vvNvav vf vf满足归一化条件 但这里纵坐标是 vNf而不是 vf故曲线下的 总面积为N 2 由归一化条件可得 00 0 0 0 2 0 3 2 dd vv v v N aNvaNv v av N 3 可通过面积计算 NvvaN 3 1 5 12 00 4 N个粒子平均速率 0 0 0 2 0 0 2 00 ddd 1 d v v v vavv v av vvvNf N vvvfv 0 2 0 2 0 9 11 2 3 3 1 1 vavav N v 文档鉴赏 5 0 5 0 v到 0 1v区间内粒子平均速率 0 0 0 0 5 0 11 5 0 d d v v v v N Nv N N N Nv v 0 0 0 0 5 05 0 0 2 11 dd v v v v v Nv av N N vvvf N N 24 71 243 1 d 1 2 0 10 3 0 0 3 0 1 5 0 0 2 1 0 0 av Nv av v av N v v av N v v v 0 5 0 v到 0 1v区间内粒子数 NavvvaaN 4 1 8 3 5 0 5 0 2 1 0001 9 7 6 7 0 2 0 v N av v 3 10 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于 1 100 pp vv与 1 100 pp vv之间的分子数占总分子数的百分比 解 令 P v v u 则麦克斯韦速率分布函数可表示为 dueu N dN u22 4 因为1 u 02 0 u 由 ueu N N u 2 2 4 得 66 1 02 0 1 4 1 e N N 3 11 1mol 氢气 在温度为 27 时 它的平动动能 转动动能和内 能各是多少 解 理想气体分子的能量 RT i E 2 平动动能 3 t 5 373930031 8 2 3 t EJ 转动动能 2 r 249330031 8 2 2 r EJ 内能5 i 5 623230031 8 2 5 i E J J 3 12 一真空管的真空度约为 1 38 10 3 Pa 即 1 0 10 5 mmHg 试 求在 27 时单位体积中的分子数及分子的平均自由程 设分子的有 效直径d 3 10 10 m 解 由气体状态方程nkTp 得 文档鉴赏 17 23 3 1033 3 3001038 1 1038 1 kT p n 3 m 由平均自由程公式 nd 2 2 1 5 7 1033 3 1092 1 1720 m 3 13 1 求氮气在标准状态下的平均碰撞频率 2 若温度不变 气 压降到 1 33 10 4Pa 平均碰撞频率又为多少 设分子有效直径 10 10 m 解 1 碰撞频率公式vndz 2 2 对于理想气体有nkTp 即 kT p n 所以有 kT pvd z 2 2 而 mol 60 1 M RT v 43 455 28 27331 8 60 1 v 1 sm 氮气在标准状态下的平均碰撞频率 8 0 520 1044 5 2731038 1 10013 1 43 455102 z 1 s 气压下降后的平均碰撞频率 1 23 420 s714 0 2731038 1 1033 1 43 455102 z 3 14 1mol 氧气从初态出发 经过等容升压过程 压强增大为原来 的 2 倍 然后又经过等温膨胀过程 体积增大为原来的 2 倍 求末 态与初态之间 1 气体分子方均根速率之比 2 分子平均自由程之 比 解 由气体状态方程 2 2 1 1 T p T p 及 3322 VpVp 方均根速率公式 mol 2 73 1 M RT v 2 1 2 1 2 1 2 2 p p T T v v 末 初 对于理想气体 nkTp 即 kT p n 所以有 pd kT 2 2 文档鉴赏 1 21 21 Tp pT 末 初 习题四习题四 4 1 下列表述是否正确 为什么 并将错误更正 1 AEQ 2 VpEQd 3 1 2 1 Q Q 4 1 2 1 Q Q 不可逆 解 1 不正确 AEQ 2 不正确 VpEQd 3 不正确 1 2 1 Q Q 4 不正确 1 2 1 Q Q 不可逆 4 2 用热力学第一定律和第二定律分别证明 在 Vp 图上一绝热 线与一等温线不能有两个交点 题 4 2 图 解 1 由热力学第一定律有 AEQ 若有两个交点a和b 则 经等温ba 过程有 0 111 AQE 经绝热ba 过程 0 12 AE 0 22 AE 从上得出21 EE 这与a b两点的内能变化应该相同矛盾 2 若两条曲线有两个交点 则组成闭合曲线而构成了一循环过程 这循环过程只有吸热 无放热 且对外做正功 热机效率为 100 违背了热力学第二定律 4 3 一循环过程如题 4 3 图所示 试指出 文档鉴赏 1 cabcab 各是什么过程 2 画出对应的 Vp 图 3 该循环是否是正循环 4 该循环作的功是否等于直角三角形面积 5 用图中的热量 acbcab QQQ 表述其热机效率或致冷系数 解 1 ab是等体过程 bc过程 从图知有KTV K为斜率 由 vRTpV 得 K vR p 故bc过程为等压过程 ca是等温过程 2 Vp 图如题4 3 图 题4 3 图 3 该循环是逆循环 4 该循环作的功不等于直角三角形面积 因为直角三角形不是 Vp 图中的图形 5 abcabc ab QQQ Q e 题 4 3 图 题 4 4 图 4 4 两个卡诺循环如题 4 4 图所示 它们的循环面积相等 试问 1 它们吸热和放热的差值是否相同 2 对外作的净功是否相等 3 效率是否相同 答 由于卡诺循环曲线所包围的面积相等 系统对外所作的净功相 等 也就是吸热和放热的差值相等 但吸热和放热的多少不一定相 等 效率也就不相同 文档鉴赏 4 5 根据 B A AB T Q SS 可逆 d 及 B A AB T Q SS 不可逆 d 这是否说明可逆过程 的熵变大于不可逆过程熵变 为什么 说明理由 答 这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变 熵是状态函 数 熵变只与初末状态有关 如果可逆过程和不可逆过程初末状态 相同 具有相同的熵变 只能说在不可逆过程中 系统的热温比之 和小于熵变 4 6 如题 4 6 图所示 一系统由状态a沿acb到达状态 b 的过程中 有 350 J 热量传入系统 而系统作功 126 J 1 若沿adb时 系统作功 42 J 问有多少热量传入系统 2 若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时 外界对系统作功为 84 J 试问系统是吸热还是放热 热量传递是多少 题 4 6 图 解 由abc过程可求出b态和a态的内能之差 AEQ 224126350 AQE J abd过程 系统作功42 AJ 26642224 AEQ J 系统吸收热量 ba过程 外界对系统作功84 AJ 30884224 AEQ J 系统放热 4 7 1 mol 单原子理想气体从 300 K 加热到 350 K 问在下列两过 程中吸收了多少热量 增加了多少内能 对外作了多少功 1 体积保持不变 2 压力保持不变 解 1 等体过程 由热力学第一定律得 EQ 吸热 2 1212V TTR i TTCEQ 25 623 300350 31 8 2 3 EQ J 对外作功 0 A 2 等压过程 2 2 1212P TTR i TTCQ 文档鉴赏 吸热 75 1038 300350 31 8 2 5 Q J 12V TTCE 内能增加 25 623 300350 31 8 2 3 E J 对外作功 5 415 5 62375 1038 EQA J 4 8 0 01 m3氮气在温度为 300 K 时 由 0 1 MPa 即 1 atm 压缩 到 10 MPa 试分别求氮气经等温及绝热压缩后的 1 体积 2 温度 3 各过程对外所作的功 解 1 等温压缩 300 TK 由2211 VpVp 求得体积 3 2 11 2 10101 0 10 1 p Vp V 3 m 对外作功 2 1 1 1 2 lnln p p Vp V V VRTA 01 0 ln01 0 10013 1 1 5 3 1067 4 J 2 绝热压缩 RC 2 5 V 5 7 由绝热方程 2211 VpVp 1 2 11 2 p Vp V 1 1 2 1 1 2 11 2 V p p p Vp V 3 4 1 1093 101 0 10 1 m 由绝热方程 22 1 11 pTpT 得 K579 10 300 2 4 04 1 1 1 1 21 2 T p pT T 热力学第一定律 AEQ 0 Q 所以 12 mol TTC M M A V RT M M pV mol 2 5 12 1 11 TTR RT Vp A 3 5 10 5 23 300579 2 5 300 001 0 10013 1 A J 4 9 1 mol 的理想气体的 T V 图如题 4 9 图所示 ab为直线 延长 线通过原点 O 求ab过程气体对外做的功 文档鉴赏 题 4 9 图 解 设KVT 由图可求得直线的斜率K为 0 0 2V T K 得过程方程 V V T K 0 0 2 由状态方程 RTpV 得 V RT p ab过程气体对外作功 0 0 2 d V v VpA 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 22 0 0 2 d 2 d 2 d V V V v V V RT V V RT VV V T V R V V RT A 4 10 一卡诺热机在 1000 K 和 300 K 的两热源之间工作 试计算 1 热机效率 2 若低温热源不变 要使热机效率提高到 80 则高温热源温度需 提高多少 3 若高温热源不变 要使热机效率提高到 80 则低温热源温度需 降低多少 解 1 卡诺热机效率 1 2 1 T T 70 1000 300 1 2 低温热源温度不变时 若 80 300 1 1 T 要求 1500 1 T K 高温热源温度需提高500K 3 高温热源温度不变时 若 80 1000 1 2 T 要求 200 2 T K 低温热源温度需降低100K 文档鉴赏 4 11 如题 4 11 图所示是一理想气体所经历的循环过程 其中 AB和CD是等压过程 BC和DA为绝热过程 已知B点和C点的温度 分别为2 T 和 3 T 求此循环效率 这是卡诺循环吗 题 4 11 图 解 1 热机效率 1 2 1 Q Q AB等压过程 12P1 TTCQ 吸热 P mo 1AB l TTC M M Q CD等压过程 12P2 TTvCQ 放热 P mol 22DC TTC M M QQ 1 1 1 2 BAB CDC AB DC TTT TTT TT TT Q Q 根据绝热过程方程得到 AD绝热过程 DDAA TpTp 11 BC绝热过程 CCBB TpTp 111 又 BC D DCBA T T T T pppp 2 3 1 T T 2 不是卡诺循环 因为不是工作在两个恒定的热源之间 4 12 1 用一卡诺循环的致冷机从 7 的热源中提取 1000 J 的热 量传向 27 的热源 需要多少功 从 173 向 27 呢 2 一可逆的卡诺机 作热机使用时 如果工作的两热源的温度差愈 大 则对于作功就愈有利 当作致冷机使用时 如果两热源的温度 差愈大 对于致冷是否也愈有利 为什么 解 1 卡诺循环的致冷机 21 22 TT T A Q e 静 7 27 时 需作功 4 711000 280 280300 2 2 21 1 Q T TT A J 173 27 时 需作功 文档鉴赏 20001000 100 100300 2 2 21 2 Q T TT A J 2 从上面计算可看到 当高温热源温度一定时 低温热源温度越低 温度差愈大 提取同样的热量 则所需作功也越多 对致冷是不利 的 4 13 如题 4 13 图所示 1 mol 双原子分子理想气体 从初态 K300 L20 11 TV 经历三种不同的过程到达末态 K300 L40 22 TV 图 中 1 2 为等温线 1 4 为绝热线 4 2 为等压线 1 3 为等压线 3 2 为等体线 试分别沿这三种过程计算气体的熵变 题 4 13 图 解 21 熵变 等温过程 AQdd VpAdd RTpV 2 1 1 1 12 2 1 d 1d V V V V RT TT Q SS 76 5 2lnln 2 12 R V V RSS J 1 K 321 熵变 3 1 2 3 12 dd T Q T Q SS 3 2 V 1 3 p V p 12 lnln d d 2 3 3 1T T C T T C T TC T TC SS T T T T 31 等压过程 31 pp 3 2 1 1 T V T V 1 2 1 3 V V T T 23 等体过程 2 2 3 3 T p T p 3 2 3 2 p p T T 1 2 3 2 p p T T 1 2 V 1 2 P12 lnln p p C V V CSS 在21 等温过程中 2211 VpVp 文档鉴赏 所以 2lnlnlnln 1 2 1 2 V 1 2 P12 R V V R V V C V V CSS 241 熵变 4 1 2 4 12 dd T Q T Q SS 4 1 p 4 2 p p 12 lnln d 0 2 4T T C T T C T TC SS T T 41 绝热过程 1 1 1 4 4 11 44 1 11 V V T T VTVT 1 2 1 1 4 1 1 4 4411 p p p p V V VpVp 在21 等温过程中 2211 VpVp 1 1 2 1 2 1 1 4 1 1 4 V V p p p p V V 1 1 2 4 1 V V T T 2lnln 1 ln 1 2 P 4 1 P12 R V V C T T CSS 4 14 有两个相同体积的容器 分别装有 1 mol 的水 初始温度分别 为1 T和 2 T 1 T 2 T 令其进行接触 最后达到相同温度T 求熵的变 化 设水的摩尔热容为molC 解 两个容器中的总熵变 T T T T l T TC T TC SS 12 dd momol 0 21 2 mol 21 mol ln ln ln TT T C T T T T C 因为是两个相同体积的容器 故 1mol2mol TTCTTC 得 2 12 TT T 21 2 12 mol0 4 ln TT TT CSS 4 15 把 0 的 0 5kg的冰块加热到它全部溶化成 0 的水 问 1 水的熵变如何 2 若热源是温度为 20 的庞大物体 那么热源的熵变化多大 3 水和热源的总熵变多大 增加还是减少 水的熔解热334 1 gJ 解 1 水的熵变 文档鉴赏 612 273 103345 0 3 1 T Q S J 1 K 2 热源的熵变 570 293 103345 0 3 2 T Q S J 1 K 3 总熵变 42570612 21 SSS J 1 K 熵增加 习题五习题五 5 1 电量都是q的三个点电荷 分别放在正三角形的三个顶点 试问 1 在这三角形的中心放一个什么样的电荷 就可以使这四个电荷都 达到平衡 即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零 2 这 种平衡与三角形的边长有无关系 解 如题 8 1 图示 1 以A处点电荷为研究对象 由力平衡知 q 为负电荷 20 2 2 0 3 3 4 1 30cos 4 1 2 a qq a q 解得 qq 3 3 2 与三角形边长无关 题 5 1 图 题 5 2 图 5 2 两小球的质量都是m 都用长为l的细绳挂在同一点 它们带有 相同电量 静止时两线夹角为 2 如题 5 2 图所示 设小球的半径 和线的质量都可以忽略不计 求每个小球所带的电量 解 如题 8 2 图示 2 2 0 sin2 4 1 sin cos l q FT mgT e 文档鉴赏 解得 tan4sin2 0mg lq 5 3 在真空中有A B两平行板 相对距离为d 板面积为S 其带 电量分别为 q和 q 则这两板之间有相互作用力 f 有人说 f 2 0 2 4d q 又有人说 因为 f qE S q E 0 所以 f S q 0 2 试问这两种 说法对吗 为什么 f 到底应等于多少 解 题中的两种说法均不对 第一种说法中把两带电板视为点电荷 是不对的 第二种说法把合场强 S q E 0 看成是一个带电板在另一带 电板处的场强也是不对