考研高数易错部分总结

一元微积分 xc第 1 页2020 3 31 1 考研高等数学第一轮复习考研高等数学第一轮复习 1 1 函数的性质函数的性质 1 1 1 单调性单调性 1 1 2 奇偶性奇偶性 0 0 2 a a aa a f x f xf x 奇函数 偶函数 奇函数的导数是偶函数 偶函数的导数是奇函数 0 F F F C F x xf t dtxf x f tx f txC 有 是奇函数是偶函数 C 是任意实常数 是偶函数是奇函数 C 0 Exa 0 0 0 0 0 0 0 0 f xxfxfxf xx fxxfx xfxfx 是奇函数 当推出 在上是 单调递增的 并且是偶函数 上单调增 所以 时 1 1 3 周期性周期性 定义 方法 定义 间接发 性质 一个周期函数在 n 个周期上面的积分 在一个周期上积分的 n 倍 与起点无关 0 2 0 2 a nTT a T T T f x dxnf x f xf x 一元微积分 xc第 2 页2020 3 31 2 0 0 a TT a T f x dxf x dx xatf ta d ta 证 令左式 0 0 F 0 x T xf t dt F xTF xf x dx 如果 函数f x 周期为T 且 那么 Exa 0 f F 0 x xTf x f t dtT TT 2 0 T 2 若是连续的奇函数 问 x 是周期为的函数吗 答 f x f x 是 设函数 f x 的周期是 T 00 lim xT x f t dtf x dx xT 证明 不能使用洛必达法则 使用夹逼准则 1 000 000 1 1 1 1 1 1 nTxnT TxT nTxnT f t dtf t dtf t dt nTxnT f t dtf t dtf t dt nn nTxnT n xn n 设 证毕 Exa1 00 sinsin 2 lim x x t dtt dt x 1 1 4 有界性有界性 判断方法 定义 不等式放大与缩小 间接法 函数的有界性和单调性一样 需要相对某个区间而言 当然这个区间肯定是定义 域的子集 函数的连续性也是一样 首先是某点连续 闭区间连续是指区间内的每点连续 端点处是左连续和右连续 连续的 3 要素 首先是该点必须要右定义 其次函数在该点的极 限存在并且等于函数在该点的值 一元微积分 xc第 3 页2020 3 31 3 0 x f x a bf x f x a bf x a f x a b lim f x f x x 0 在区间 上连续在这个区间上有界 在区间 上连续 函数在点的右极限存在 b点的左极限存在在区间 上有界 在含x 区间上无界 无穷大量和无界量的区别和联系 1 区别 无穷量是特殊的函数 是一个变量 当自变量趋于某个数或者无穷大 极限趋 于 0 或者无穷大 而无界量根据定义 无界即没有上界和下界 对于任何整数 M 在 定义域的某个定义区间 总存在 x1 f x1 M 2 联系 3 例题 一元微积分 xc第 4 页2020 3 31 4 sin C D sin sin 2 sin 2 0 2 sin 2 2 222 B x sin 2 f x 1 f xxxxf x A B f xxxx f xnnn f xnnnn x x x 当时 是 无界量 有界量 无穷小量 解 对于函数由于是周期函数 将之改写成 当很大时 x也很大 但是f x 趋于0 若改写成 当很大时 x也很大 但是f x 趋于 选 2 2 10 2 01 2 A 1 0 0 1 1 2 2 3 sin 2 x 1 0 f x 1 2 sin3 sin2 lim f x lim f x 184 sin 2 x 0 1 f x 1 2 sin2 lim f x limf x 4 x xx xx x B C D x xx x xx 以下有界区间是 本题考查开区间的有界性 连续 不存在 2 2 sin 2 1 2 f x 1 2 sin 2 x 2 3 f x 1 2 x xx x xx 同理 同理 一元微积分 xc第 5 页2020 3 31 5 1 1 5 连续性与间断点连续性与间断点 Exa 0 00 00 0 x 0 xx xx x 0 x0 x x 2xlim 3xlim lim f lim lim lim lim x xx xx x f xf g x f x f xf xx f xf x f x 0 0 0 0 f x g x 如果是奇函数 且存在 问 x 是的那一类间断点 分析 是函数f x 间断点的3个充分条件 1 没有定义 有定义 但是不存在 有定义 存在 但是 判断类型 存在 如果 0 00 0 x 0 xx 000 lim lim x lim limlim 0 x0 x xx xxx f xx f xf xx g xf g x 为可去间断点 第一类 为跳跃间断点 第一类 非第一类间断点即第二类间断点 有无穷间断点和震荡间断点 解答 g x 在 0没有定义 f x f x f 0 存在 所以 xx 0 是的可去间断点 1 2 极限极限 1 2 1 极限的定义极限的定义 0 lim 0 x xx 0 0 0 0 0 x 0 0 函数极限的定义 f x 在U x 有定义 对一任意该定的正数 不管它有多小 总存在U x 使得 f x A f x A U x 1 2 2 极限的唯一性极限的唯一性 一元微积分 xc第 6 页2020 3 31 6 1 2 3 极限的局部保号性极限的局部保号性 0 x 0 0 0 0 lim 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 x f xA U xf xf xAA AAU xf xf x 若 0 0 0 0 0 0 0 00 0 00 0 0 00 00 0 0 1 lim2 lim0 0 0 0 0 0 0 n xx nn xx n n f xf x exaf xxx xx x f xf xf xf x xU x xxxx xxxx nxxf xf x nxxf xf x xxxx 在某邻域内连续 且 讨论f x 在处的极值 解 为奇数 为偶数 00 0 0 0 0 0 n nxxf xf x nx nx 为任意整数 所以 为奇数时 不是极值点 为偶数时 是极小值点 注 本题关键 去极限符号 用保号定理 分n的奇偶性 极值的讨论方法 1111 2222 2 0 0 0 0 0 lim0 0 0 lim0 0 0 xa xb exaf xa bf af bfafb a bf fafb f xf a faxa af xf a xa f xf b fbxbbf xf b xb 连续 求证 证明 不妨设那么 零点定理得结论 需记住此结论 一元微积分 xc第 7 页2020 3 31 7 0 0 0 0 exa3 0 0lim1 0 lim10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 lim x x x fx fxf x f xx fx Ufxfx x f xfxf x xfxf x xf x f exafx 连续 且 讨论在的特殊点情况 分析 存在在内 因此是的极小值点 连续 且 0 0 1 0 lim10 0 0 0 0 0 0 x x x f xx fxfx U xx fxfx f x f x 讨论在的特殊点情况 分析 存在在内 显然 x 0 x 根据拐点的判断条件 一阶导数单调性改变的点是f x 的拐点 单调性改变的点是f x 的极值点 1 2 4 极限存在的条件极限存在的条件 极限存在的充要条件是函数在该点的左右极限存在且相等 但是与函数在该点是否定义 或者是否等于函数在该点的值没有关系 P63 Exa 0 0 0 0 2cos 0 f 0 lim sin3 0 lim 2cos 2 lim 1 sin3 lim3 x x x x ax x xb xf xa b x x x axa f xab x x 若存在 求 存在任意实数 1 2 5 几个潜规则几个潜规则 1 0 2 0 3 0 极限若存在 必有 分子 极限若存在且 分母 0 必有分子 分母 分子 极限若存在且0 分子 0 必有分母 分母 一元微积分 xc第 8 页2020 3 31 8 32 2 32 2 322 2 2 2 22 2 1 lim8 2 lim 840 32 lim 32 1248 2 lim 1 0 11 lim 1 lim 1 0 1 lim x x x x xx x xaxb exaab x xaxbab xaxbxax xaxa exaxxaxbab bb xxxaxxa xxxx xx a x 原式 2 2 22 3 0 3 0 33 00 0 11 lim 11 111111 lim 1 lim 11 lim 22 sin 3 lim 0 ln 1 ln 1 lim00 sin cos limlim ln 1 ln 1 x xxx xx a x ax xxx xx bxxxxx xxxx bxx exac cab t dt t t dta t bxxx bx tx dt t 若 32 00 cos cos limlim 1 1 2 xx x bxbx xx b 1 3 导数导数 导数存在的充要条件是函数在该点的左右导数存在且相等 首先函数必须在该点有定义 导数的实质是函数的极限 即增量趋于零的极限 极限的定义形式有 3 种 1 4 极限的求法极限的求法 1 4 1 步骤 判断类型 选择方法 步骤 判断类型 选择方法 00 0 01 0 不定型 0 要区别 真正的 0 和 1 和 极限为 0 和 1 一元微积分 xc第 9 页2020 3 31 9 真正的 0 乘以任何数为 0 0 limn sin 2n 0 0 lim0 n x x 真正的 1 的任何次幂为 1 lim11 x x 一元微积分 xc第 10 页2020 3 31 10 1 4 2 利用基本极限求极限利用基本极限求极限 2 2 1 x 0 0 00 11 11 111 1 11 3 1 lim 1 x lim 1 sin lim1 x sin2sin2 1 limlim22 2 1 1 2 limlim1 1 1 1 3 lim lim 11 1 lim x x x x xx nn tg nn tg nn n n n nn n e xe x xx exa xx tg n exan tg n n tg n exan tge n n 利用基本极限求极限 实质 1 型 111 111 2 111 111 33 1 3 33 111 0 11 11 11 3 11 1 lim 3 3 lim 1 3 13 limlim 3 xxx xxx xxx x x abc x xxx abc x t xxx xt tg nn nn abc abc abc abcab tx x 注 加减颠倒 还原 自变量是 n 的函数不能直接用洛必达法则 应该是一般 特殊 exa4 求极限 解 原式 令 1 3 00 3 3 1 1 1 lnlnln limlimln 33 tt ttt tt c t abctatbtc abc tt 一元微积分 xc第 11 页2020 3 31 11 1 4 3 利用等价代换求极限利用等价代换求极限 2 3 tan 3 0 tan2 0 xarcsinarctan x1ln x x x 1 x 2 1 0 tan 3 e 1 lim esec lim x xx x x x xxx axa m x xxxx e exa x xe x m 利用等价代换求极限 上面其实已经用过 常用的等价无穷小 0 si nxt anx 0 0 e 1x 0 l n 1 x x 0 1 x 1x 0 1 cosx 求极限 解法1 原式 tan 22 0 tan2tantan2 000 3 0 tantan 33 00 e lim 33 eseceesec limlimlim0 666 e lim0 tan e11e1 3limlimlim xxx x xxxxxx xxx xx x xxx xxx e xx xeexe xx e xx x e xx 错误很隐蔽 和解法2一样 解法2 原式 错等价代换不能用在加减运算中 解法 原式 3 0 3333 0000 xtantan 33 00 3 0 1 tan limlimlimlim 0 e e1 e1 4 limlim tan lim 1 3 x xxxx x xx x xx x e x xxxx xxxx xx xx x 错 前提条件是两个极限都存在 由下面知道 这两个 极限都是不存在的 这样做没有道理 解法正确 原式 一元微积分 xc第 12 页2020 3 31 12 1 4 4 洛必达法则求极限洛必达法则求极限 2 2 2 2 0 330 2333 ln 1 lim 21 1 11 1 021ln2 13 11 2 lim x xxx xx x tdt ex xxexxx 总之 用洛必达法则求极限时 如果可以用洛必达法则 可以 先用等价代换化简 但是等价代换只能用在乘法或者除法 千万 不能用在加减法中 即被作等价代换的因子不能是加减法的一部分 exa2 求极限 解 当时 且这几个因子是 乘积的关系 所以原式 22 22 00 00 236 44 00 55 ln 1 ln 1 lim 13 ln2 3ln2 22 2ln 1 22 limlim 33 9ln2 ln2 6ln2 6 22 xx x xx tdttdt xxxx xxxx xx 2 0 2 22 000 2 0 2 0 1sin limln 0 sincossin ln 0cossin sin lim limlim x022sin 1sin limln 11 sinsinsin 0ln 1 10ln 11 1 1sinx limlim x xxx x xx x xx xxx xx x xx xxx xxx x xx xxx xxx xxx x xx 原式 很复杂 另解 原式 时 原式 3 0 2 0 sinx cos11 lim 36 x x x x x 应用洛必达法则 结论洛必达法则和等价代换混合使用 1 4 5 夹逼定理和夹逼定理和 定积分定义定积分定义 Exa1 一元微积分 xc第 13 页2020 3 31 13 1 0 11 111 lim 122 111 X 122 1111 Xn 2222 111 Xn 1 1111 1111 lim lim 12212 1111 limlim 1 1 n nn nn nn ii nnn n nnn nnn n nnnn nnn nnnn nnnn n dx i nninx n 求 令则 求不出来 1 0 1 11 1 ln2 2 sinsinsin lim 11 1 2 12 limsin sin 11 limsin lim sin 11 12 limlimsin 1 2 n n n n n i nn n nn ii n nn i n n nnn I n nn n i Ixdx nn ini I nnnnn ni nnn I 求 夹逼准则 一元微积分 xc第 14 页2020 3 31 14 1 4 6 利用收敛级数的通项为利用收敛级数的通项为 0 1 n 1 12 n 1 n i 1n 1 n 1 lim lim0 uu uu uu lim n n nn n n n exa n n nn nn uu nn n ninn n 级数收敛 基本概念 1 级数是一个数项 确切的说是一个数列的和表达式 数列的一般项也是级数的一般项 表示一个级数 2 数列的前n项的和s称为级数的部分和 s 又可以构成一个 新的数列 称为该级数的部分和数列 s 3 n 1 1 nnn u 1 11 1 limlim lim 1 1 1 1 n nn n ss n nn n ne nn nn s存在 级数收敛 和为反之 发散 4 审敛法 收敛 1 4 7 泰勒公式泰勒公式 皮亚诺余项皮亚诺余项 泰勒公式 皮亚诺余项 min mnm n mnm n o xo xo x o xo xo x 无穷小运算法则 一元微积分 xc第 15 页2020 3 31 15 0 2 0102000 0 0 2 012 22 0 1 0 0 1 2 si nn n n n n nn nn x f xxn f xaa xxaxxaxxo xx fx ax n f f xaa xa xa xo xa n eaxxo x 在含有的开区间具有直到阶的导数 其中如果即成带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式 常见的带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式 33 244 2344 33 2 0 2 2 0 3 42 3 1 n 3 11 cos1 2 4 111 ln 1 234 1 tan 3 1 tan sectan 1 cos 1 tan 2 sin sectantan 0 cos 2sin2 cossin tan cos x x xxxo x xxxo x xxxxxo x xxxo x xxx x xxxxx x xxx x x 证明 0 6 22 22 3cos tan 2 cos 1 1 1 2 1 1 1 2 x m m x x x m m xmxxo x m m xmxxo x 一元微积分 xc第 16 页2020 3 31 16 2 00 2 0 000 0 6 1 lim0 lim x 6 lim x lim limlim lim36 xx x xxx x f x exa f x o 3 3 2332 2 2 3 xf x si n6x 已知求 x x f x 6 si n6x 6x 分析 凑 原式 x f x 6si n6x 6xsi n6x 6x6 cos6x 1 xxx3x 36x 6 2 3x 6x 或者si n6x 6x 6x 3 0 0 lim36 lim36 x x 3 3 2 si n6x 6x 存在 x f x 6 x 2 2 0 22 0 3333 33 00 1 2 lim cot tan tan lim tan 11 tan 2 33 lim 2lim 3 x x xx exax x xxxx xx xx xxo xxxo x x xx 原式 3 0 3333 33 33 333 33 333 tan tan sin sin 3 lim 11 tan tan tan tan tan 33 111 333 11 33 2 3 11 sin sin sin sinsin 66 x xx exa x xxxo xxxxo x xxxxo x xxxo x xxo x xxxo xxx 洛必达法则求 不必求了 3 33 33 33 333 111 666 1 3 21 33 1 xo x xxxxo x xxo x xxxxx 不必求了 原式 一元微积分 xc第 17 页2020 3 31 17 2 0 22 22 22 2 0 112 4 lim 11 11 24 11 11 24 1 1 2 lim 2 x x xx exa x xxxo x xxxo x xo x x 分析 可以用洛必达 有理化 泰勒公式 原式 1 4 8 无穷小比较无穷小比较 2 2 2 00 2 0 0 0 4 25 111 lim1 1 cos 1 lim1 1 cos 1 cos2 lim 0 1 2 2 2 limlim6 x n x x x x n n nnn f x exaf t dtxn x f x f xxx x f t dt f t dtxc c x xx f xxx n nxnxnx 且与是同阶无穷小 求 分析 与是同阶无穷小 一元微积分 xc第 18 页2020 3 31 18 1 4 9 其它方法总结其它方法总结 0 lim a lim alim lim lim x xx x x 2 x 1 x 22 xx 11 00 xx 12 xx 2 21 0 xx 2 1 x 2 0 l n 1 e x b 求a b l n 1 e 解 x 表示不超过x的最大整数 如 0 0 0 1 l n 1 e l n 1 e x l n 1 e l n 1 e 2 1 e e x 方法1 1 1 e e x 4 1 e 1 e 4lim2lim2lim2 2limlim lim2 lim alim xxx xx x xx b 1 1 x 1 x 2 x 22 000 xxx 2 2222 xxxx 1111 00 xxxx 0 2 x 1 00 x 1 e e x e 2 e e x l n e 1 e l ne l n 1 e 方法 l n e 1 e l ne l n 1 e 2 x 1 x l n 1 e x l n 1 e alim 2 x aab 2 x 1 0 x 2 x 1 x l n 1 e x l n 1 e e e 一元微积分 xc第 19 页2020 3 31 19 3 1 22 222 111 2 1 13 lim 11 1 32 1 2 limlimlim 1 1 1 1 1 1 2 lim1 1 x xxx x xx xxxxxx xxxxxxxxx x xx 1 4 10 几个常用的结论几个常用的结论 0 sin2x 2 0 2 1 0 2 122 0 2 22 0 2 2 2 00 2 201 2 sindx sincos 2 sincos 1 sincos 0 0 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 1 1 1 2 n n n nn n nn nn nn Ix xdx xxnxxdx nxx dx nxdxnxdx nInI n IIII n I 左式 其中 3 4 5 6 01 1 22 2 1 3 31 422 42 1 53 531 6422 131 222 1 13422 253 n I I I I nn n nn III nn n nn 为正偶数 为正奇数且大于1 一元微积分 xc第 20 页2020 3 31 20 2 2 00 00 2 2 20 00 2 2 20 01 sindxcosdx t 2 sin 2 dt cosdtcosdx t 2 sin 2 dt cosdtcosdx 1 2 nn n nnn n nnn n Ixx xIttx x Ittx II 令 令 2 00 2 0 2 2 20 2 2 2 2000 sin2sin sinsin sinsin tsinsin 2 cossin nn nn nn nnnn xdxxdx xdxxdx xdxxdx xdxt dttdtxdx 证明 左式 只需要证明 即可 令 x 2 证明完毕 2 00 2 0 2 2 2 200 2 0 0 cos2cos coscos tcoscos 2 1 cos n cos 2cosn nn nn nnnn n n xdxxdx xdxxdx xdxt dttdt xdx xdx 问题 吗 左式 令 x 2 0 是奇数 所以 是偶数 Exa 0 0 0 00 222 0 sin sin t n sin sin sinsin sin2 n n n nn xxdx x x xnt ntnt dt nttdt ntdtttdt ntdxnn n n nnn 求 a 解 去绝对值符号 这样会出现很多的项 可以这样考虑 因为 是一个周期为函数 令 a aaa 一元微积分 xc第 21 页2020 3 31 21 1 5 分段函数分段函数 1 5 1 分段函数的复合分段函数的复合 2 2 2222 2 exa1 cos 2 x cos 2 21121121131 3 2 2 0 0 2 0 1 0 2 f xx fxxx xD Dxfxxx xxxxx exa x xxx g xf xf g x x xx x g x f g x 求的定义域 设的定义域 值 有 求 方法一 2 0 2 0 0 01 0010 21 1 21 01 2 0 g x g x g x g xg x g xx g xxx x x f g xxx xx 对来说什么时候呢 令 或者所以 方法二 2 2 1 2 2012 2 1101 1 0 3 0 0 0