-考研数学二历年真题word版

文档鉴赏 2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1 若函数在 x 0 连续 则 1 cos 0 0 x x f x ax b x A B C D 1 2 ab 1 2 ab 0ab 2ab 2 设二阶可到函数满足且 则 f x 1 1 1 0 1fff 0fx A 1 1 0f x dx B 1 2 0f x dx C 01 10 f x dxf x dx D 11 10 f x dxf x dx 3 设数列收敛 则 n x A 当时 limsin0 n n x lim0 n n x B 当 时 则lim 0 nnn n xxx lim0 n n x C 当 2 lim 0 n n n xx lim0 n D 当时 lim sin 0 nn n xx lim0 n n x 4 微分方程 的特解可设为 2 48 1 cos2 x yyyex k y A 22 cos2sin2 xx AeeBxCx B 22 cos2sin2 xx AxeeBxCx C 22 cos2sin2 xx AexeBxCx D 22 cos2sin2 xx AxexeBxCx 文档鉴赏 5 设具有一阶偏导数 且在任意的 都有则 f x x y 0 f x yf x y xy A 0 0 1 1 ff B 0 0 1 1 ff C 0 1 1 0 ff D 0 1 1 0 ff 6 甲乙两人赛跑 计时开始时 甲在乙前方 10 单位 m 处 图中 实线表示甲的速度曲 线 单位 m s 虚线表示乙的速度曲线 三块阴影部分面积的数值依次 1 vv t 2 vvt 为 10 20 3 计时开始后乙追上甲的时刻记为 单位 s 则 0 t A B C D 0 10t 0 1520t 0 25t 0 25t 051015202530 t s v m s 10 20 7 设为三阶矩阵 为可逆矩阵 使得 则A 123 P 1 000 010 002 P AP 123 A A 12 B 23 2 C 23 D 12 2 文档鉴赏 8 已知矩阵 则 200 021 001 A 210 020 001 B 100 020 000 C A A 与 C 相似 B 与 C 相似 B A 与 C 相似 B 与 C 不相似 C A 与 C 不相似 B 与 C 相似 D A 与 C 不相似 B 与 C 不相似 二 填空题 二 填空题 9 14 题 每小题题 每小题 4 分 共分 共 24 分分 9 曲线的斜渐近线方程为 2 1arcsi nyxx 10 设函数由参数方程确定 则 yy x si n t xte yt 2 02t d y dx 11 2 0 l n 1 1 x dx x 12 设函数具有一阶连续偏导数 且 fx y 则 1 0 00 yy dfx yye dxxy e dy f fx y 13 11 0 t an y x dydx x 14 设矩阵的一个特征向量为 则 412 12 311 Aa 1 1 2 a 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 求 0 3 0 l i m x t x xt e dt x 16 本题满分 10 分 设函数具有 2 阶连续性偏导数 求 fu v y x fecosx 0 dy d x x 2 2 0 d y d x x 17 本题满分 10 分 文档鉴赏 求 2 1 l i ml n 1 n n k kk nn 18 本题满分 10 分 已知函数由方程确定 求的极值 3 3 3 3 2 0 19 本题满分 10 分 在上具有 2 阶导数 证明 f x 0 1 0 1 0 lim0 x f x f x 1 方程在区间至少存在一个根 0f x 0 1 2 方程 在区间内至少存在两个不同的实根 2 0f xfxfx 0 1 20 本题满分 11 分 已知平面区域 计算二重积分 22 2Dx yxyy 2 1 D xdxdy 21 本题满分 11 分 设是区间内的可导函数 且 点是曲线上的任意一 y x 3 0 2 1 0y P L yy x 点 在点处的切线与轴相交于点 法线与轴相交于点 若LPy 0 P Yx 0 P X pP XY 求上点的坐标满足的方程 L x y 22 本题满分 11 分 三阶行列式有 3 个不同的特征值 且 123 A 312 2 1 证明 2r A 2 如果求方程组 的通解 123 Axb 23 本题满分 11 分 设在正交变换下的标准型 13 222 1232121323 2282f x x xxxaxx xx xx x xQy 为 求的值及一个正交矩阵 22 1122 yy aQ 文档鉴赏 2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选 项是符合要求的 1 设 当时 以 1 cos1 axx 3 2 ln 1 axx 3 3 1 1ax 0 x 上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是 A B 123 a a a 231 a a a C D 213 a a a 321 a a a 2 已知函数则的一个原函数是 2 1 1 ln 1 xx f x xx f x A B 2 1 1 ln1 1 xx F x xxx 2 1 1 ln1 1 1 xx F x xxx C D 2 1 1 ln1 1 1 xx F x xxx 2 1 1 ln1 1 1 xx F x xxx 3 反常积分 的敛散性为 1 0 2 1 x e dx x 1 2 0 1 x e dx x A 收敛 收敛 B 收敛 发散 C 收敛 收敛 D 收敛 发散 4 设函数在内连续 求导函数的图形如图所示 则 f x A 函数有 2 个极值点 曲线有 2 个拐点 f x yf x B 函数有 2 个极值点 曲线有 3 个拐点 f x yf x C 函数有 3 个极值点 曲线有 1 个拐点 f x yf x D 函数有 3 个极值点 曲线有 2 个拐点 f x yf x 文档鉴赏 5 设函数具有二阶连续导数 且 若两条曲线 1 2 i f x i 0 0 1 2 i f xi 在点处具有公切线 且在该点处曲线的曲率 1 2 i yf x i 00 xy yg x 1 yf x 大于曲线的曲率 则在的某个领域内 有 2 yfx 0 x A 12 f xfxg x B 21 fxf xg x C 12 f xg xfx D 21 fxg xf x 6 已知函数 则 x e f x y xy A 0 xy ff B 0 xy ff C xy fff D xy fff 7 设 是可逆矩阵 且与相似 则下列结论错误的是ABAB A 与相似 T A T B B 与相似 1 A 1 B C 与相似 T AA T BB D 与相似 1 AA 1 BB 8 设二次型的正 负惯性指数分别 222 123123122313 222f x xxa xxxx xx xx x 为 1 2 则 A 1a B 2a C 21a D 与1a 2a 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 9 曲线的斜渐近线方程为 3 2 2 arctan 1 1 x yx x 文档鉴赏 10 极限 2 112 lim sin2sinsin n n n nnnn 11 以和为特解的一阶非齐次线性微分方程为 2x yxe 2 yx 12 已知函数在上连续 且 则当时 f x 2 0 1 2 d x f xxf tt 2n 0 n f 13 已知动点在曲线上运动 记坐标原点与点间的距离为 若点的横坐标时P 3 yx PlP 间的变化率为常数 则当点运动到点时 对时间的变化率是 0 vP 1 1 l 14 设矩阵与等价 则 11 11 11 a a a 110 011 101 a 解答题 15 23 小题 共 94 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 16 本题满分 10 分 设函数 求并求的最小值 1 22 0 0 f xtx dt x fx f x 17 本题满分 10 分 已知函数由方程确定 求 zz x y 22 ln2 1 0 xyzzxy zz x y 的极值 18 本题满分 10 分 设是由直线 围成的有界区域 计算二重积分D1y yx yx 22 22 D xxyy dxdy xy 19 本题满分 10 分 已知 是二阶微分方程的解 若 1 x y xe 2 x yxu x e 21 21 20 n xyxyy 求 并写出该微分方程的通解 1 ue 0 1u u x 20 本题满分 11 分 文档鉴赏 设是由曲线与围成的平面区域 求绕D 2 1 01 yxx 3 3 cos 0 2 sin xt t yt D 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积 x 21 本题满分 11 分 已知在上连续 在内是函数的一个原函数 f x 3 0 2 3 0 2 cos 23 x x 0 0f 求在区间上的平均值 f x 3 0 2 证明在区间内存在唯一零点 f x 3 0 2 22 本题满分 11 分 设矩阵 且方程组无解 111 10 111 a Aa aa 0 1 22a Ax 求的值 a 求方程组的通解 TT A AxA 23 本题满分 11 分 已知矩阵 011 230 000 A 求 99 A 设 3 阶矩阵满足 记 将分别 123 B 2 BBA 100 123 B 123 表示为的线性组合 123 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符 合合 题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 下列反常积分中收敛的是 A B C D 2 1 dx x 2 ln xdx x 2 1 ln dx xx 2 x x dx e 文档鉴赏 2 函数在内 2 0 sin lim 1 x t t t f x x A 连续 B 有可去间断点 C 有跳跃间断点 D 有无穷间断点 3 设函数 若在处连续 则 1 cos 0 0 0 xx f xx x 0 0 f x0 x A B C D 1 01 2 02 4 设函数在连续 其二阶导函数的图形如右图所示 则曲线 f x fx 的拐点个数为 yf x A 0 B 1 C 2 D 3 5 设函数满足 则与依次是 uv f 22 y f xyxy x 1 1 u v f u 1 1 u v f v A 0 B 0 C 0 D 0 1 2 1 2 1 2 1 2 6 设 D 是第一象限中曲线与直线围成的平面区域 函数21 41xyxy 3yx yx 在 D 上连续 则 f x y D f x y dxdy A B 1 2sin2 1 42sin2 cos sin df rrdr 1 sin22 1 42sin2 cos sin df rrdr C D 1 3sin2 1 42sin2 cos sin df rrdr 1 sin23 1 42sin2 cos sin df rrdr 7 设矩阵 A b 若集合 则线性方程组有无穷多个 2 111 12a 14a 2 1 d d 1 2Axb 解的充分必要条件为 A B C D ad ad ad ad 8 设二次型在正交变换下的标准形为其中 123 f x xxxPy 222 123 2 yyy 123 P e e e 若 则在正交变换下的标准形为 132 Qee e 123 f x xxxPy 文档鉴赏 A B C D 222 123 2yyy 222 123 2yyy 222 123 2yyy 222 123 2yyy 二 填空题 二 填空题 9 14 小题小题 每小题每小题 4 分分 共共 24 分分 请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上 9 设 2 23 1 arctan 3 t xt d y dxytt 则 10 函数在处的 n 阶导数 2 2xf xx 0 x 0 n f 11 设函数连续 若 则 f x 2 0 x xxf t dt 1 1 1 5 1 f 12 设函数是微分方程的解 且在处取值 3 则 yy x 20yyy 0 x y x y x 13 若函数由方程确定 则 zz x y 23 1 xyz exyz 0 0 dz 14 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2 2 1 其中 E 为 3 阶单位矩阵 则行 2 BAAE 列式 B 三 解答题 三 解答题 15 23 小题小题 共共 94 分分 请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明 证解答应写出文字说明 证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 设函数 若与在是等价无 ln 1 sinf xxxbxx 2 g xkx f x g x0 x 穷小 求的值 a b k 16 本题满分 10 分 设 D 是由曲线段及直线所形成的平面区域 0A sin 0 2 yAxx 2 yo x 分别表示 D 绕 X 轴与绕 Y 轴旋转所成旋转体的体积 若 求 A 的值 1 V 2 V 12 VV 17 本题满分 10 分 已知函数满足 求 f x y 2 1 x xy fx yye 0 1 x x fxxe 0 2 fyy 的极值 f x y 18 本题满分 10 分 文档鉴赏 计算二重积分 其中 D x xy dxdy 222 2 Dx y xyyx 19 本题满分 10 分 已知函数 求零点的个数 2 1 2 1 11 x x f xt dttdt f x 20 本题满分 11 分 已知高温物体置于低温介质中 任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质 的温差成正比 现将一初始温度为 120的物体在 20恒温介质中冷却 30min 后该物体 0C0C 温度降至 30 若要使物体的温度继续降至 21 还需冷却多长时间 0C0C 21 本题满分 11 分 已知函数在区间上具有 2 阶导数 设曲线 f x a 0 0 f afx ba 在点处的切线与 X 轴的交点是 证明 yf x b f b 0 0 x 0 axb 22 本题满分 11 分 设矩阵 且 1 求 a 的值 2 若矩阵 X 满足 1 11 1 0 0 a Aa a 3 0A 其中为 3 阶单位矩阵 求 X 22 XXAAXAXAZ Z 23 本题满分 11 分 设矩阵 相似于矩阵 023 133 12 A a 120 00 031 Bb 1 求 a b 的值 2 求可逆矩阵 P 使为对角矩阵 1 P AP 文档鉴赏 文档鉴赏 文档鉴赏 文档鉴赏 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 设 设 当 当时 时 2 sin1cos xxxx0 x x A 比 比高阶的无穷小高阶的无穷小 B 比 比低阶的无穷小低阶的无穷小xx C 与 与同阶但不等价无穷小同阶但不等价无穷小 D 与 与等价无穷小等价无穷小xx 2 已知 已知是由方程是由方程确定 则确定 则 xfy 1lncos xyxy 1 2 lim n fn n A 2 B 1 C 1 D 2 设 设 则 则 2 2 0 sin x xx xf x dttfxF 0 为为的跳跃间断点 的跳跃间断点 为为的可去间断点 的可去间断点 x xF x xF 在在连续但不可导 连续但不可导 在在可导 可导 xF x xF x 文档鉴赏 设函数 设函数 且反常积分 且反常积分收敛 则 收敛 则 ex xx ex x xf ln 1 1 1 1 1 1 dxxf A B C D 2 2 a02 a 20 设函数 设函数 其中 其中可微 则可微 则 xyf x y z f y z x z y x A B C D 2xyyf 2xyyf 2 xyf x 2 xyf x 6 设 设是圆域是圆域的第的第象限的部分 记象限的部分 记 则 则 k D 1 22 yxyxDk k D k dxdyxyI A B C D 0 1 I0 2 I0 3 I0 4 I 7 设 均为 设 均为阶矩阵 若 且 可逆 则阶矩阵 若 且 可逆 则n A 矩阵 矩阵 C 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 的行向量组等价 B 矩阵 矩阵 C 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 的列向量组等价 C 矩阵 矩阵 C 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 的行向量组等价 D 矩阵 矩阵 C 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 的列向量组等价 8 矩阵 矩阵与矩阵与矩阵相似的充分必要条件是相似的充分必要条件是 11 11 a aba a 000 00 002 b A B 为任意常数为任意常数2 0 ba0 ab C D 为任意常数为任意常数0 2 ba2 ab 二 填空题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 把答案填在题中横线上 9 x x x x 1 0 1ln 2lim 10 设函数 设函数 则 则的反函数的反函数在在处的导数处的导数dtexf x t 1 1 xfy 1 yfx 0 y 0 y dy dx 11 设封闭曲线 设封闭曲线 L 的极坐标方程为的极坐标方程为为参数 则为参数 则 L 所围成的平面所围成的平面 66 3cos rt 文档鉴赏 图形的面积为图形的面积为 12 曲线上 曲线上对应于对应于处的法线方程为处的法线方程为 2 1ln arctan ty tx 1 t 13 已知 已知是某个二阶常系数线性微分方程三个解 是某个二阶常系数线性微分方程三个解 xxxxx xeyxeeyxeey 2 3 2 2 23 1 则满足则满足方程的解为方程的解为 1 0 0 0 yy 14 设 设是三阶非零矩阵 是三阶非零矩阵 为其行列式 为其行列式 为元素为元素的代数余子式 且满足的代数余子式 且满足 ij aA A ij A ij a 则 则 3 2 1 0 jiaA ijij A 三 解答题 15 本题满分 本题满分 10 分 分 当当时 时 与与是等价无穷小 求常数是等价无穷小 求常数 0 xxxx3cos2coscos1 n axna 16 本题满分 本题满分 10 分 分 设设 D 是由曲线是由曲线 直线 直线及及轴所转成的平面图形 轴所转成的平面图形 分别是分别是 D 绕绕 3 xy ax 0 ax yx VV 轴和轴和轴旋转一周所形成的立体的体积 若轴旋转一周所形成的立体的体积 若 求 求的值 的值 xy yx VV 10a 17 本题满分 本题满分 10 分 分 设平面区域设平面区域 D 是由曲线是由曲线所围成 求所围成 求 8 3 3 yxxyyx D dxdyx2 18 本题满分 本题满分 10 分 分 设奇函数设奇函数在在上具有二阶导数 且上具有二阶导数 且 证明 证明 xf 1 1 1 1 f 1 存在 存在 使得 使得 1 0 1 f 2 存在 存在 使得 使得 1 1 1 ff 19 本题满分 本题满分 10 分 分 求曲线求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离 0 0 1 33 yxyxyx 20 本题满分 本题满分 11 设函数设函数 x xxf 1 ln 求求的最小值 的最小值 xf 设数列设数列满足满足 证明极限 证明极限存在 并求此极限 存在 并求此极限 n x1 1 ln 1 n n x x n n x lim 文档鉴赏 21 本题满分 本题满分 11 设曲线设曲线 L 的方程为的方程为 1 ln 2 1 4 1 2 exxxy 1 求 求 L 的弧长 的弧长 2 设 设 D 是由曲线是由曲线 L 直线 直线及及轴所围成的平面图形 求轴所围成的平面图形 求 D 的形心的横坐标 的形心的横坐标 exx 1x 22 本题满分 本题满分 11 分 分 设设 问当 问当为何值时 存在矩阵为何值时 存在矩阵 C 使得 使得 并求出 并求出 b B a A 1 10 01 1 ba BCAAC 所有矩阵所有矩阵 C 23 本题满分 本题满分 11 分 分 设二次型设二次型 记 记 2 332211 2 332211321 2 xbxbxbxaxaxaxxxf 3 2 1 3 2 1 b b b a a a 1 证明二次型 证明二次型对应的矩阵为对应的矩阵为 f TT 2 2 若 若正交且为单位向量 证明正交且为单位向量 证明在正交变换下的标准形为在正交变换下的标准形为 f 2 2 2 1 2yy 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 选择题一 选择题 1 8 小题小题 每小题每小题 4 分分 共共 32 分分 下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中 只有一个选项符合题目只有一个选项符合题目 要求的要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 曲线的渐近线条数 2 2 1 xx y x A 0 B 1 C 2 D 3 2 设函数 其中为正整数 则 2 1 2 xxnx f xeeen n 0 f A B C D 1 1 1 n n 1 1 n n 1 1 n n 1 nn 3 设 则数列有界是数列收敛的 123 0 1 2 3 nnn anSaaaa n S n a A 充分必要条件 B 充分非必要条件 C 必要非充分条件 D 非充分也非必要 文档鉴赏 4 设则有 2 0 sin d 1 2 3 k x k Iex x k A B C D 123 III 321 III 231 III 213 III 5 设函数为可微函数 且对任意的都有则使不等式 f x y x y 0 0 x yx y xy 成立的一个充分条件是 1122 f x yf xy A B C D 1212 xxyy 1212 xxyy 1212 xxyy 1212 xxyy 6 设区域由曲线围成 则 Dsin 1 2 yx xy 5 1 d d D x yx y A B 2 C 2 D 7 设 其中为任意常数 则下列向量 1 1 0 0 c 2 2 0 1 c 3 3 1 1 c 4 4 1 1 c 1234 c c c c 组线性相关的为 A B C D 123 124 134 234 8 设为 3 阶矩阵 为 3 阶可逆矩阵 且 若 AP 1 100 010 002 P AP 123 P 则 1223 Q 1 Q AQ A B C D 100 020 001 100 010 002 200 010 002 200 020 001 二 填空题 二 填空题 9 14 小题小题 每小题每小题 4 分分 共共 24 分分 请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上 9 设是由方程所确定的隐函数 则 yy x 2 1 y xye 2 0 2 x d y dx 10 22222 111 lim 12 n n nnnn 文档鉴赏 11 设 其中函数可微 则 1 ln zfx y f u 2 zz xy xy 12 微分方程满足条件的解为 2 d3d0y xxyy 1 1 x y y 13 曲线上曲率为的点的坐标是 2 0yxx x 2 2 14 设为3阶矩阵 为伴随矩阵 若交换的第1行与第2行得矩阵 则 A 3A AAAB BA 三 解答题 三 解答题 15 23 小题小题 共共 94 分分 请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明 证解答应写出文字说明 证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 已知函数 记 11 sin x f x xx 0 lim x af x I 求的值 a II 若时 与是同阶无穷小 求常数的值 0 x f xa k xk 16 本题满分 10 分 求函数的极值 22 2 xy f x yxe 17 本题满分 12 分 过点作曲线的切线 切点为 又与轴交于点 区域由与直线 0 1 lnL yx ALxBDL 围成 求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积 ABDDx 18 本题满分 10 分 计算二重积分 其中区域为曲线与极轴围成 d D xy D 1cos0r 19 本题满分 10 分 已知函数满足方程及 f x 2 0fxfxf x 2 x fxf xe I 求的表达式 f x II 求曲线的拐点 22 0 d x yf xftt 20 本题满分 10 分 证明 2 1 lncos1 12 xx xx x 11 x 21 本题满分 10 分 I 证明方程 在区间内有且仅有一个实根 1xxx nn 1 1n 的整数 1 1 2 文档鉴赏 II 记 I 中的实根为 证明存在 并求此极限 n xlim n n x 22 本题满分 11 分 设 100 010 001 001 a a A a a 1 1 0 0 I 计算行列式 A II 当实数为何值时 方程组有无穷多解 并求其通解 aAx 23 本题满分 11 分 已知 二次型的秩为 2 101 011 10 01 A a a 123 TT fx xxxA A x I 求实数的值 a II 求正交变换 将化为标准形 xQy f 2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 A 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选 项是符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 1 已知当时 函数与是等价无穷小 则 0 xxxxf3sinsin3 k cx A B 4 1 ck4 1 ck C D 4 3 ck4 3 ck 2 设函数在处可导 且 则 xf0 x0 0 f 3 32 0 2 lim x xfxfx x A B C D 0 2 f 0 f 0 f 0 3 函数的驻点个数为 3 2 1 ln xxxxf A 0 B 1 C 2 D 3 4 微分方程的特解形式为 0 2 xx eeyy 文档鉴赏 A B xx eea xx eeax C D xx beaex 2xx beaex 5 设函数 均有二阶连续导数 满足 xf xg0 0 f0 0 g 则函数在点处取得极小值的一个充分条件是 0 0 0 gf ygxfz 0 0 A B 0 0 f 0 0 g0 0 f 0 0 g C D 0 0 f 0 0 g0 0 f 0 0 g 6 设 则 的大小关 4 0 sinln xdxI 4 0 cotln xdxJ 4 0 cosln xdxKIJK 系为 A B KJI JKI C D KIJ IJK 7 设为 3 阶矩阵 将的第 2 列加到第 1 列得矩阵 再交换的第 2 行与第 3 行得AABB 单位矩阵 记 则 100 011 001 1 P 010 100 001 2 PA A B C D 21P P 2 1 1 PP 12P P 1 12 PP 8 设是 4 阶矩阵 为的伴随矩阵 若是方程组 4321 A AA T 0 1 0 1 的一个基础解系 则的基础解系可为 0 Ax0 xA A B C D 31 21 321 432 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 x x x 1 0 2 21 lim 10 微分方程满足条件的解为 xeyy x cos 0 0 y y 11 曲线 的弧长 x tdty 0 tan 4 0 x s 文档鉴赏 12 设函数 则 0 kx e xf 0 0 x x 0 dxxxf 13 设平面区域由直线 圆及轴所围成 则二重积分 Dxy yyx2 22 y D xyd 14 二次型 则的正惯性指数为 323121 2 3 2 2 2 1321 2223 xxxxxxxxxxxxf f 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 请将解答写在答题纸指定位置上 解答应字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 已知函数 设 试求的取值范围 x dtt xF x 0 2 1ln 0 lim lim 0 xFxF xx 16 本题满分 11 分 设函数由参数方程 确定 求的极值和曲线 xyy 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 tty ttx xyy 的凹凸区间及拐点 xyy 17 本题满分 9 分 设函数 其中函数具有二阶连续偏导数 函数可导且在 xygxyfz f xg 处取得极值 求 1 x1 1 g 1 1 2 y xyx z 18 本题满分 10 分 设函数具有二阶导数 且曲线与直线相切于原点 记为曲 xy xyyl xy 线 在点处切线的倾角 若 求的表达式 l yx dx dy dx d xy 文档鉴赏 19 本题满分 10 分 I 证明 对任意的正整数 都有成立 n nnn 11 1ln 1 1 II 设 证明数列收敛 2 1 ln 1 2 1 1 nn n an n a 20 本题满分 11 分 一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面 该曲线由y 与连接而成 2 1 2 22 yyyx 2 1 1 22 yyx I 求容器的容积 II 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出 至少需要做多少功 长度单位 重力加速度为 水的密度为 m 2 smg 33 10mkg 21 本题满分 11 分 已知函数具有二阶连续偏导数 且 yxf0 1 yf0 1 xf 其中 计算二重积分 D adxdyyxf 10 10 yxyxD D xy dxdyyxfxyI 22 本题满分 11 分 设向量组 不能由向量组 T 1 0 1 1 T 1 1 0 2 T 5 3 1 3 T 1 1 1 1 线性表示 T 3 2 1 2 T a 4 3 3 I 求的值 a II 将用线性表示 321 321 23 本题满分 11 分 设为 3 阶实对称矩阵 的秩为 2 且 AAA 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 I 求的所有的特征值与特征向量 A II 求矩阵 A 文档鉴赏 2010 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一选择题 A 的无穷间断点的个数为函数 22 2 1 1 1 xx xx xf A0 B1 C2 D3 2 设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解 若常数使 21 y y xqyxpy 是该方程的解 是该方程对应的齐次方程的解 则 21 yy 21 yy A B 2 1 2 1 2 1 2 1 C D 3 1 3 2 3 2 3 2 1 aaxayxy相切 则与曲线曲线 0 ln 2 A4e B3e C2e De 4 设 m n为正整数 则反常积分 2 1 0 ln 1 m n x dx x 的收敛性 A 仅与m取值有关 B 仅与n取值有关 C 与 m n取值都有关 D 与 m n取值都无关 5 设函数 zz x y 由方程 0 y z F x x 确定 其中F为可微函数 且 2 0 F 则 zz xy xy AxBz Cx Dz 6 4 22 11 lim nn x ij n ni nj A 1 2 00 1 1 1 x dxdy xy B 1 00 1 1 1 x dxdy xy C 11 00 1 1 1 dxdy xy D 11 2 00 1 1 1 dxdy xy 7 设向量组 下列命题正确的是 线性表示 可由向量组s I 21r21 II A 若向量组 I 线性无关 则 B 若向量组 I 线性相关 则 r ssr C 若向量组 II 线性无关 则 D 若向量组 II 线性相关 则 r ssr 文档鉴赏 15 设A为 4 阶对称矩阵 且 2 0 AA若A的秩为 3 则A相似于 A 1 1 1 0 B 1 1 1 0 C 1 1 1 0 D 1 1 1 0 二填空题 9 3 阶常系数线性齐次微分方程的通解 y 022 yyyy 1 曲线的渐近线方程为 1 2 2 3 x x y 2 函数 0 0 21ln n ynxxy阶导数处的在 3 0的弧长为时 对数螺线当 er 4 已知一个长方形的长 l 以 2cm s 的速率增加 宽 w 以 3cm s 的速率增加 则当 l 12cm w 5cm 时 它的对角线增加的速率为 5 设 A B 为 3 阶矩阵 且 2 2 3 11 BABABA则 三解答题 6 的单调区间与极值 求函数 2 2 1 2 x t dtetxxf 16 1 比较 1 0 ln ln 1 nttdt 与 1 0 ln 1 2 n tt dt n 的大小 说明理由 2 记 1 0 ln ln 1 1 2 n n uttdt n 求极限lim n x u 9 设函数 y f x 由参数方程 求函数 已知 阶导数 且具有所确定 其中 1 4 3 6 1 2 5 1 2 1 2 2 2 2 t tdx yd tt ty ttx 10 一个高为 l 的柱体形贮油罐 底面是长轴为 2a 短轴为 2b 的椭圆 现将贮油罐平放 当 油罐中油面高度为时 计算油的质量 b 2 3 长度单位为 m 质量单位为 kg 油的密度为 3 mkg 11 文档鉴赏 0 05124 2 2 22 2 2 u byxayxba y u yx u x u yxfu 下简化的值 使等式在变换确定 且满足等式具有二阶连续偏导数 设函数 12 4 0 sec0 D 2cos1sin 22 rrdrdrrI D 其中计算二重积分 13 设函数 f x 在闭区间 0 1 上连续 在开区间 0 1 内可导 且 f 0 0 f 1 证明 存在3 1 1 2 1 2 1 0 22 ff使得 14 的通解 求方程组 求 个不同的解 存在已知线性方程组设 bAx a bAx a bA 2 1 2 1 1 11 010 11 23 设 正交矩阵 Q 使得为对角矩阵 若 Q 的第一列为 04 31 410 a aAAQQT 求 a Q T 1 2 1 6 1 2009 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题数学二试题 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项 符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 函数的可去间断点的个数 则 3 sin xx f x nx 1 2 3 无穷多个 A B C D 2 当时 与是等价无穷小 则 0 x sinf xxax 2 ln 1g xxbx 文档鉴赏 A 1 1 6 ab B 1 1 6 ab C 1 1 6 ab D 1 1 6 ab 3 设函数的全微分为 则点 zf x y dzxdxydy 0 0 不是的连续点 不是的极值点 A f x y B f x y 是的极大值点 是的极小值点 C f x y D f x y 4 设函数连续 则 f x y 2224 11 y xy dxf x y dydyf x y dx A 24 11 x dxf x y dy B 24 1 x x dxf x y dy C 24 11 y dyf x y dx D 22 1 y dyf x y dx 5 若不变号 且曲线在点上的曲率圆为 则在 fx yf x 1 1 22 2xy f x 区间内 1 2 有极值点 无零点 无极值点 有零点 A B 有极值点 有零点 无极值点 无零点 C D 6 设函数在区间上的图形为 yf x 1 3 1 f x 2 0 23x 1 O 则函数的图形为 0 x F xf t dt 文档鉴赏 A f x 0 23x1 2 1 1 B f x 0 23x1 2 1 1 C f x 0 23x1 1 1 D f x 0 23x1 2 1 1 7 设 均为 2 阶矩阵 分别为 的伴随矩阵 若 则分AB AB ABA 2 B 3 块矩阵的伴随矩阵为 0 0 A B A 03 20 B A B 02B 3A0 C 03A 2B0 D 02A 3B0 8 设均为 3 阶矩阵 为的转置矩阵 且 若AP T PP T 100 P AP 010 002 则为 P Q 1231223 Q AQ T A 210 110 002 B 110 120 002 文档鉴赏 C 200 010 002 D 100 020 002 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 曲线在处的切线方程为 2 22 1 x 0 ln 2 u t edu ytt 0 0 10 已知 则 1 k x edx k 11 n 1 limesin 0 x nxdx 12 设是由方程确定的隐函数 则 yy x xy1 y ex 2 x 0 d y dx2 13 函数在区间上的最小值为 2x yx 01 14 设为 3 维列向量 为的转置 若矩阵相似于 则 T T 200 000 000 T 三 解答题 三 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上 解答应写出文字说明 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 15 本题满分 9 分 求极限 4 0 1 cosln 1tan lim sin x xxx x 16 本题满分 10 分 计算不定积分 1 ln 1 x dx x 0 x 17 本题满分 10 分 设 其中具有 2 阶连续偏导数 求与 zf xy xy xy fdz 2z x y 18 本题满分 10 分 设非负函数满足微分方程 当曲线过原点时 yy x 0 x 20 xyy yy x 文档鉴赏 其与直线及围成平面区域的面积为 2 求绕轴旋转所得旋转体体积 1x 0y DDy 19 本题满分 10 分 求二重积分 D xy dxdy 其中 22 112 Dx yxyyx 20 本题满分 12 分 设是区间内过的光滑曲线 当时 曲线上任一点 yy x 22 0 x 处的法线都过原点 当时 函数满足 求的表达式0 x y x0yyx y x 21 本题满分 11 分 证明拉格朗日中值定理 若函数在上连续 在可导 则存在 f x a b a b 使得 证明 若函数在处连续 a b f bf afba f x0 x 在内可导 且 则存在 且 0 0 0 lim x fxA 0f 0fA 22 本题满分 11 分 设 111 111 042 A 1 1 1 2 求满足的所有向量 2 2131 AA 23 对 中的任一向量 证明 线性无关 23 123 23 本题满分 11 分 设二次型 222 1231231323 122f x x xaxaxaxx xx x 求二次型的矩阵的所有特征值 f 若二次型的规范形为 求的值 f 22 12 yy a 2008 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 文档鉴赏 数学二试题数学二试题 一 选择题 一 选择题 1 8 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项 符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设 则的零点个数为 2 1 2 f xxxx fx 0 1 2 3 A B C D 2 曲线方程为函数在区间上有连续导数 则定积分 yf x 0 a 0 a t afx dx 曲边梯形 ABOD 面积 A 梯形 ABOD 面积 B 曲边三角形面积 CACD 三角形面积 DACD 3 在下列微分方程中 以 为任意常数 为通 123 cos2sin2 x yC eCxCx 123 C C C 解的是 A 440yyyy B 440yyyy C 440yyyy D 440yyyy 5 设函数在内单调有界 为数列 下列命题正确的是 f x n x 若收敛 则收敛 若单调 则收敛 A n x n f x B n x n f x 若收敛 则收敛 若单调 则收敛 C n f x n x D n f x n x 6 设函数连续 若 其中区域为图中阴影部分 则f 22 22 uv D f xy F u vdxdy xy uv D F u A 2 vf u B 2 v f u u C vf u D v f u u 7 设为阶非零矩阵 为阶单位矩阵 若 则 AnEn 3 0A 文档鉴赏 不可逆 不可逆 不可逆 可逆 AEA EA BEA EA 可逆 可逆 可逆 不可逆 CEA EA DEA EA 8 设 则在实数域上与合同的矩阵为 12 21 A A A 21 12 B 21 12 C 21 12 D 12 21 二 填空题 二 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 已知函数连续 且 则 f x 2 0 1 cos lim1 1 x x xf x ef x 0 f 10 微分方程的通解是 2 0 x yx edxxdy y 11 曲线在点处的切线方程为 sinlnxyyxx 0 1 12 曲线的拐点坐标为 2 3 5 yxx 13 设 则 x y y z x 1 2 z x 14 设 3 阶矩阵的特征值为 若行列式 则 A2 3 248A 三 解答题 三 解答题 15 23 题 共题 共 94 分分 请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明 证解答应写出文字说明 证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤 15 本题满分 9 分 求极限 4 0 sinsin sinsin lim x xxx x 16 本题满分 10 分 设函数由参数方程确定 其中是初值问题 yy x 2 0 ln 1 t xx t yu du x t 的解 求 0 20 0 x t dx te dt x 2 2 y x 文档鉴赏 17 本题满分 9 分 求积分 1 20 arcsin 1 xxdx x 18 本题满分 11 分 求二重积分其中max 1 D xydxdy 02 02 Dx yxy 19 本题满分 11 分 设是区间上具有连续导数的单调增加