历年数列高考题及答案

文档鉴赏 1 福建卷 已知等差数列中 的值是 n a 12497 1 16aaaa则 A 15B 30C 31D 64 2 湖南卷 已知数列满足 则 n a 13 3 0 11 Nn a a aa n n n 20 a A 0B C D 3 3 2 3 3 江苏卷江苏卷 在各项都为正数的等比数列 an 中 首项a1 3 前三项和为21 则a3 a4 a5 A 33 B 72 C 84 D 189 4 全国卷II 如果数列是等差数列 则 n a A B C D 1845 aaaa 1845 aaaa 1845 aaaa 1845 a aa a 5 全国卷II 11如果为各项都大于零的等差数列 公差 则 128 a aa 0d A B C D 1845 a aa a 1845 a aa a 1845 aaaa 1845 a aa a 6 山东卷 山东卷 是首项 1 公差为 3的等差数列 如果 2005 则序号等于 n a 1 a dn a n A 667 B 668 C 669 D 670 7 重庆卷 有一塔形几何体由若干个正方体构成 构成方式如图所示 上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点 已知最底层正方体的棱长为2 且改塔形的表面积 含最底 层正方体的底面面积 超过39 则该塔形中正方体的个数至少是 A A 4 B B 5 C C 6 D D 7 8 湖北卷 设等比数列的公比为q 前n项和为Sn 若Sn 1 Sn Sn 2成等差数列 则q的值为 n a 9 全国卷II 在和之间插入三个数 使这五个数成等比数列 则插入的三个数的乘积为 8 3 27 2 10 上海 12 用个不同的实数可得到个不同的排列 每个排列为一行写成一个行的数 nn aaa 21 n n 阵 对第 行 记 例如 用1 2 3可得 iinii aaa 21 in n iiii naaaab 1 32 321 3 2 1ni 数阵如图 由于此数阵中每一列各数之和都是12 所以 那么 2412312212 621 bbb 在用1 2 3 4 5形成的数阵中 12021 bbb 文档鉴赏 11 天津卷 在数列 an 中 a1 1 a2 2 且 1 1 2 Nnaa n nn 则 100 S 12 北京卷 设数列 an 的首项a1 a 且 记 4 1 1 1 2 1 4 n n n an a an 21 1 4 nn ba n l 2 3 I 求a2 a3 II 判断数列 bn 是否为等比数列 并证明你的结论 III 求 123 lim n n bbbb 13 北京卷 数列 an 的前n项和为Sn 且a1 1 n 1 2 3 求 1 1 3 nn aS I a2 a3 a4的值及数列 an 的通项公式 II 的值 2462n aaaa 文档鉴赏 14 福建卷 已知 是公比为q的等比数列 且成等差数列 n a 231 aaa 求q的值 设 是以2为首项 q为公差的等差数列 其前n项和为Sn 当n 2时 比较Sn与bn的大小 并说明 n b 理由 15 福建卷 已知数列 an 满足a1 a an 1 1 我们知道当a取不同的值时 得到不同的数列 如当a 1时 n a 1 得到无穷数列 0 1 2 1 2 1 3 5 2 3 2 1 得到有穷数列时当a 求当a为何值时a4 0 设数列 bn 满足b1 1 bn 1 求证a取数列 bn 中的任一个数 都可以得到一个有 1 1 Nn bn 穷数列 an 若 求a的取值范围 4 2 2 3 nan 文档鉴赏 16 湖北卷 设数列的前n项和为Sn 2n2 为等比数列 且 n a n b 112211 baabba 求数列和的通项公式 n a n b 设 求数列的前n项和Tn n n n b a c n c 17 湖南卷 已知数列为等差数列 且 1 log 2 Nnan 9 3 31 aa 求数列的通项公式 n a 证明 1 111 12312 nn aaaaaa 文档鉴赏 18 江苏卷 设数列 an 的前项和为 已知a1 1 a2 6 a3 11 且 n S 1 58 52 nn nSnSAnB 其中A B为常数 3 2 1 n 求A与B的值 证明数列 an 为等差数列 证明不等式 51 mnmn aa amn 对任何正整数 都成立 19 全国卷 设正项等比数列的首项 前n项和为 且 n a 2 1 1 a n S0 12 2 1020 10 30 10 SSS 求的通项 n a 求的前n项和 n nS n T 文档鉴赏 20 全国卷 设等比数列的公比为 前n项和 n aq 2 1 0 nSn 求的取值范围 q 设 记的前n项和为 试比较与的大小 12 2 3 nnn aab n b n T n S n T 21 全国卷II 已知是各项为不同的正数的等差数列 成等差数列 又 n a 1 lga 2 lga 4 lga 2 1 n n b a 1 2 3 n 证明为等比数列 n b 如果数列前3项的和等于 求数列的首项和公差 n b 7 24 n a 1 a d 文档鉴赏 数列 高考题 答案数列 高考题 答案 1 7 A B C B B C C 8 湖北卷 2 9 全国卷II 21610 上海 1080 11 天津卷 2600 12 北京卷 解 I a2 a1 a a3 a2 a 4 1 4 1 2 1 2 1 8 1 II a4 a3 a 所以a5 a4 a 4 1 2 1 8 3 2 1 4 13 16 所以b1 a1 a b2 a3 a b3 a5 a 4 1 4 1 4 1 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 猜想 bn 是公比为的等比数列 2 1 证明如下 因为bn 1 a2n 1 a2n a2n 1 bn n N 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 所以 bn 是首项为a 公比为的等比数列 4 1 2 1 III 1 1 12 1 1 1 2 lim lim2 11 4 11 22 n n nn b b bbba 13 北京卷 解 I 由a1 1 n 1 2 3 得 1 1 3 nn aS 211 111 333 aSa 3212 114 339 aSaa 43123 1116 3327 aSaaa 由 n 2 得 n 2 又a2 所以an n 2 11 11 33 nnnnn aaSSa 1 4 3 nn aa 3 1 2 1 4 3 3 n 文档鉴赏 数列 an 的通项公式为 2 11 1 4 2 3 3 n n n a n II 由 I 可知是首项为 公比为项数为n的等比数列 242 n a aa 3 1 2 4 32462n aaaa 2 2 2 4 1 134 3 1 4 373 1 3 n n 14 福建卷 解 由题设 2 2 11 2 1213 qaaqaaaa 即 0 12 0 2 1 qqa 2 1 1 或q 若 2 3 1 2 1 2 1 2 nnnn nSq n 则 当 故 0 2 2 1 2 1 nn SbSn nnn 时 nn bS 若 4 9 2 1 2 1 2 2 1 2 nnnn nSq n 则 当 4 10 1 2 1 nn SbSn nnn 时 故对于 11 10 92 nnnnnn bSnbSnbSnNn 时当时当时当 15 福建卷 I 解法一 1 1 11 n n a aaa 文档鉴赏 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 3 2 3 2 1 1 2 1 1 1 1 0 1 1 0 0 3 2 12 231 1 1 121 1 11 1 1 1 1 1 21 2 12 3 1 1 2 1 11 422 2 3 3 3 4 4 3 4 2 3 1 2 n n n n n n n n nn n n n n a b ba a b ba a b ba aba baba b b b b bbII aaa a aa a a a a a aa a a a a a a a a a a aa a 中的任一个数不妨设取数列 解法一 时故当 解法二 时故当 故a取数列 bn 中的任一个数 都可以得到一个有穷数列 an 16 湖北卷 解 1 当 2 1 11 San时 24 1 22 2 22 1 nnnSSan nnn 时当 故 an 的通项公式为的等差数列 4 2 24 1 daana nn 公差是即 设 bn 的通项公式为 4 1 4 11 qdbqdbq 则 故 4 2 4 1 2 11 1 1 n nn n n n bbqbb的通项公式为即 II 4 12 4 2 24 1 1 n n n n n n n b a c 4 12 4 32 454341 4 4 12 45431 132 121 21 nn n n nn nnT ncccT 两式相减得 文档鉴赏 54 56 9 1 54 56 3 1 4 12 4444 213 1321 n n nnn n nT nnT 17 湖南卷 I 解 设等差数列的公差为d 1 log2 n a 由即d 1 8log2log 2 log29 3 22231 daa得 所以即 1 1 1 log2nnan 12 n n a II 证明因为 nnn nn aaa2 1 2 11 1 1 所以 n nn aaaaaa2 1 2 1 2 1 2 1111 321 12312 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 n n 18 江苏卷 解 由 得 1 1a 2 6a 3 11a 1 1S 2 2S 3 18S 把分别代入 得 1 2n 1 58 52 nn nSnS AnB 28 248 AB AB 解得 20A 8B 由 知 即 11 5 82208 nnnn n SSSSn 11 582208 nnn naSSn 又 221 5 1 8220 1 8 nnn naSSn 得 即 2121 5 1 58220 nnnn nanaaa 21 53 52 20 nn nana 又 32 52 57 20 nn nana 得 321 52 2 0 nnn naaa 321 20 nnn aaa 又 322132 5 nnnn aaaaaa 21 5aa 因此 数列是首项为1 公差为5的等差数列 n a 文档鉴赏 由 知 考虑 54 n ann N 55 54 2520 mn amnmn 2 1 211 mnmnmnmnmn a aa aa aa aaa 2515 9mnmn 2 5 1 15 291522910 mnmn aa amn 即 2 5 1 mnmn aa a 51 mnmn aa a 因此 51 mnmn aa a 19 全国卷 解 由 得 0 12 2 1020 10 30 10 SSS 2 10202030 10 SSSS 即 2 201211302221 10 aaaaaa 可得 2 201211201211 1010 aaaaaaq 因为 所以 解得 因而 0 n a 12 1010 q 2 1 q 2 1 2 1 1 1 nqaa n n n 因为是首项 公比的等比数列 故 n a 2 1 1 a 2 1 q 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 n n n n n n nnSS 则数列的前n项和 n nS 22 2 2 1 21 2n n n nT 22 1 2 2 2 1 21 2 1 2 132 nn n nn n T 前两式相减 得 12 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 nn n n n T 即 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 4 1 n n nnn 2 22 1 2 1 1 nn n nnn T 20 全国卷 文档鉴赏 解 因为是等比数列 n a 0 0 0 11 qSaSn可得 当 0 1 1 naSq n 时 1 1 1 1 0 0 1 2 11 nn n aqq qSn qq 当时即 上式等价于不等式组 2 1 01 01 n q q n 或 2 1 01 01 n q q n 解 式得q 1 解 由于n可为奇数 可为偶数 得 1 q0且 1 0 n Sqq 当或时即 1 1 2 q 2q 0 nn TS nn TS 当且 0时 即 1 2 2 q q0 nn TS nn TS 当或 2时 即 1 2 q