高考数学试题分类汇编大全——解析几何

文档鉴赏 解析几何解析几何 一 选择题 1 重庆理8 在圆 062 22 yxyx 内 过点E 0 1 的最长弦和最短弦分别是AC和 BD 则四边形ABCD的面积为 A 25 B 210 C 15 2D 220 答案 B 2 浙江理8 已知椭圆 22 1 22 1 0 xy Cab ab 与双曲线 2 2 1 1 4 y Cx 有公共的焦点 1 C 的一条渐近线与以 1 C 的长轴为直径的圆相交于 A B 两点 若 1 C 恰好将线段AB三等分 则 A 2 13 2 a B 2 13a C 2 1 2 b D 2 2b 答案 C 3 四川理10 在抛物线 2 5 0 yxaxa 上取横坐标为 1 4x 2 2x 的两点 过 这两点引一条割线 有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 22 5536xy 相切 则 抛物线顶点的坐标为 A 2 9 B 0 5 C 2 9 D 1 6 答案 C 解析 由已知的割线的坐标 4 11 4 2 21 2aaKa 设直线方程为 2 yaxb 则 2 2 36 51 2 b a 又 2 5 64 2 9 2 yxax ba yaxb 4 陕西理2 设抛物线的顶点在原点 准线方程为 2x 则抛物线的方程是 A 2 8yx B 2 8yx C 2 4yx D 2 4yx 答案 B 5 山东理8 已知双曲线 22 22 1 0b0 xy a ab 的两条渐近线均和圆C 文档鉴赏 22 650 xyx 相切 且双曲线的右焦点为圆C的圆心 则该双曲线的方程为 A 22 1 54 xy B 22 1 45 xy C 22 1 36 xy D 22 1 63 xy 答案 A 6 全国新课标理7 已知直线l过双曲线C的一个焦点 且与C的对称轴垂直 l与C交于A B 两点 AB 为C的实轴长的2倍 C的离心率为 A 2 B 3 C 2 D 3 答案 B 7 全国大纲理10 已知抛物线C 2 4yx 的焦点为F 直线 24yx 与C交于A B两点 则cos AFB A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 答案 D 8 江西理9 若曲线 1 C 22 20 xyx 与曲线 2 C 0y ymxm 有四个不同的交 点 则实数m的取值范围是 A 3 3 3 3 B 3 3 0 0 3 3 C 3 3 3 3 D 3 3 3 3 答案 B 9 湖南理5 设双曲线 22 2 10 9 xy a a 的渐近线方程为3 20 xy 则a的值为 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 C 10 湖北理4 将两个顶点在抛物线 2 2 0 ypx p 上 另一个顶点是此抛物线焦点的正三 角形个数记为n 则 A n 0 B n 1 C n 2 D n 3 答案 C 11 福建理7 设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1 F2 若曲线r上存在点P满足 1122 PFFFPF 4 3 2 则曲线r的离心率等于 文档鉴赏 A 13 22 或 B 2 3或2 C 1 2 或 2 D 23 32 或 答案 A 12 北京理8 设 0 0A 4 0B 4 4C t 4D ttR 记 N t 为平行四边形AB CD内部 不含边界 的整点的个数 其中整点是指横 纵坐标都是整数的点 则函数 N t 的值域为 A 9 10 11 B 9 10 12 C 9 11 12 D 10 11 12 答案 C 13 安徽理2 双曲线 82 22 yx 的实轴长是 A 2 B 2 2 C 4 D 4 2 答案 C 14 辽宁理3 已知F是抛物线y2 x的焦点 A B是该抛物线上的两点 3AFBF 则 线段AB的中点到y轴的距离为 A 3 4 B 1 C 5 4 D 7 4 答案 C 二 填空题 15 湖北理14 如图 直角坐标系 xOy 所在的平面为 直角坐标系 xOy 其中 y 轴一与 y 轴重合 所在的平面为 45xOx 已知平面 内有一点 2 2 2 P 则点 P在平面 内的射影P的 坐标为 已知平面 内的曲线 C 的方程是 2 2 2 220 xy 则曲线 C 在平面 内的 射影C的方程是 答案 2 2 22 1 1xy 文档鉴赏 16 浙江理17 设 12 F F 分别为椭圆 2 2 1 3 x y 的左 右焦点 点 A B 在椭圆上 若 12 5F AF B 则点A的坐标是 答案 0 1 17 上海理3 设m为常数 若点 0 5 F 是双曲线 22 1 9 yx m 的一个焦点 则m 答案 16 18 江西理14 若椭圆 22 22 1 xy ab 的焦点在x轴上 过点 1 1 2 作圆 22 1xy 的切线 切点分别为A B 直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆方程是 答案 22 1 54 xy 19 北京理14 曲线C是平面内与两个定点F1 1 0 和F 2 1 0 的距离的积等于常数 1 2 aa 的点的轨迹 给出下列三个结论 曲线C过坐标原点 曲线C关于坐标原点对称 若点P在曲线C上 则 F1PF2的面积大于2 1 a 2 其中 所有正确结论的序号是 答案 20 四川理14 双曲线 22 xy 1P4 6436 上一点到双曲线右焦点的距离是 那么点 P到左 准线的距离是 答案 56 5 解析 8 6 10abc 点P显然在双曲线右支上 点P到左焦点的距离为14 所以 14556 45 c d da 21 全国大纲理15 已知F1 F2分别为双曲线C 2 9 x 文档鉴赏 2 27 y 1的左 右焦点 点A C 点M的坐标为 2 0 AM为 F1AF2 的平分线 则 AF2 答案 6 22 辽宁理13 已知点 2 3 在双曲线C 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 上 C的焦距为4 则 它的离心率为 答案 2 23 重庆理15 设圆C位于抛物线 2 2yx 与直线x 3所围成的封闭区域 包含边界 内 则 圆C的半径能取到的最大值为 答案 61 24 全国新课标理14 14 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的中心为原点 焦点 12 F F 在 x轴上 离心率为 2 2 过点 1 F 的直线l交C于A B两点 且 2 ABF 的周长为16 那么C的方 程为 答案 22 1 168 xy 25 安徽理15 在平面直角坐标系中 如果x与 y 都是整数 就称点 x y 为整点 下列命题中正确的是 写出所有正确命题的编号 存在这样的直线 既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果k与b都是无理数 则直线 ykxb 不经过任何整点 直线l经过无穷多个整点 当且仅当l经过两个不同的整点 直线 ykxb 经过无穷多个整点的充分必要条件是 k与b都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 答案 三 解答题 26 江苏18 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 M N分别是椭圆 1 24 22 yx 的顶点 过 坐标原点的直线交椭圆于P A两点 其中P在第一象限 过P作x轴的垂线 垂足为C 连接A C 并延长交椭圆于点B 设直线PA的斜率为k 1 当直线PA平分线段MN 求k的值 文档鉴赏 2 当k 2时 求点P到直线AB的距离d 3 对任意k 0 求证 PA PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质 直线方程 直线的垂直关系 点到直线的距离 等基础知识 考查运算求解能力和推理论证能力 满分16分 解 1 由题设知 2 0 0 2 2 2 NMba故 所以线段MN中点的坐标为 2 2 1 由于直线PA平分线段MN 故直线PA过线段MN的中点 又直线PA过坐标原点 所以 2 2 1 2 2 k 2 直线PA的方程 22 21 42 xy yx 代入椭圆方程得 解得 3 4 3 2 3 4 3 2 3 2 APx因此 于是 0 3 2 C 直线AC的斜率为 0 3 2 1 3 2 3 2 3 4 0 yxAB的方程为故直线 3 22 11 3 2 3 4 3 2 21 d因此 3 解法一 将直线PA的方程 kxy 代入 22 22 22 1 42 1212 xy x kk 解得记 则 0 CkAkP于是 故直线AB的斜率为 2 0kk 其方程为 0 23 2 2 2 22222 kxkxkx k y 代入椭圆方程得 文档鉴赏 解得 223 222 32 32 222 kkk xxB kkk 或因此 于是直线PB的斜率 1 2 23 2 2 23 2 22 23 2 2 2 3 1 kkk kkk k k k k k k 因此 1 1 PBPAkk 所以 解法二 设 0 0 0 11121212211 xCyxAxxxxyxByxP 则 设直线PB AB的斜率分别为 21 k k 因为C在直线AB上 所以 22 0 1 1 11 1 2 k x y xx y k 从而 1 2121 12 12 12 12 211 xx yy xx yy kkkk 0 44 2 1 22 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 xxxx yx xx yy 因此 1 1 PBPAkk 所以 27 安徽理21 设 点A的坐标为 1 1 点B在抛物线 yx 上运动 点Q满足 QABQ 经过Q点与M x轴垂直的直线交抛物线于点M 点P满足 MPQM 求 点P的轨迹方程 文档鉴赏 本题考查直线和抛物线的方程 平面向量的概念 性质与运算 动点的轨迹方程等基本知识 考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力 全面考核综合数学素养 解 由 MPQM 知Q M P三点在同一条垂直于x轴的直线上 故可设 1 2 0 2 0 22 0 yxyxyyxxxMyxQyxP 则则 再设 1 1 010111 yxyyxxQABQyxB 即由 解得 1 1 01 1 yy xx 将 式代入 式 消去 0 y 得 1 1 1 22 1 1 yxy xx 又点B在抛物线 2 xy 上 所以 2 11 xy 再将 式代入 2 11 xy 得 0 12 1 0 0 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 22222 222 yx yx xxyx xyx 得两边同除以因 故所求点P的轨迹方程为 1 2 xy 28 北京理19 已知椭圆 2 2 1 4 x Gy 过点 m 0 作圆 22 1xy 的切线I交椭圆G于A B两点 I 求椭圆G的焦点坐标和离心率 II 将 AB 表示为m的函数 并求 AB 的最大值 19 共14分 解 由已知得 1 2 ba 所以 3 22 bac 所以椭圆G的焦点坐标为 0 3 0 3 文档鉴赏 离心率为 2 3 a c e 由题意知 1 m 当 1 m 时 切线l的方程 1 x 点A B的坐标分别为 2 3 1 2 3 1 此时 3 AB 当m 1时 同理可得 3 AB 当 1 m 时 设切线l的方程为 mxky 由 0448 41 1 4 22222 2 2 mkmxkxk y x mxky 得 设A B两点的坐标分别为 2211 yxyx 则 2 22 21 2 2 21 41 44 41 8 k mk xx k mk xx 又由l与圆 1 1 1 1 222 2 22 kkm k km yx即得相切 所以 2 12 2 12 yyxxAB 41 44 4 41 64 1 2 22 22 4 2 k mk k mk k 3 34 2 m m 由于当 3 m 时 3 AB 所以 1 1 3 34 2 m m m AB 因为 2 3 34 3 34 2 m m m m AB 文档鉴赏 且当 3 m 时 AB 2 所以 AB 的最大值为2 29 福建理17 已知直线l y x m m R I 若以点M 2 0 为圆心的圆与直线l相切与点P 且点P在y轴上 求该圆的方程 II 若直线l关于x轴对称的直线为 l 问直线 l 与抛物线C x2 4y是否相切 说明理由 本小题主要考查直线 圆 抛物线等基础知识 考查运算求解能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归与转化思想 分类与整合思想 满分13分 解法一 I 依题意 点P的坐标为 0 m 因为MP l 所以 0 11 20 m 解得m 2 即点P的坐标为 0 2 从而圆的半径 22 20 02 2 2 rMP 故所求圆的方程为 22 2 8 xy II 因为直线l的方程为 yxm 所以直线 l 的方程为 yxm 由 2 2 440 4 yxm xxm xy 得 2 44 416 1 mm 1 当 1 0m 即 时 直线 l 与抛物线C相切 2 当 1m 那 0 时 直线 l 与抛物线C不相切 综上 当m 1时 直线 l 与抛物线C相切 当 1m 时 直线 l 与抛物线C不相切 解法二 I 设所求圆的半径为r 则圆的方程可设为 22 2 xyr 依题意 所求圆与直线 0l xym 相切于点P 0 m 文档鉴赏 则 22 4 20 2 mr m r 解得 2 2 2 m r 所以所求圆的方程为 22 2 8 xy II 同解法一 30 广东理19 设圆C与两圆 2222 5 4 5 4xyxy 中的一个内切 另一个外切 1 求C的圆心轨迹L的方程 2 已知点M 3 5 4 5 5 0 55 F 且P为L上动点 求 MPFP 的最大值及此时点P 的坐标 1 解 设C的圆心的坐标为 x y 由题设条件知 2222 5 5 4 xyxy 化简得L的方程为 2 2 1 4 x y 2 解 过M F的直线l方程为 2 5 yx 将其代入L的方程得 2 1532 5840 xx 解得 1212 6 514 56 52 514 5 2 5 515551515 xxlLTT 故与交点为 文档鉴赏 因T1在线段MF外 T2在线段MF内 故 11 2 MTFTMF 22 2 MTFTMF 若P不在直线MF上 在 MFP 中有 2 MPFPMF 故 MPFP 只在T1点取得最大值2 31 湖北理20 平面内与两定点 1 0 Aa 2 0 A a 0 a 连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹 加上 1A 2A 两点所成的曲线C可以是圆 椭圆成双曲线 求曲线C的方程 并讨论C的形状与m值得关系 当 1m 时 对应的曲线为 1 C 对给定的 1 0 0 mU 对应的曲线为 2 C 设 1 F 2 F 是 2 C 的两个焦点 试问 在 1 C 撒谎个 是否存在点N 使得 1 F N2 F 的面 积 2 Sm a 若存在 求tan 1 F N2 F 的值 若不存在 请说明理由 本小题主要考查曲线与方程 圆锥曲线等基础知识 同时考查推理运算的能力 以及分类与 整合和数形结合的思想 满分14分 解 I 设动点为M 其坐标为 x y 当x a 时 由条件可得 12 2 22 MAMA yyy kkm xa xaxa 即 222 mxymaxa 又 12 0 0 AaA A 的坐标满足 222 mxyma 故依题意 曲线C的方程为 222 mxyma 当 1 m 时 曲线C的方程为 22 22 1 xy C ama 是焦点在y轴上的椭圆 当 1m 时 曲线C的方程为 222 xya C是圆心在原点的圆 当 10m 时 曲线C的方程为 22 22 1 xy ama C是焦点在x轴上的椭圆 文档鉴赏 当 0m 时 曲线C的方程为 22 22 1 xy ama C是焦点在x轴上的双曲线 II 由 I 知 当m 1时 C1的方程为 222 xya 当 1 0 0 m 时 C2的两个焦点分别为 12 1 0 1 0 FamF am 对于给定的 1 0 0 m C1上存在点 000 0 N xyy 使得 2 Sm a 的充要条件是 222 000 2 0 0 1 21 2 xyay am ym a 由 得 0 0 ya 由 得 0 1 m a y m 当 15 0 0 21 m a am m 即 或 15 0 2 m 时 存在点N 使S m a2 当 15 21 m a a m 即 1 m 或 15 2 m 时 不存在满足条件的点N 当 1515 00 22 m 时 由 100200 1 1 NFamxyNFamxy 可得 2222 1200 1 NF NFxm ayma 令 112212 NFrNFrFNF 文档鉴赏 则由 2 2 121 21 2 cos cos ma NF NFrrmarr 可得 从而 2 2 1 2 1sin1 sintan 22cos2 ma Srrma 于是由 2 Sm a 可得 22 12 tan tan 2 m mam a m 即 综上可得 当 15 0 2 m 时 在C1上 存在点N 使得 2 12 tan2 Sm aF NF 且 当 15 0 2 m 时 在C1上 存在点N 使得 2 12 tan2 Sm aF NF 且 当 1515 1 22 m 时 在C1上 不存在满足条件的点N 32 湖南理21 如图7 椭圆 22 1 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 x轴被曲线 2 2 Cyxb 截得的 线段长等于C1的长半轴长 求C1 C2的方程 设C2与y轴的焦点为M 过坐标原点O的直线l与C2相交于点A B 直线MA MB分别与C 1相交与D E i 证明 MD ME ii 记 MAB MDE的面积分别是 12 S S 问 是否存在直线l 使得 1 2 17 32 S S 请说明理由 解 由题意知 1 2 2 2 2 3 baabba a c e解得又从而 文档鉴赏 故C1 C2的方程分别为 1 1 4 22 2 xyy x i 由题意知 直线l的斜率存在 设为k 则直线l的方程为 kxy 由 1 2 xy kxy 得 01 2 kxx 设 212211 xxyxByxA则 是上述方程的两个实根 于是 1 2121 xxkxx 又点M的坐标为 0 1 所以 21 2121 2 21 21 2 2 1 1 1 1 1 11 xx xxkxxk xx kxkx x y x y kk MBMA 1 1 1 22 kk 故MA MB 即MD ME ii 设直线MA的斜率为k1 则直线MA的方程为 1 1 1 2 1 1 xy xky xky由 解得 1 1 0 2 1 ky kx y x 或 则点A的坐标为 1 2 11 kk 又直线MB的斜率为 1 1 k 同理可得点B的坐标为 1 1 1 2 11 kk 于是 2 2 1 111 1 111 11111 1 1 222 k SMAMBkk kkk 由 044 1 22 1 yx xky 得 08 41 1 22 1 xkxk 文档鉴赏 解得 1 2 1 2 1 2 1 8 140 141 14 k x kx yk y k 或 则点D的坐标为 2 11 22 11 841 1414 kk kk 又直线ME的斜率为 k 1 同理可得点E的坐标为 4 4 4 8 2 1 2 1 2 1 1 k k k k 于是 4 1 1 32 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 kk kk MEMDS 因此 2 1 1 2 21 14 417 64 S k Sk 由题意知 222 111 2 1 14171 417 4 64324 kkk k 解得或 又由点A B的坐标可知 2 1 2 1 1 1 1 1 1 13 1 2 k k kkk k k k 所以 故满足条件的直线l存在 且有两条 其方程分别为 2 3 2 3 xyxy 和 33 辽宁理20 如图 已知椭圆C1的中心在原点O 长轴左 右端点M N在 x轴上 椭圆C2的短轴为MN 且C1 C2的离心率都为e 直 线l MN l与C1交于两点 与C2交于两点 这四点按纵坐标 从大到小依次为A B C D I 设 1 2 e 求 BC 与 AD 的比值 II 当e变化时 是否存在直线l 使得BO AN 并说明理 由 解 I 因为C1 C2的离心率相同 故依题意可设 文档鉴赏 22222 12 2242 1 1 0 xyb yx CCab abaa 设直线 l xtta 分别与C1 C2的方程联立 求得 2222 ab A tatB tat ba 4分 当 13 22 AB ebayy 时分别用 表示A B的纵坐标 可知 2 2 2 3 2 4 B A yb BCAD ya 6分 II t 0时的l不符合题意 0t 时 BO AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN 相等 即 2222 ba atat ab tta 解得 22 222 1 abe ta abe 因为 2 2 12 01 1 1 2 e taee e 又所以解得 所以当 2 0 2 e 时 不存在直线l 使得BO AN 当 2 1 2 e 时 存在直线l使得BO AN 12分 34 全国大纲理21 已知O为坐标原点 F为椭圆 2 2 1 2 y C x 在y轴正半轴上的焦点 过F且斜率为 2的直线 l与C交于A B两点 点P满足0 OAOBOP 证明 点P在C上 设点P关于点O的对称点为Q 证明 A P B Q四点在同一圆上 文档鉴赏 解 I F 0 1 l的方程为 21yx 代入 2 2 1 2 y x 并化简得 2 42 210 xx 2分 设 112233 A x yB xyP xy 则 12 2626 44 xx 121212 2 2 21 2 xxyyxx 由题意得 312312 2 1 2 xxxyyy 所以点P的坐标为 2 1 2 经验证 点P的坐标为 2 1 2 满足方程 2 2 1 2 y x 故点P在椭圆C上 6分 II 由 2 1 2 P 和题设知 2 1 2 Q PQ的垂直平分线 1 l 的方程为 2 2 yx 文档鉴赏 设AB的中点为M 则 2 1 42 M AB的垂直平分线为 2 l 的方程为 21 24 yx 由 得 12 l l 的交点为 2 1 88 N 9分 22 2 21 22 22 2213 11 1 2888 3 2 1 2 2 3 2 4 22113 3 48288 3 11 8 NP ABxx AM MN NAAMMN 故 NP NA 又 NP NQ NA NB 所以 NA NP NB MQ 由此知A P B Q四点在以N为圆心 NA为半径的圆上 12分 35 全国新课标理20 在平面直角坐标系xOy中 已知点A 0 1 B点在直线 3y 上 M点满足 MBOA MA ABMB BA AA M点的轨迹为曲线C I 求C的方程 II P为C上动点 l为C在点P处的切线 求O点到l距离的最小值 20 解 设M x y 由已知得B x 3 A 0 1 所以MA uuu r x 1 y MB uuu r 0 3 y AB uu u r x 2 再由题意可知 MA uuu r MB uuu r AB uu u r 0 即 x 4 2y x 2 0 所以曲线C的方程式为y 1 4x 2 2 文档鉴赏 设P x0 y0 为曲线C y 1 4x 2 2上一点 因为y 1 2x 所以l的斜率为 1 2x0 因此直线l的方程为 000 1 2 yyx xx 即 2 000 220 x xyyx 则O点到l的距离 2 00 2 0 2 4 yx d x 又 2 00 1 2 4 yx 所以 2 0 2 0 22 00 1 4 14 2 4 2 2 44 x dx xx 当 2 0 x 0时取等号 所以O点到l距离的最小值为2 36 山东理22 已知动直线l与椭圆C 22 1 32 xy 交于P 11 x y Q 22 xy 两不同点 且 OPQ的面积 OPQ S 6 2 其中O为坐标原点 证明 22 12 xx 和 22 12 yy 均为定值 设线段PQ的中点为M 求 OMPQ 的最大值 椭圆C上是否存在点D E G 使得 6 2 ODEODGOEG SSS 若存在 判断 DEG 的形状 若不存在 请说明理由 I 解 1 当直线l的斜率不存在时 P Q两点关于x轴对称 所以 2121 xx yy 因为 11 P x y 在椭圆上 因此 22 11 1 32 xy 又因为 6 2 OPQ S 文档鉴赏 所以 11 6 2 xy 由 得 11 6 1 2 xy 此时 2222 1212 3 2 xxyy 2 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为 ykxm 由题意知m 0 将其代入 22 1 32 xy 得 222 23 63 2 0kxkmxm 其中 2222 3612 23 2 0 k mkm 即 22 32km 又 2 1212 22 63 2 2323 kmm xxx x kk 所以 22 222 1212 2 2 6 32 1 41 23 km PQkxxx xk k 因为点O到直线l的距离为 2 1 m d k 所以 1 2 OPQ SPQ d 22 2 2 2 12 6 32 1 223 1 kmm k k k 22 2 6 32 23 mkm k 又 6 2 OPQ S 整理得 22 322 km 且符合 式 文档鉴赏 此时 2 2222 121212 22 63 2 2 23 2323 kmm xxxxx x kk 222222 121212 222 3 3 4 2 333 yyxxxx 综上所述 2222 1212 3 2 xxyy 结论成立 II 解法一 1 当直线l的斜率存在时 由 I 知 11 6 2 2 2 OMxPQy 因此 6 26 2 OMPQ 2 当直线l的斜率存在时 由 I 知 12 3 22 xxk m 222 1212 22 222 1212 2222 222 22 2222 332 2222 916211 3 22442 24 32 2 21 1 1 2 2 23 yyxxkkm kmm mmm xxyykm OM mmmm kmm PQk kmm 所以 22 22 111 3 2 2 2 OMPQ mm 22 22 2 11 3 2 11 32 25 24 mm mm 所以 5 2 OMPQ 当且仅当 22 11 32 2m mm 即 时 等号成立 综合 1 2 得 OM PQ 的最大值为 5 2 解法二 文档鉴赏 因为 222222 12122121 4 OMPQxxyyxxyy 2222 1212 2 10 xxyy 所以 22 4 10 2 5 25 OMPQ OMPQ 即 5 2 OMPQ 当且仅当2 5OMPQ 时等号成立 因此 OM PQ 的最大值为 5 2 III 椭圆C上不存在三点D E G 使得 6 2 ODEODGOEG SSS 证明 假设存在 1122 6 2 ODEODGOEG D u v E x yG xySSS 满足 由 I 得 222222222222 12121212 222222 1212 1212 3 3 3 2 2 2 3 1 2 5 1 2 uxuxxxvyvyyy uxxvyy u x xv y y 解得 因此只能从中选取只能从中选取 因此D E G只能在 6 1 2 这四点中选取三个不同点 而这三点的两两连线中必有一条过原点 与 6 2 ODEODGOEG SSS 矛盾 所以椭圆C上不存在满足条件的三点D E G 37 陕西理17 如图 设P是圆 22 25xy 上的动点 点D是P在x轴上的摄影 M为PD上一点 且 4 5 MDPD 当P在圆上运动时 求点M的轨迹C的方程 文档鉴赏 求过点 3 0 且斜率为 4 5的直线被C所截线段的长度 解 设M的坐标为 x y P的坐标为 xp yp 由已知得 5 4 xpx ypy P在圆上 2 2 5 25 4 xy 即C的方程为 22 1 2516 xy 过点 3 0 且斜率为 4 5的直线方程为 4 3 5 yx 设直线与C的交点为 1122 A x yB xy 将直线方程 4 3 5 yx 代入C的方程 得 2 2 3 1 2525 xx 即 2 380 xx 12 341341 22 xx 线段AB的长度为 222 121212 164141 141 25255 ABxxyyxx 注 求AB长度时 利用韦达定理或弦长公式求得正确结果 同样得分 38 上海理23 已知平面上的线段l及点P 在l上任取一点Q 线段 PQ长度的最小值称 为点P到线段l的距离 记作 d P l 1 求点 1 1 P 到线段 30 35 l xyx 的距离 d P l 2 设l是长为2的线段 求点集 1 DP d P l 所表示图形的面积 文档鉴赏 3 写出到两条线段 12 l l 距离相等的点的集合 12 P d P ld P l 其中 12 lAB lCD A B C D 是下列三组点中的一组 对于下列三组点只需选做一种 满分分别是 2分 6分 8分 若选择了多于一种的情形 则按照序号较小的解答计分 1 3 1 0 1 3 1 0 ABCD 1 3 1 0 1 3 1 2 ABCD 0 1 0 0 0 0 2 0 ABCD 解 设 3 Q x x 是线段 30 35 l xyx 上一点 则 222 59 1 4 2 35 22 PQxxxx 当 3x 时 min 5d P lPQ 设线段l的端点分别为 A B 以直线AB为x轴 AB的中点为原点建立直角坐标系 则 1 0 1 0 AB 点集D由如下曲线围成 12 1 1 1 1 lyxlyx 2222 12 1 1 1 1 1 1 CxyxCxyx 其面积为 4S 选择 1 3 1 0 1 3 1 0 ABCD 0 x yx 选择 1 3 1 0 1 3 1 2 ABCD 2 0 0 4 20 10 1 x yxyx yyxyx yxyx 选择 0 1 0 0 0 0 2 0 ABCD 0 0 01 x yxyx yyxx 2 21 12 4230 2 x yxyxx yxyx D B C A 12 2 5 y x 2 x y 1 1 3 A B C D O O D C B A 3 1 1 y x 1 1 11 y x O BA 文档鉴赏 39 四川理21 椭圆有两顶点A 1 0 B 1 0 过其焦点F 0 1 的直线l与椭圆交于C D两点 并与x轴交于点P 直线AC与直线BD交于点Q I 当 CD 3 2 2 时 求直线l的方程 II 当点P异于A B两点时 求证 OP OQ 为定值 解 由已知可得椭圆方程为 2 2 1 2 y x 设l的方程为 1 0 yk xk 为l的斜率 则 12 122 2 22 2 22 12 122 2 42 1 22 2 210 122 1 2 22 k ykxyyxx kk kxkx y kx x xy y kk 242 222 1212 2222 88889 22 2 2 2 kkk xxyykk kk 文档鉴赏 l 的方程为 21yx 40 天津理18 在平面直角坐标系 xOy 中 点 P a b 0 ab 为动点 12 F F 分别为椭 圆 22 22 1 xy ab 的左右焦点 已知 12 FPF 为等腰三角形 求椭圆的离心率e 设直线 2 PF 与椭圆相交于 A B 两点 M是直线 2 PF 上的点 满足 2AM BM 求点M的轨迹方程 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 平面向量等基础知识 考查用代 数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想 考查解决问题能力与运算能力 满分13分 I 解 设 12 0 0 0 FcF cc 由题意 可得 212 PFFF 即 22 2 acbc 整理得 2 2 10 1 ccc aaa 得 舍 或 1 2 c a 所以 1 2 e II 解 由 I 知 2 3 ac bc 可得椭圆方程为 222 3412 xyc 直线PF2方程为 3 yxc A B两点的坐标满足方程组 222 3412 3 xyc yxc 消去y并整理 得 2 580 xcx 解得 12 8 0 5 xxc 文档鉴赏 得方程组的解 2 1 1 2 8 0 5 3 3 3 5 xc x yc yc 不妨设 83 3 0 3 55 Acc Bc 设点M的坐标为 83 3 3 55 x yAMxc yc BMx yc 则 由 3 3 3 yxccxy 得 于是 8 3383 3 15555 AMyxyx 3 BMxx 由 2 AM BM 即 8 3383 3 32 15555