历年高考数学压轴题集锦

文档鉴赏 高考数学压轴题集锦高考数学压轴题集锦 1 椭圆的中心是原点 O 它的短轴长为 相应于焦点 的准线 与 x 轴2 2 0F c0 cl 相交于点 过点的直线与椭圆相交于 两点 A2OFFA APQ 1 求椭圆的方程及离心率 2 若 求直线的方程 0OP OQ PQ 3 设 过点且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点 APAQ 1 PlM 证明 14 分 FMFQ 2 已知函数对任意实数 x 都有 且当时 xf1 1 xfxf 2 0 x 1 xxf 1 时 求的表达式 22 2 Zkkkx xf 2 证明是偶函数 xf 3 试问方程是否有实数根 若有实数根 指出实数根的个数 若没0 1 log 4 x xf 有实数根 请说明理由 3 本题满分 12 分 如图 已知点 F 0 1 直线 L y 2 及圆 C 1 3 22 yx 1 若动点 M 到点 F 的距离比它到直线 L 的距离小 1 求动点 M 的轨迹 E 的方程 2 过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 G x1 y1 H x2 y2 两点 求证 x1x2 为定值 3 过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线 切点为 A B 要使四边形 PACB 的面积 S 最小 求 点 P 的坐标及 S 的最小值 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 15 10 551015x C y X O F 文档鉴赏 4 以椭圆 1 a 1 短轴一端点为直角顶点 作椭圆内接等腰直角三角形 试 2 2 2 y a x 判断并推证能作出多少个符合条件的三角形 5 已知 二次函数 f x ax2 bx c 及一次函数 g x bx 其中 a b c R a b c a b c 0 求证 f x 及 g x 两函数图象相交于相异两点 设 f x g x 两图象交于 A B 两点 当 AB 线段在 x 轴上射影为 A1B1时 试求 A1B1 的取值范围 6 已知过函数 f x 的图象上一点 B 1 b 的切线的斜率为 3 1 23 axx 1 求 a b 的值 2 求 A 的取值范围 使不等式 f x A 1987 对于 x 1 4 恒成立 3 令 是否存在一个实数 t 使得当时 g x 有 13 2 txxxfxg 1 0 x 最大值 1 7 已知两点 M 2 0 N 2 0 动点 P 在 y 轴上的射影为 H 是 2 和PH 的等比中项 PNPM 1 求动点 P 的轨迹方程 并指出方程所表示的曲线 2 若以点 M N 为焦点的双曲线 C 过直线 x y 1 上的点 Q 求实轴最长的双曲线 C 的方 程 8 已知数列 an 满足 aa aa b a aa aaaa n n n n n n 设 2 0 3 22 11 1 求数列 bn 的通项公式 2 设数列 bn 的前项和为 Sn 试比较 Sn与的大小 并证明你的结论 8 7 9 已知焦点在轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点 且两条渐近线与以点x 为圆心 1 为半径的圆相切 又知 C 的一个焦点与 A 关于直线对称 2 0 Axy 求双曲线 C 的方程 设直线与双曲线 C 的左支交于 A B 两点 另一直线 经过 M 1 mxyl 2 0 及 AB 的中点 求直线 在轴上的截距 b 的取值范围 ly 若 Q 是双曲线 C 上的任一点 为双曲线 C 的左 右两个焦点 从引 21F F 1 F 的平分线的垂线 垂足为 N 试求点 N 的轨迹方程 21QF F 10 对任意都有 xfRx 2 1 1 xfxf 求和的值 2 1 f 1 1 Nn n n f n f 文档鉴赏 数列满足 数列 n a n a 0 f 1 1 2 1 f n n f n f n f 是等差数列吗 请给予证明 n a 令 16 32 14 4 22 3 2 2 2 1 n SbbbbT a b nnn n n 试比较与的大小 n T n S 11 如图 设 OA OB 是过抛物线 y2 2px 顶点 O 的两条 弦 且 0 求以 OA OB 为直径的两圆的另一个交点 OA OB P 的轨迹 13 分 12 知函数 f x log3 x2 2mx 2m2 的定义域为 R 9 m2 3 1 求实数 m 的取值集合 M 2 求证 对 m M 所确定的所有函数 f x 中 其函数值最小的一个是 2 并求使函数值等于 2 的 m 的值和 x 的值 13 设关于 x 的方程 2x2 tx 2 0 的两根为函数 f x 1 4 2 x tx 1 求 f 的值 f和 2 证明 f x 在 上是增函数 3 对任意正数 x1 x2 求证 2 21 21 21 21 xx xx f xx xx f 14 已知数列 an 各项均为正数 Sn为其前 n 项的和 对于任意的 都有 nN 2 41 nn Sa I 求数列的通项公式 n a II 若对于任意的恒成立 求实数 的最大值 2n n tS nN t 15 12 分 已知点 H 3 0 点 P 在 y 轴上 点 Q 在 x 轴的正半轴上 点 M 在直线 PQ 上 且满足 0 HPPMPM 2 3 MQ 1 当点 P 在 y 轴上移动时 求点 M 的轨迹 C 2 过点 T 1 0 作直线 l 与轨迹 C 交于 A B 两点 若在 x 轴上存在一点 E x0 0 使得 ABE 为等边三角形 求 x0的值 A O B x P y 文档鉴赏 16 14 分 设 f1 x 定义 fn 1 x f1 fn x an 其中 n N x 1 2 2 0 1 0 n n f f 1 求数列 an 的通项公式 2 若 T2n a1 2a2 3a3 2na2n Qn 其中 n N 试比较 9T2n与 Qn的大小 144 4 2 2 nn nn 17 已知 x 0 1 y a b a3 b a3 b I 求点 x y 的轨迹 C 的方程 II 若直线 L y kx m m0 与曲线 C 交于 A B 两点 D 0 1 且有 AD BD 试求 m 的取值范围 18 已知函数对任意实数 p q 都满足 xf f pqf pf q 1 1 3 f 且 1 当时 求的表达式 nN nf 2 设求证 Nnnnfan 1 3 4 n k k a 3 设试比较与 6 的大小 1 1 n nnk k nf n bnNSb f n 1 1 n k k S 19 已知函数若数列 10 log aaxxf a 且 2 21 afaf 成等差数列 42 Nnnaf n 1 求数列的通项 n a n a 2 若的前 n 项和为 Sn 求 10 n aa数列 n n S lim 3 若 对任意 求实数 t 的取值范围 2 nnn afaba 令 1 tfbNn n 都有 20 已知 OFQ 的面积为 62mFQOF 且 1 设正切值的取值范围 的夹角与求向量FQOFm 646 2 设以 O 为中心 F 为焦点的双曲线经过点 Q 如图 2 1 4 6 cmcOF 文档鉴赏 当取得最小值时 求此双曲线的方程 OQ 3 设 F1为 2 中所求双曲线的左焦点 若 A B 分别为此双曲线渐近线 l1 l2上的动 点 且 2 AB 5 F1F 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 21 已知函数是偶函数 是奇函数 正数数列满足13 2 bxxxfcxxg 5 n a 11 2 11 aaa g aa f a nnnnnn 求的通项公式 n a 若的前项和为 求 n an n S n n S lim 22 直角梯形 ABCD 中 DAB 90 AD BC AB 2 AD BC 椭圆 C 以 A B 为焦 2 3 2 1 点且经过点 D 1 建立适当坐标系 求椭圆 C 的方程 2 若点 E 满足 问是否存在不平行 AB 的直线 l 与椭圆 C 交于 M N 两点且EC 2 1 AB 若存在 求出直线 l 与 AB 夹角的范围 若不存在 说明理由 NEME 23 设函数 24 1 x xf 1 求证 对一切为定值 1 xfxfRx 2 记求数列的通 1 1 2 1 0 Nnf n n f n f n ffan n a 项公式及前 n 项和 24 已知函数是定义在 R 上的偶函数 当 X0 时 xf xf 1 7 2 xx x I 求当 X 0 时 的解析式 xf II 试确定函数 X0 在的单调性 并证明你的结论 y xf 1 文档鉴赏 III 若且 证明 0 a1 1 an 1 f 2 求数列 an an 的通项公式an 并证明你的结论 30 已知点集其中点列在 nmyyxL 1 1 1 2 bnbxm nnn baP 中 为与轴的交点 等差数列的公差为 1 L 1 PLy n a Nn 1 求数列 的通项公式 n a n b 2 若求 2 5 1 n PPn c n n lim 21n n ccc 3 若是否存在使得若 2 12 Nk knb kna nf n n Nk 2 11 kfkf 存在 求出的值 若不存在 请说明理由 k 21 经过抛物线的焦点F的直线 与该抛物线交于 两点 12分 2 4yx lAB 1 若线段的中点为 直线的斜率为 试求点的坐标 并求点的轨迹AB M x ykMM 方程 2 若直线 的斜率 且点到直线的距离为 试确定的取值l2k M340 xym 1 5 m 范围 文档鉴赏 1 1 解 由题意 可设椭圆的方程为 22 2 12 2 xy a a 由已知得解得 22 2 2 2 ac a cc c 62ac 所以椭圆的方程为 离心率 22 1 62 xy 6 3 e 2 解 由 1 可得 A 3 0 设直线 PQ 的方程为 由方程组 3yk x 22 1 62 3 xy yk x 得 依题意 得 2222 31182760kxk xk 2 12 2 30k 66 33 k 设 则 1122 P xyQ xy 2 12 2 18 31 k xx k 2 1 2 2 276 31 k x x k 由直线 PQ 的方程得 于是 1122 33yk xyk x 22 12121 212 3339y ykxxkx xxx 0OP OQ 1 212 0 x xy y 由 得 从而 2 51k 566 533 k 所以直线 PQ 的方程为或530 xy 530 xy 3 理工类考生做 证明 由已知得方程组 1122 33APxyAQxy 12 12 22 11 22 22 33 1 62 1 62 xx yy xy xy 注意 解得1 2 51 2 x 因 故 11 2 0FM xy 1121 231FMxyxy 12 11 22 yy 而 所以 222 1 2 2 FQxyy FMFQ 文档鉴赏 2 f x 2k x 2k 2 k Z 略 方程在 1 4 上有 4 个实根12 kx 3 x2 4y x1x2 4 P 2 1 SMIN 7 4 解 因 a 1 不防设短轴一端点为 B 0 1 设 BC y kx 1 k 0 则 AB y x 1 k 1 把 BC 方程代入椭圆 是 1 a2k2 x2 2a2kx 0 BC 同理 AB 22 2 2 1 2 1 ka ka k 22 2 2 2 1 ak a k 由 AB BC 得 k3 a2k2 ka2 1 0 k 1 k2 1 a2 k 1 0 k 1 或 k2 1 a2 k 1 0 当 k2 1 a2 k 1 0 时 a2 1 2 4 由 0 得 1 a 3 由 0 得 a 此时 k 13 故 由 0 即 1 a 时有一解 3 由 0 即 a 时有三解 3 5 解 依题意 知 a b 0 a b c 且 a b c 0 a 0 且 c 0 令 f x g x 得 ax2 2bx c 0 4 b2 ac a 0 c 0 ac 0 0 f x g x 相交于相异两点 设 x1 x2为交点 A B 之横坐标 则 A1B1 2 x1 x2 2 由方程 知 A1B1 2 2 2 2 2 4 444 a acca a acb 22 2 4 acac a 2 4 1 cc aa 文档鉴赏 而 a 0 0 20 abc ac ab 2 c a 0 20 abc ac cb 1 2 c a 1 2 2 c a 4 2 1 3 12 a c a c A1B1 2 33 6 解 1 xf axx23 2 依题意得 k 3 2a 3 a 3 1 f 把 B 1 b 代入得 b 13 23 xxxf 11 f a 3 b 1 2 令 3x2 6x 0 得 x 0 或 x 2 xf f 0 1 f 2 23 3 22 1 3 f 1 3 f 4 17 x 1 4 3 f x 17 要使 f x A 1987 对于 x 1 4 恒成立 则 f x 的最大值 17 A 1987 A 2004 1 已知 g x txxtxxxx 3223 1313 txxg 2 3 0 x 1 3 3x2 0 当 t 3 时 t 3x2 0 0 xg即 g x 在上为增函数 1 0 g x 的最大值 g 1 t 1 1 得 t 2 不合题意 舍去 当 0 t 3 时 txxg 2 3 令 0 得 x xg 3 t 列表如下 文档鉴赏 x 0 3 t 3 t 1 3 t xg 0 g x 极大值 g x 在 x 处取最大值 t 1 3 t 3 3 t 3 t t 3 3 4 27 2 233 3 t x 1 3 t 当 t 0 时 0 g x 在上为减函数 txxg 2 3 1 0 g x 在上为增函数 1 0 存在一个 a 使 g x 在上有最大值 1 2 233 1 0 7 解 1 设动点的坐标为 P x y 则 H 0 y 2 x y 0 xPH PM 2 x y PN 2 x y 2 x y PM PN 22 4yx xPH 由题意得 PH 2 2 PM PN 即 222 42yxx 即 所求点 P 的轨迹为椭圆1 48 22 yx 2 由已知求得 N 2 0 关于直线 x y 1 的对称点 E 1 1 则 QE QN 双曲线的 C 实轴长 2a 当且仅当 Q E M 共线10 MEQEQMQNQM 时取 此时 实轴长 2a 最大为10 文档鉴赏 所以 双曲线 C 的实半轴长 a 2 10 又 2 3 2 2 1 222 acbNMc 双曲线 C 的方程式为1 2 3 2 5 22 yx 8 1 1 2 1 n n b 2 0 8 1 2 1 1 16 1 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 16 1 8 1 2 1 2 1 2 1 8 7 2441684 n S 9 解 设双曲线 C 的渐近线方程为 y kx 则 kx y 0 该直线与圆相切 1 2 22 yx 双曲线 C 的两条渐近线方程为 y x 2 分 故设双曲线 C 的方程为 1 2 2 2 2 a y a x 又双曲线 C 的一个焦点为 0 2 22 2 a1 2 a 双曲线 C 的方程为 4 分1 22 yx 由得 1 1 22 yx mxy 022 1 22 mxxm 令22 1 22 mxxmxf 直线与双曲线左支交于两点 等价于方程 f x 0 在上有两个不等实根 0 因此 解得 0 1 2 0 1 2 0 2 2 m m m 21 m 又 AB 中点为 1 1 1 22 mm m 直线 l 的方程为 6 分 2 22 1 2 x mm y 令 x 0 得 8 17 4 1 2 2 22 2 2 2 m mm b 2 1 m 1 22 8 17 4 1 2 2 m 文档鉴赏 8 分 2 22 b 若 Q 在双曲线的右支上 则延长到 T 使 2 QF 1 QFQT 若 Q 在双曲线的左支上 则在上取一点 T 使 2 QF 1 QFQT 根据双曲线的定义 所以点 T 在以为圆心 2 为半径的圆上 即点2 2 TF 0 2 2 F T 的轨迹方程是 10 分 0 4 2 22 xyx 由于点 N 是线段的中点 设 TF1 yxN TT yxT 则 即 2 2 2 T T y y x x yy xx T T 2 22 代入 并整理得点 N 的轨迹方程为 12 分1 22 yx 2 2 x 10 解 因为 所以 2 分 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 ffff 4 1 2 1 f 令 得 即 4 分 n x 1 2 1 1 1 1 n f n f 2 1 1 1 n n f n f 1 1 1 0 f n n f n ffan 又 5 分 0 1 1 1 f n f n n ffan 两式相加 2 1 0 1 1 1 1 0 2 n ff n n f n fffan 所以 7 分Nn n an 4 1 又 故数列是等差数列 9 分 4 1 4 1 4 11 1 nn aa nn n a na b n n 4 14 4 22 2 2 1nn bbbT 1 3 1 2 1 1 16 222 n 10 分 1 1 32 1 21 1 1 16 nn 12 分 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 16 nn n S nn 16 32 1 2 16 所以 14 分 nn ST 11 设直线 OA 的斜率为 k 显然 k 存在且不等于 0 则 OA 的方程为 y kx 文档鉴赏 由解得 A 4 分 y kx y2 2px 2p k2 2p k 又由 知 OA OB 所以 OB 的方程为 y x 1 k 由解得 B 2pk2 2pk 4 分 y 1 kx y2 2px 从而 OA 的中点为 A OB 的中点为 B pk2 pk 6 分 p k2 p k 所以 以 OA OB 为直径的圆的方程分别为 x2 y2 0 2px k2 2py k x2 y2 2pk2x 2pky 0 10 分 P x y 是异于 O 点的两圆交点 所以 x 0 y 0 由 并化简得 y k x 1 k 将 代入 并化简得 x k2 1 2p 1 k2 由 消去 k 有 x2 y2 2px 0 点 P 的轨迹为以 p 0 为圆心 p 为半径的圆 除去原点 13 分 12 1 由题意 有 x2 2mx 2m2 0 对任意的 x R 恒成立 9 m2 3 所以 4m2 4 2m2 0 9 m2 3 即 m2 0 9 m2 3 0 m2 f 3 2 2 27 m2 3 由于分子恒大于 0 只需 m2 3 0 即可 所以 m 或 m 33 M m m 或 m 4 分 33 2 x2 2mx 2m2 x m 2 m2 m2 9 m2 3 9 m2 3 9 m2 3 当且仅当 x m 时等号成立 所以 题设对数函数的真数的最小值为 m2 7 分 9 m2 3 又因为以 3 为底的对数函数为增函数 f x log3 m2 9 m2 3 当且仅当 x m m M 时 f x 有最小值为 log3 m2 10 分 9 m2 3 又当 m M 时 m2 3 0 文档鉴赏 m2 m2 3 3 2 3 9 9 m2 3 9 m2 3 m2 3 9 m2 3 当且仅当 m2 3 即 m 时 9 m2 3 6 log3 m2 有最小值 log3 6 log39 2 9 m2 3 9 6 3 当 x m 时 其函数有最小值 2 6 13 解析 1 由根与系数的关系得 1 2 t 16 2 1 16 82 24 1 4 2 2 22 tt tt t f 同法得 f 16 2 1 2 tt 2 证明 f x 而当 x时 1 22 2 1 2 4 1 4 22 2 22 2 x txx x xtxx 2x2 tx 2 2 x 故当 x时 f x 0 0 x 函数 f x 在 上是增函数 3 证明 0 0 21 1 21 21 21 2 21 21 xx x xx xx xx x xx xx 同理 21 21 xx xx 21 21 xx xx 21 21 21 21 f xx xx fff xx xx ff 故 又 f 两式相加得 21 21 f xx xx f 21 21 21 21 ff xx xx f xx xx fff 即 21 21 21 21 ff xx xx f xx xx f 而由 1 f 且 f 2 2 f fff 文档鉴赏 2 21 21 21 21 xx xx f xx xx f 14 I 当时 2 1111 44 1 1 Saaa 2n 22 11 44411 nnnnn aSSaa 又 an 各项均为正数 数列是等差数列 22 11 2 nnnn aaaa 1 2 nn aa n a 21 n an II 若对于任意的恒成立 则 令 当时 2 n Sn 2n n tS nN 2 2 min n t n 2 2n n b n 3n 又 22 1 22 2 1 1 1 21 n n bnnnnn bnnn 123 8 2 1 9 bbb 2 28 minmin 9 n n b n 的最大值是 t 8 9 15 1 设点 M 的坐标为 x y 由 得 P 0 Q 0 2 分PM 2 3 MQ 2 y 3 x 由 0 得 3 x 0 又得 y2 4x 5 分HPPM 2 y 2 3y 由点 Q 在 x 轴的正半轴上 得 x 0 所以 动点 M 的轨迹 C 是以 0 0 为顶点 以 1 0 为焦点的抛物线 除去原点 6 分 2 设直线 l y k x 1 其中 k 0 代入 y2 4x 得 k2x2 2 k2 2 x k2 0 7 分 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2是方程 的两个实根 x1 x2 x1x2 1 2 2 2 k k 2 所以 线段 AB 的中点坐标为 8 分 2 2 2 k k k 2 线段 AB 的垂直平分线方程为 y x 9 分 k 2 k 1 2 2 2 k k 令 y 0 x0 1 所以点 E 的坐标为 1 0 2 2 k 2 2 k 因为 ABE 为正三角形 所以点 E 1 0 到直线 AB 的距离等于 AB 2 2 k2 3 而 AB 10 分 2 21 2 21 yyxx 2 2 14 k k 2 1k 所以 11 分 2 4 132 k k k k 2 12 文档鉴赏 解得 k 得 x0 12 分 2 3 3 11 16 1 f1 0 2 a1 fn 1 0 f1 fn 0 22 12 4 1 0 1 2 n f an 1 an 4 分 2 0 1 0 1 1 n n f f 2 0 1 2 1 0 1 1 n n f f 0 24 0 1 n n f f 2 1 2 0 1 0 n n f f 2 1 数列 an 是首项为 公比为 的等比数列 an n 1 6 分 4 1 2 1 4 1 2 1 2 T2n a1 2a2 3a3 2n 1 a2n 1 2na2n T2n a1 2a2 3a3 2n 1 a2n 1 2na2n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a2 2a3 2n 1 a2n na2n 8 分 两式相减得T2n a1 a2 a3 a2n na2n 2 3 所以 T2n n 2n 1 2n 2n 1 10 分 2 3 2 1 1 2 1 1 4 1 2 n 4 1 2 1 6 1 6 1 2 1 4 n 2 1 T2n 2n 2n 1 1 9T2n 1 9 1 9 1 2 1 6 n 2 1 9 1 n n 2 2 13 n n 2 2 13 Qn 1 12 分 2 12 13 n n 当 n 1 时 22n 4 2n 1 2 9 9T2n Qn 当 n 2 时 22n 16 2n 1 2 25 9T2n Qn 13 分 当 n 3 时 22n 1 1 n 2 C C C C 2 2n 1 2 9T2n Qn 14 分 0 n 1 n 2 n n n 17 解 I x 0 1 y x y a3 b333 x 0 1 y x y a3 b 3 33 a3 b a 3 b 0 x x y y 0 a3 b a 3 b 3 33 3 故 P 点的轨迹方程为 分 2 2 1 3 x y 文档鉴赏 II 考虑方程组 消去 y 得 1 3k2 x2 6kmx 3m2 3 0 2 2 1 3 ykxm x y 显然 1 3k20 6km 2 4 1 3k2 3m2 3 12 m2 1 3k2 0 设 x1 x2为方程 的两根 则 x1 x2 x0 y0 kx0 m 2 31 6 k km 2 21 31 3 2k kmxx 2 31k m 故 AB 中点 M 的坐标为 2 31 3 k km 2 31k m 线段 AB 的垂直平分线方程为 y 2 1 3 m k k 1 2 3 1 3 km x k 将 D 0 1 坐标代入 化简得 4m 3k21 故 m k 满足 消去 k2得 m24m 0 解得 m4 22 2 1 30 431 mk mk 又4m 3k21 1 故 m 0 4 分 1 4 m 4 1 18 1 解 由已知得 2 11 1 1 1 2 33 f nf nff nf n 4分 1 11 1 33 nn f 2 证明 由 1 可 知 设 1 3 n n an n T 1 n k k a 则 2 111 12 333 n n Tn 231 11111 1 2 1 33333 n n n Tnn 两式相减得 23 2111 3333 n T 1 11 33 nn n 9 分 1 111 1 233 nn n n T 1 1 31 113 44 3234 n nn k k n a 文档鉴赏 3 解 由 1 可知 1 11 1 12 336 n nnk k n n bnSbn 则 16 1 n Sn n 11 6 1nn 故有 6 分 1 1 n k k S 11111 6 1 2231nn 1 1 6 1n 19 1 22 222 11 2 2 12 242 n nn aannafddnn 2 11 1 limlim 2 4 2 24 a a a aa S n n n n 3 2 1 2 22 22 322222 nnn nnn nnanafab 14 1 2 1 1 nn n n bb n n b b 为递增数列 中最小项为 n b n b 6 22 2 222 6165 1 ttfb tt 20 1 mFQOF FQOF cos 62 sin 2 1 646 64 tan m m 4tan1 4 arctan 4 2 设所求的双曲线方程为 0 0 1 1111 2 2 2 2 ycxFQyxQba b y a x 则 又由 c yyOFS OFQ 64 62 2 1 11 0 11 ycxcFQOF 12 8 396 4 6 1 4 6 2 2 2 1 2 11 2 1 c c yxOQcxcccx 当且仅当 c 4 时 最小 此时 Q 的坐标为 OQ 6 6 6 6 或 所求方程为 12 4 16 1 66 2 2 22 22 b a ba ba 1 124 22 yx 3 设 的方程为的方程为 则有 2211 yxByxA 1 l 2 3lxy xy3 11 3xy 文档鉴赏 22 3xy 5 2 1 FFAB 4025 2 2 21 2 21 cyyxx 设由 得20 2 21 2 21 yyxx yxM 3 2121 xxyy 3 2121 xxyy xyyxxy32 32 2121 3 2 21 y xx 代入 得 的轨迹为xyy32 21 400 32 3 2 22 x y M xy 1 3 100 300 22 焦点在 y 轴上的椭圆 21 解 1 为偶函数 xf xfxf 0 b13 2 xxf 为奇函数 xg xgxg 0 cxxg5 1 51 3 2 1 2 1 2 11 nnnnnnnnnn aaaaaaaagaaf 023 2 1 2 1 nnnn aaaa0 23 11 nnnn aaaa 3 2 1 n n a a 是以为首项 公比为的等比数列 a n 1 n a 3 2 1 3 2 n n a 2 n lim3 3 2 1 1 n s 22 解析 1 如图 以 AB 所在直线为 x 轴 AB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系 A 1 0 B 1 0 设椭圆方程为 1 2 2 2 2 b y a x 令 c b yCx 2 0 3 2 2 3 1 2 b a a b C 文档鉴赏 椭圆 C 的方程是 1 34 22 yx 2 l AB 时不符 0 2 1 EABEC 2 1 设 l y kx m k 0 由 01248 43 1 34 222 22 mkmxxk yx mkxy M N 存在 0 124 43 4640 2222 mkmk 22 34mk 设 M N MN 的中点 F 1 x 1 y 2 x 2 y 0 x 0 y 2 21 0 43 4 2k kmxx x 2 00 43 3 k m mkxy 2 431 43 4 2 1 43 3 1 2 1 2 2 2 0 0 k m k k km k m kx y EFMNNEME 且 2 2 2 2 43 34 k k 434 2 k10 2 k11 k0 k l 与 AB 的夹角的范围是 0 4 1 23 1 6 2 1 424 4 24 1 24 1 24 1 1 1 x x xxx xfxf 21 8 3 2 3 4 1 1 432 4 1 01 4 1 2 1 21 2 1 0 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 0 1 2 nn n n nS n a n an ff n n f n f n n f n fff n nn 个式子相加得将上述 知由 24 1 当 X 0 时 3 分 xf 1 7 2 xx x 2 函数 X0 在是增函数 证明略 9 分 y xf 1 3 因为函数 X0 在是增函数 由 x得 y xf 12 2 2 fxf 文档鉴赏 又因为 所以 所以 07 01 2 xxx0 1 7 2 xx x 0 2 xf 因为 所以 且 即 0 21 xx0 2 1 xf0 2 2 xf2 0 2 xf 所以 2 f x1 f x2 2 即 2 14 分 1 xf 2 xf 25 解 由题意易得 M 1 0 设过点 M 的直线方程为代入得 0 1 kxkyxy4 2 0 42 2222 kxkxk 再设 则 x2 x2 2 2 24 k k y y2 k x1 1 k x2 1 k x2 2k k 4 的中点坐标为 kk k2 2 2 2 那么线段 的垂直平分线方程为 令得 2 12 2 2 k k x kk y 0 y 即 2 2 2 k k x 22 2 0 2 1 2 kk k x 又方程 中 3 2 2 10 04 42 0 2 2422 x k kkk 若 ABD 是正三角形 则需点 D 到 AB 的距离等于AB 2 3 4 22 21 2 21 22 21 2 2 1 1 16 4 1 1 k kk xxxxkxxkAB 点到 AB 的距离 d k k kk k k k k k k 2 2 2 2 2 2 12 1 22 1 2 据得 2 2 4 3 ABd 4 4 2 2 1 16 4 3 1 4 k k k k 满足0 34 1 034 2224 kkkk 4 3 2 k10 2 k 文档鉴赏 ABD 可以为正 此时 3 11 0 x 26 解 设 E x y D x0 y0 ABCD 是平行四边形 AEADAB2 4 0 x0 2 y0 2 x 2 y x0 6 y0 2x 4 2y yy xx yy xx 2 22 2 426 0 0 0 0 又4 2 222 4 2 2 22 2 0 2 0 yxyxAD 即 1 22 yx ABCD 对角线交点 E 的轨迹方程为1 22 yx 设过 A 的直线方程为 2 xky 以 A B 为焦点的椭圆的焦距 2C 4 则 C 2 设椭圆方程为 即 1 2 2 2 2 b y a x 1 4 2 2 2 2 a y a x 将代入 得 2 xky1 4 2 2 22 2 2 a xk a x 即 0444 4 2422222222 aakaxkaxkaa 设 M x1 y1 N x2 y2 则 4 44 4 4 222 2422 21 222 22 21 kaa aaka xx kaa ka xx MN 中点到 Y 轴的距离为 且 MN 过点 A 而点 A 在 Y 轴的左侧 MN 中点也在 Y 轴 3 4 的左侧 82 3 4 4 2 222 222 22 aka kaa ka 3 8 3 8 2 2121 a xxxx 8 3 4 3 8 4 22 21 2 21 2 21 axxxxxx 2 3 8 MN2 3 8 1 21 2 xxk 即 9 128 3 4 3 32 9 64 1 22 ak160321212 2222 kkaa 文档鉴赏 16032 82 1212 222 kaa 8 649 2 2 a k 82 8 649 2 2 2 a a a064809 24 aa 0 89 8 22 aa2 ca8 2 a 448 222 cab 所求椭圆方程为1 48 22 yx 由 可知点 E 的轨迹是圆1 22 yx 设是圆上的任一点 则过点的切线方程是 00 yx 00 yx1 00 yyxx 当时 代入椭圆方程得 0 0 y 0 0 1 y xx y 又03224 2 2 00 2 2 0 2 0 yxxxyx1 2 0 2 0 yx 030324 1 2 00 2 2 0 xxxxx 1 3032 1 4 2 0 2 0 21 2 0 0 21 x x xx x x xx 1208128 1 1 4 2 0 4 0 2 2 0 21 2 21 2 21 xx x xxxxxx 2 21 2 0 2 0 2 02 21 2 0 0 2 1 xx y yx xx y x PQ 2 2 0 2 0 2 0 4 0 2 2 0 2 0 1 1516 1208128 1 1 1 1 x x xx xx 令 3115 1516 2 0 ttx 则 2 1 256 12 256 16