广东省揭阳市2010年高考一模（数学理）

绝密 启用前 20102010 年揭阳市高考年揭阳市高考 一模一模 试题试题 数学数学 理科 理科 本试卷共4页 21小题 满分150分 考试用时l20分钟 注意事项 注意事项 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号 试室号 座 位号填写在答题卡上 2 选择题每小题选出答案后 用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案 答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改 液 不按以上要求作答的答案无效 4 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将试卷和答题卡一并交回 参考公式参考公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率 knkk nn PPCkP 1 一 选择题 本大题共8小题 每小题5分 满分40分 在每小题给出的四个选项 中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合若 则为 1 2 a ABa b 1 2 AB AB A B C D 1 1 2 b 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 设函数 则是 cos 2 f xx xR f x A 最小正周期为的奇函数 B 最小正周期为的偶函数 C 最小正周期为的奇函数 D 最小正周期为的偶函数 2 2 3 已知随机变量服从正态分布 则 2 2 N 4 0 84 P 0 P A 0 16 B 0 32 C 0 68 D 0 84 4 数列是公差不为 0 的等差数列 且为等比数列的连续三项 则数列 n a 137 a a a n b DC BA o x y 145 5 x y 0 x y 5 0 x 1 x 4 o x y 145 5 x y 0 x y 5 0 x 1 x 4 o x y 145 5 x y 0 x y 5 0 x 1 x 4 x 4 x 1 x y 5 0 x y 0 5 541 y x o 主 主 主 主 主 主主 主 主 10 10 10 10 20 的公比为 n b A B 4 C 2 D 2 1 2 5 一质点受到平面上的三个力 单位 牛顿 的作用而处于平衡状态 已知 123 F F F 成 12 F F 角 且的大小分别为 1 和 2 则有120 12 F F A 成角 B 成角 C 成角 D 成角 13 F F90 13 F F150 23 F F90 23 F F60 6 已知函数 则不等式组表示的平面区域为 2 54f xxx 0 14 f xf y x 7 一物体 A 以速度 的单位 s 的单位 m s 在一直线上运动 在此直 2 32vt tv 线 上在物体 A 出发的同时 物体 B 在物体 A 的正前方 8m 处以 的单位 s 的单8vt tv 位 m s 的速度与 A 同向运动 设s 后两物体相遇 则的值为nn A B C 4 D 5 410 3 210 8 平面内称横坐标为整数的点为 次整点 过函数图象上任意两个次整点作 2 9yx 直线 则倾斜角大于 45 的直线条数为 A 10 B 11 C 12 D 13 二 填空题 本大题共7小题 考生作答6小题 每小题5分 满分30分 一 必做题 一 必做题 9 9 1313 题 题 9 已知函数的定义域为 集合 若 P 是lg 4 yx A Bx xa xA Q 的充分不必要条件 则实数的取值范围 xB a 10 双曲线上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦 22 1 169 xy 点距离的等差中项 则 P 点到左焦点的距离为 11 某师傅用铁皮制作一封闭的工件 其直观图的三视图如右图示 单位长度 cm 图中水平线与竖线垂直 则制作该工件用去的 铁皮的面积为 制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计 2 cm DABCD 0 主 主 主主 主 主 主 主 主 主 4000350030002500 200015001000 0 0008 0 0004 0 0003 0 0001 主 主 主 A1主A2主 A6 i i 1 主 主 主 主 主 主 S i 7主 S主 0 i主 2 S主 S Ai 主 O E D F P 12 已知函数则 1 4 2 1 4 x x f x f xx 2 log 3 f 13 下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图 已知图甲中从左向右第一组的频数为 4000 在样本中记月收入在 1000 1500 的人数依次为 1500 2000 2000 2500 2500 3000 3000 3500 3500 4000 1 A 图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图 则 2 A 6 A 样本的容量 图乙输出的 用数字作答 n S 图甲 图乙 二 选做题 二 选做题 14 15 题 题 考生只能从中选做一题 考生只能从中选做一题 14 坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题 设直线的参数方程为 为参数 以坐标原 1 l 1 3 xt yat t 点为极点 x 轴为极轴建立极坐标系得另一直线的方程为 2 lsin3 cos40 若直线与间的距离为 则实数的值为 1 l 2 l10a 15 几何证明选做题 几何证明选做题 如图 已知是外一点 为的切线 为POAPDOAD 切点 割线 PEF 经过圆心 若 则的度数为 O12 4 3PFPD EFD 三 解答题 本大题共6小题 满分80分 解答须写出文字说明 证明过程和演算 步骤 16 本题满分 本题满分 12 分 分 已知复数 且 1 sin2 zxi 2 3cos2 zmmx im xR 12 zz 1 若且 求的值 0 0 x x 2 设 已知当时 试求的值 f xx 1 2 cos 4 3 P A B C D E y x 0 M F1F2 P P A B C D E 17 本题满分 本题满分 12 分 分 某品牌的汽车 4S 店 对最近 100 位采用分期付款的购车者进行 统计 统计结果如右表所示 已知分 3 期付款的频率为 0 2 4S 店经销一辆该品牌的汽车 顾客分 1 期付款 其利润为 1 万元 分 2 期或 3 期付款其利润为 1 5 万元 分 4 期或 5 期付 款 其利润为 2 万元 用表示经销一辆汽车的利润 1 求上表中的值 a b 2 若以频率作为概率 求事件 A 购买该品牌汽车的 3 位顾客中 至多有 1 位采用 3 期付款 的概率 P A 3 求的分布列及数学期望 E 18 本题满分 本题满分 14 分 分 右图为一简单组合体 其底面 ABCD 为正方形 平面 PD ABCD 且 ECPD2PDEC 1 求证 BE 平面 PDA 2 若 N 为线段的中点 求证 平面 PBEN PDB 3 若 求平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角的大小 2 PD AD 19 本题满分 本题满分 14 分 分 已知如图 椭圆方程为 P 为椭圆上的动点 22 2 1 16 xy b 40 b F1 F2为椭圆的两焦点 当点 P 不在 x 轴上时 过 F1作 F1PF2的外角 平分线的垂线 F1M 垂足为 M 当点 P 在 x 轴上时 定义 M 与 P 重合 1 求 M 点的轨迹 T 的方程 2 已知 试探究是否存在这样的点 是轨迹 T 内部的整点 平 0 0 O 2 1 EQQ 面内横 纵坐标均为整数的点称为整点 且 OEQ 的面积 若存在 求出点 Q 的2 OEQ S 坐标 若不存在 说明理由 20 本题满分 本题满分 14 分 分 设函数 1 ln f xx xm g xx 1 当时 求函数在上的最大值 1m yf x 0 m 2 记函数 若函数有零点 求的取值范围 p xf xg x p xm 21 本题满分 本题满分 14 分 分 已知 是方程的两根 且 12 x x 12 xx 2 650 xx 1n n n x y x 21 1 5 nn n xx y 1 求的值 123 y yy 2 设 求证 1nnn zy y 1 26 n i i zn 3 求证 对有 nN 2 2 11 625 26 nn n yy 付款方式分 1 期分 2 期分 3 期分 4 期分 5 期 频 数 4020 a 10 b nN F3 F3 F2 F1 揭阳市揭阳市 20102010 年高中毕业班第一次高考模拟考年高中毕业班第一次高考模拟考 数学试题数学试题 理科理科 参考答案及评分说明参考答案及评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 2 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时 如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度 可视影响的程度决定给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果后 续部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分数 一 选择题 DBAC ACCB 解析 解析 1 由得 故选 D 1 2 AB 1 21 2 a a 1 2 b 2 可知答案选 B cos 2 cos2f xxx 3 由正态分布的特征得 选 A 0 P 1 4 1 0 840 16P 4 设数列的公差为 由得 n ad0d 2 317 aa a 2 111 2 6 ada ad 1 2ad 故 选 C 311 111 22 2 aada q aaa 5 由 123312 0 FFFFFF 2222 3121212 2 cos120FFFFFFF 1 144 3 2 3 32 1 2 1 O y X P7 P6 P5 P4P3 P2 P1 P F D E O D C B A P 由知 成角 故选 A 3 3F 123 1 2 3FFF 13 F F90 6 不等式组即或 故其对应平面区域应为图 0 14 f xf y x 0 50 14 xy xy x 0 50 14 xy xy x C 7 依题意得 2 00 32 88 nn tdttdt 32 284nnn 2 4 2 0nn 4n 选 C 8 如图 设曲线的次整点分别为 过点 2 9yx 127 P PP 倾斜角大于 45 的直线有 过点的有 1 P 1213 PP PP 2 P 27 P P 过点有 过点有 过 3 P 36 PP 37 PP 4 P 45 P P 46 P P 47 P P 点有 过点的有 共 11 条 故选 B 5 P 5657 PP PP 6 P 67 P P 二 填空题 9 10 13 11 12 4a 100 35 1 24 13 10000 6000 14 9 或 11 15 30 解析 解析 9 由右图易得 4 Ax x 4a 10 由得设左焦点为 右焦点为 则 4 3 ab 5c 1 F 2 F 2 1 5 2 PFaccac 由双曲线的定义得 12 2 8513PFaPF 11 该几何体的形状如图 它是底面为正方形 各个侧面均为直角三角形 的四棱锥 用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积100 35 S 2 cm 12 由已知得 222 log 3 log 3 1 log 32 fff 22 log 33 log 24 ff 1 22 log 24log 24 1 2 2 1 24 13 月收入在的频率为 且有4000人 1000 1500 0 0008 5000 4 样本的容量 由图乙知输出的 4000 10000 0 4 n 10000 4000 6000 S 236 AAA 14 将直线 的方程化为普通方程得 将直线的方程化为直角坐标方程得 1 l330 xya 2 l 由两平行线的距离公式得或340 xy 34 10 1 10 10 a a 9a 11a 15 由切割线定理得 2 PDPE PF 2 16 3 4 12 PD PE PF 8EF 4OD ODPD 1 2 ODPO 30P 60 30PODPDEEFD 三 解答题 16 解 1 12 zz 2 分 sin2 3cos2 xm mx sin23cos2xx 若则得 4 分0 sin23cos20 xx tan23x 0 x 022x 或2 3 x 4 2 3 x 或 6 分 6 x 2 3 2 13 sin23cos22 sin2cos2 22 f xxxxx 8 分2 sin2 coscos2 sin 33 xx 2sin 2 3 x 当时 x 1 2 9 1 2sin 2 32 1 sin 2 34 1 sin 2 34 分 11cos 4 3 2 cos2 2 2cos 2 1 66 2 2sin 2 1 3 分 12 分cos 4 3 2 17 2 1 48 17 解 1 由得0 2 100 a 20a 2 分402010100ab 10b N E D C B A P F z y x N E D C B A P 2 记分期付款的期数为 依题意得 40 1 0 4 100 P 20 2 0 2 100 P 3 0 2P 5 分 10 4 0 1 100 P 10 5 0 1 100 P 则 购买该品牌汽车的 3 位顾客中至多有 1 位采用 3 期付款 的概率 7 分 P A 312 3 0 80 2 1 0 2 0 896C 3 的可能取值为 1 1 5 2 单位万元 8 分 1 1 0 4PP 9 分 1 5 2 3 0 4PPP 10 分 2 4 5 0 1 0 10 2PPP 的分布列为 的数学期望 万元 12分 1 0 4 1 5 0 42 0 21 4E 18 解 1 证明 平面 ECPDPD PDA 平面EC PDA EC 平面 PDA 同理可得 BC 平面 2 分PDA EC平面 EBC BC平面 EBC 且 ECBCC 平面 平面 3 分BECPDA 又 BE平面 EBC BE 平面 PDA 4 分 2 证法 1 连结 AC 与 BD 交于点 F 连结 NF F 为 BD 的中点 且 6 分 NFPD 1 2 NFPD 又且 ECPD 1 2 ECPD 且 NFECNFEC 四边形 NFCE 为平行四边形 7 分 NEFC 平面 DBAC PD ABCD 面 AC ABCDACPD 又PDBDD 面 面 9 分AC PBDNE PDB 证法 2 如图以点 D 为坐标原点 以 AD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图示 设该简单组合体的底面边长为 1 PDa 11 52 P0 40 40 2 G P A B C D E 则 1 1 0 0 1 0 0 0 BCPa 6 分 0 1 2 a E 1 1 2 2 2 a N 11 0 22 EN 1 1 PBa 1 1 0 DB 11 1100 22 EN PBa 11 11 0 00 22 EN DB 8 ENPB ENDB 分 面 且PBDB PDBPBDBB 面 9 分NE PDB 3 解法 1 连结 DN 由 2 知面NE PDB DNNE 2 PD AD 2DBAD PDDB DNPB 为平面 PBE 的法向量 设 则 11DN 1AD 1 12 2 22 NDN 1 12 2 22 分 为平面 ABCD 的法向量 12 分DP 0 0 2 DP 设平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 则 13 分 12 cos 2 2 DN DP DNDP 即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 45 14 分45 解法 2 延长 PE 与 DC 的延长线交于点 G 连结 GB 则 GB 为平面 PBE 与 ABCD 的交线 10 分 2PDEC CDCGCB D B G 在以 C 为圆心 以 BC 为半径的圆上 11 分DBBG 平面 面 PD ABCDBG ABCD 且PDBG PDDBD 面 面 BG PDBPB PDB BGPB 为平面 PBE 与平面 ABCD 所PBD 成的二面角的平面角 13 分 在中 Rt PDB PDDB y x 0 M F1F2 P N 45 即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 45 14 分PBD 其它解法请参照给分 19 解 1 当点 P 不在 x 轴上时 延长 F1M 与 F2P 的延长线相交于点 N 连结 OM M 是线段的中 1 NPMMPF 1 NMPPMF PNM 1 PFM 1 NF 点 2 分 1 PNPF OM 2 1 NF2 PNPF 2 2 1 12 2 1 PFPF 点 P 在椭圆上 4 4 分 21 PFPF 8OM 当点 P 在 x 轴上时 M 与 P 重合 M 点的轨迹 T 的方程为 6 分 222 4xy 2 连结 OE 易知轨迹 T 上有两个点 A B满足 4 0 4 0 2 OEAOEB SS 分别过 A B 作直线 OE 的两条平行线 1 l 2 l 同底等高的两个三角形的面积相等 符合条件的点均在直线 上 7 分 1 l 2 l 直线 的方程分别为 8 1 2 OE k 1 l 2 l 1 4 2 yx 1 4 2 yx 分 设点 在轨迹 T 内 9 分 Q x y x yZ Q 22 16xy 分别解与 22 16 1 4 2 xy yx 22 16 1 4 2 xy yx 得 与 11 分 2 42 5 x 2 24 5 x 为偶数 在上对应的 x yZ x 2 4 2 5 2 0 2x 1 2 3y 在上 对应的 13 2 2 4 5 2 0 2x 3 2 1y 分 满足条件的点存在 共有 6 个 它们的坐标分别为 Q 14 分 2 1 0 2 2 3 2 3 0 2 2 1 20 解 1 当时 0 1 x 1 f xxxm 22 11 24 xxmxm 当时 2 分 1 2 x max 1 4 f xm 当时 1 xm 1 f xx xm 22 11 24 xxmxm 函数在上单调递增 4 yf x 1 m 2 max f xf mm 分 由得又 2 1 4 mm 2 1 0 4 mm 1m 12 2 m 当时 当时 6 12 2 m 2 max f xm 12 1 2 m max 1 4 f xm 分