二次函数专题复习

1 二次函数二次函数 专题一 二次函数的图象与性质专题一 二次函数的图象与性质 1 当时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 当时 随 的增大而减小 当时 随 的增大而增大 当时 有 2 b x a yx 2 b x a yx 2 b x a y 最小值 2 4 4 acb a 2 当时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 当0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 时 随 的增大而增大 当时 随 的增大而减小 当时 有最 2 b x a yx 2 b x a yx 2 b x a y 大值 2 4 4 acb a 考点考点 1 1 二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数图象的对称轴和顶点坐标 二次函数的图象是一条抛物线 它的对称轴是直线 x 顶点坐标是 2 b a2 b a 2 4 4 acb a 例 1 已知 在同一直角坐标系中 反比例函数与二次函数的图像交于点 5 y x 2 2yxxc 1 Am 1 求 的值 mc 2 求二次函数图像的对称轴和顶点坐标 例 2 已知二次函数 y x2 2x c2的对称轴和 x 轴相交于点 m 0 则 m 的值为 3 2006 大连 右图是二次函数 y1 ax2 bx c 和一次函数 y2 mx n 的图 像 观察图像写出 y2 y1时 x 的取值范围 考点考点 2 2 抛物线与抛物线与 a a b b c c 的关系的关系 二次函数的图象与各项系数之间的关系 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数a 决定了抛物线开口的大小和方向 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 的正负决定开口方向 的大小决定开口的大的大小决定开口的大aaa 小 小 2 2 一次项系数b 在二次项系数 确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 在的前提下 0a 当时 即抛物线的对称轴在轴左侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的右侧 0b 0 2 b a y 在的前提下 结论刚好与上述相反 即0a 当时 即抛物线的对称轴在轴右侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的左侧 0b 0 2 b a y 总结起来 在总结起来 在确定的前提下 确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置决定了抛物线对称轴的位置 ab 3 常数项c 当时 抛物线与轴的交点在 轴上方 即抛物线与轴交点的纵坐标为正 0c yxy 当时 抛物线与轴的交点为坐标原点 即抛物线与轴交点的纵坐标为 0c yy0 当时 抛物线与轴的交点在 轴下方 即抛物线与轴交点的纵坐标为负 0c yxy 总结起来 总结起来 决定了抛物线与决定了抛物线与轴交点的位置 轴交点的位置 cy 例 2 在同一直角坐标系中 函数 y mx m 和 y mx2 2x 2 m 是常数 且 m 0 的图像可能是 二次函数的图象如图所示 则下列结论正确的是 cbxaxy 2 A a 0 b 0 c 0 B a 0 b 0 c 0 C a 0 b 0 c 0 D a 0 b 0 c 0 4 二次函数 y ax2 bx c 的图像如图所示 则下列关系式不正确的是 A a0 C a b c0 3 考点考点 3 二次函数的平移二次函数的平移 当 k 0 k0 h 0 时 抛物线 y a x h 2 a 0 的图象可由抛物线 y ax2向右 或向左 平移 h 个单 位得到 例 3 把抛物线 y 3x2向上平移 2 个单位 得到的抛物线是 A y 3 x 2 2 B y 3 x 2 2 C y 3x2 2 D y 3x2 2 例 3 抛物线 y 2x2 4x 5 经过平移得到 y 2x2 平移方法是 A 向左平移 1 个单位 再向下平移 3 个单位 B 向左平移 1 个单位 再向上平移 3 个单位 C 向右平移 1 个单位 再向下平移 3 个单位 D 向右平移 1 个单位 再向上平移 3 个单位 二次函数图象的对称二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表达二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表达 1 关于关于 轴对称轴对称x 关于关于 轴对称后 得到的解析式是轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc x 2 yaxbxc 关于关于 轴对称后 得到的解析式是轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk x 2 ya xhk 2 关于关于轴对称轴对称y 关于关于轴对称后 得到的解析式是轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc y 2 yaxbxc 关于关于轴对称后 得到的解析式是轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk y 2 ya xhk 3 关于原点对称关于原点对称 关于原点对称后 得到的解析式是关于原点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 yaxbxc 关于原点对称后 得到的解析式是关于原点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 专题练习一专题练习一 4 1 对于抛物线 y x2 x 下列说法正确的是 1 3 10 3 16 3 A 开口向下 顶点坐标为 5 3 B 开口向上 顶点坐标为 5 3 C 开口向下 顶点坐标为 5 3 D 开口向上 顶点坐标为 5 3 2 若抛物线 y x2 2x c 与 y 轴的交点为 0 3 则下列说法不正确的是 A 抛物线开口向上 B 抛物线的对称轴是 x 1 C 当 x 1 时 y 的最大值为 4 D 抛物线与 x 轴交点为 1 0 3 0 3 将二次函数 y x2的图象向左平移 1 个单位长度 再向下平移 2 个单位长度后 所得图象的函数表达 式是 4 小明从图 2 所示的二次函数的图象中 观 2 yaxbxc 察得出了下面五条信息 0c 0abc 0abc 230ab 你认为其中正确信息的个数有 填序号 40cb 专题复习二 二次函数表达式的确定专题复习二 二次函数表达式的确定 本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式 题型多以解答题为主 考点考点 1 根据实际问题模型确定二次函数表达式根据实际问题模型确定二次函数表达式 例 1 如图 1 用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙 墙 的长度不限 的矩形菜园 设边长为米 则菜园的ABCDABx 面积 单位 米 与 单位 米 的函数关系式为 y 2 x 不要求写出自变量的取值范围 x 考点考点 2 根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式 1 若已知抛物线上三点的坐标 则可用一般式 y ax2 bx c a 0 2 若已知抛物线的顶点坐标或最大 小 值及抛物线上另一个点的坐标 则可用顶点式 y a x h 2 k a 0 3 若已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标及另一个点 则可用交点式 y a x x1 x x2 a 0 例 2 已知抛物线的图象以 A 1 4 为顶点 且过点 B 2 5 求该抛物线的表达式 例 3 已知一抛物线与 x 轴的交点是 A 2 0 B 1 0 且经过点 C 2 8 1 求该抛物线的解析式 图 2 2 1 0 12 y x 1 3 x A B CD 图 1 菜园 墙 5 2 求该抛物线的顶点坐标 专项练习二专项练习二 1 由于世界金融危机的不断蔓延 世界经济受到严重冲击 为了盘活资金 减少损失 某电器商场决 定对某种电视机连续进行两次降价 若设平均每次降价的百分率是 x 降价后的价格为 y 元 原价为 a 元 则 y 与 x 之间的函数表达式为 A y 2a x 1 B y 2a 1 x C y a 1 x2 D y a 1 x 2 2 如图 2 在平而直角坐标系 xOy 中 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在 x 轴负半轴 点 B 在 x 轴正半轴 与 y 轴交于点 C 且 tan ACO CO BO AB 3 则这条抛物线的函数解析式是 1 2 3 对称轴平行于 y 轴的抛物线与 y 轴交于点 0 2 且 x 1 时 y 3 x 1 时 y 1 求此抛物线的关系式 4 推理运算 二次函数的图象经过点 03 A 23 B 10 C 1 求此二次函数的关系式 2 求此二次函数图象的顶点坐标 3 填空 把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位 使得该图象的顶点在原 点 专题三 二次函数与一元二次方程的关系专题三 二次函数与一元二次方程的关系 本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根 由图象判断一元二次方程根的情况 由一元二次方程根的情况判断抛物线与 x 轴的交点个数等 题型主要填空题 选择题和解答题 考点考点 1 根据二次函数的自变量与函数值的对应值 确定方程根的范围根据二次函数的自变量与函数值的对应值 确定方程根的范围 一元二次方程 ax2 bx c 0 就是二次函数 y ax2 bx c 当函数 y 的值为 0 时的情况 例 1 根据下列表格中二次函数 y ax2 bx c 的自变量与函数值的对应值 判断方程xy ax2 bx c 0 a 0 a b c 为常数 的一个解的范围是 x x6 176 186 196 20 2 yaxbxc 0 03 0 01 0 020 04 66 17x 6 176 18x 6 186 19x 6 196 20 x 考点考点 2 根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与 轴交点情况 x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况 2 0axbxc 2 yaxbxc 0y 图 2 6 图象与 轴的交点个数 x 当当时时 图象与 图象与轴交于两点轴交于两点 其中的 其中的是一元二次是一元二次 2 40bac x 12 00A xB x 12 xx 12 xx 方程方程的两根 这两点间的距离的两根 这两点间的距离 2 00axbxca 2 21 4bac ABxx a 当当时 时 图象与图象与 轴只有一个交点 轴只有一个交点 0 x 当当时 图象与时 图象与 轴没有交点轴没有交点 0 x 当当时 图象落在时 图象落在 轴的上方 无论轴的上方 无论 为任何实数 都有为任何实数 都有 1 0a xx0y 当 当时 图象落在时 图象落在 轴的下方 无论轴的下方 无论 为任何实数 都有为任何实数 都有 2 0a xx0y 2 抛物线抛物线的图象与的图象与轴一定相交 交点坐标为轴一定相交 交点坐标为 2 yaxbxc y 0 c 例 2 二次函数 y x2 2x 3 与 x 轴两交点之间的距离为 考点考点 3 抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况 当二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴有两个交点时 则一元二次方程 ax2 bx c 0 有两个不相等的实 数根 当二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴有一个交点时 则一元二次方程 ax2 bx c 0 有两个相等的实 数根 当二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴没有交点时 则一元二次方程 ax2 bx c 0 没有实数根 反之 亦然 例 3 在平面直角坐标系中 抛物线与轴的交点的个数是 2 1yx x A 3B 2C 1D 0 专项练习三专项练习三 1 抛物线 y kx2 7x 7 的图象和 x 轴有交点 则 k 的取值范围是 2 已知二次函数的部分图象如图 2 所示 则关于的一元二次方程 2 2yxxm x 的解为 2 20 xxm 3 已知函数 2 yaxbxc 的图象如图 3 所示 那么关于x的方程 2 20axbxc 的根的情况是 A 无实数根B 有两个相等实数根 C 有两个异号实数根D 有两个同号不等实数根 4 二次函数的图象如图 4 所示 根据图象解答下列 2 0 yaxbxc a 问题 1 写出方程的两个根 2 0axbxc 2 写出不等式的解集 2 0axbxc 图 4 x y 3 3 2 2 1 14 1 1 2 O 图 3 x y 0 3 7 3 写出随的增大而减小的自变量的取值范围 yxx 4 若方程有两个不相等的实数根 求的取值范围 2 axbxck k 专题四 利用二次函数解决实际问题专题四 利用二次函数解决实际问题 本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型 根据二次函数的最值解决实际问题 能根据图象 学习建立二次函数模型解决实际问题 解决实际问题的基本思路 1 理解问题 2 分析问题中的变量和常量 3 用函数表达式表 示出它们之间的关系 4 利用二次函数的有关性质进行求解 5 检验结果的合理性 对问题加以 拓展等 例 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出 平均每天能售出 8 台 为了配合国家 家电下 乡 政策的实施 商场决定采取适当的降价措施 调查表明 这种冰箱的售价每降低 50 元 平均每天就能 多售出 4 台 1 假设每台冰箱降价 x 元 商场每天销售这种冰箱的利润是 y 元 请写出 y 与 x 之间的函数表达 式 不要求写自变量的取值范围 2 商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元 同时又要使百姓得到实惠 每台冰箱应降价多 少元 3 每台冰箱降价多少元时 商场每天销售这种冰箱的利润最高 最高利润是多少 专题训练四专题训练四 1 小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地 矩形面积 S 单位 平方米 随矩形一边长 x 单 位 米 的变化而变化 1 求 S 与 x 之间的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 2 当 x 是多少时 矩形场地面积 S 最大 最大面积是多少 2 某旅行社有客房 120 间 每间客房的日租金为 50 元 每天都客满 旅社装修后要提高租金 经市场 调查发现 如果每间客房的日租金每增加 5 元时 则客房每天出租数就会减少 6 间 不考虑其他因素 旅社将每间客房的日租金提高到多少元时 客房日租金的总收入最高 3 一座拱桥的轮廓是抛物线型 如图 1 所示 拱高 6m 跨度 20m 相邻两支柱间的距离均为 5m 1 将抛物线放在所给的直角坐标系中 如图 2 所示 求抛物线的解析式 2 求支柱的长度 EF 3 拱桥下地平面是双向行车道 正中间是一条宽 2m 的隔离带 其中的一条行车道能否并排