小学奥数平面几何五种面积模型

1 33 小学奥数平面几何五种模型 等积 鸟头 蝶形 相似 共边 目标 熟练掌握五大面积模型等积 鸟头 蝶形 相似 含金字塔模型和 沙漏模型 共边 含燕尾模型和风筝模型 掌握五大面积模型的各种变 形 知识点拨知识点拨 一 等积模型一 等积模型 等底等高的两个三角形面积相等 两个三角形高相等 面积比等于它们的底之比 两个三角形底相等 面积比等于它们的高之比 如右图 12 SSa b 夹在一组平行线之间的等积变形 如右图 ACDBCD SS 反之 如果 则可知直线平行于 ACDBCD SS ABCD 等底等高的两个平行四边形面积相等 长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 两个平行四边形高相等 面积比等于它们的底之比 两个平行四边形底 相等 面积比等于它们的高之比 二 鸟头定理二 鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补 这两个三角形叫做共角三角形 共角三角形的面积比等于对应角 相等角或互补角 两夹边的乘积之比 如图在中 分别是上的点如图 或在的延长线上 ABC D E AB ACDBA 在上 EAC 则 ABCADE SSABACADAE E D C B A E D CB A 图 图 三 蝶形定理三 蝶形定理 任意四边形中的比例关系 蝶形定理 ba S2S1 DC BA S4 S3 S2 S1 O D CB A 2 33 或者 1243 SSSS 1324 SSSS 1243 AO OCSSSS 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题 的一个途径 通过构造模型 一方面可以使不规则四 边形的面积关系与四边形内的三角形相联系 另一方 面 也可以得到与面积对应的对角线的比例关系 梯形中比例关系 梯形蝶形定理 22 13 SSab 22 1324 SSSSabab ab 的对应份数为 S 2 ab 四 相似模型四 相似模型 一 金字塔模型 二 沙漏模型 G F E A BC D A BC DEF G ADAEDEAF ABACBCAG 22 ADEABC SSAFAG 所谓的相似三角形 就是形状相同 大小不同的三角形 只要其形状不改变 不论大小怎样改变它们都相似 与相似三角形相关的常用的性质及定理如 下 相似三角形的一切对应线段的长度成比例 并且这个比例等于它们的相 似比 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理 三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型 给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工 具 在小学奥数里 出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形 五 共边定理 燕尾模型和风筝模型 五 共边定理 燕尾模型和风筝模型 在三角形中 相交于同一点 那么ABCADBECFO ABOACO SSBD DC 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段 因 为和的形状很象燕子的尾巴 所以这个定理被ABO ACO A BC D O b a S3 S2 S1 S4 O F E D CB A 3 33 称为燕尾定理 该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用 它的特殊性 在于 它可以存在于任何一个三角形之中 为三角形中的三角形面积对应 底边之间提供互相联系的途径 典型例题典型例题 例例 1 如图 正方形如图 正方形ABCD的边长为的边长为 6 1 5 2 长方形 长方形EFGH的的AE CF 面积为面积为 H G F E D C B A A B C D E F G H 解析 连接DE DF 则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积 所以长方形EFGH661 5622624 54216 5 DEF S 面积为 33 巩固巩固 如如图图所所示示 正正方方形形的的边边长长为为 厘厘米米 长长方方形形的的长长为为厘厘ABCD8EBGFBG10 米米 那那么么长长方方形形的的宽宽为为几几厘厘米米 A B G C E F D A B G C E F D 解析 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 长方 形和正方形可以看作特殊的平行四边形 三角形面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半 证明 连接 我们通过把这两个长方形和正方形联系在AGABG 一起 在正方形中 边上的高 ABCD G 1 2 AB SABAB 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积 1 2 ABGABCD SS A 的一半 同理 1 2 ABGEFGB SS 4 33 正方形与长方形面积相等 长方形的宽ABCDEFGB 厘米 8 8 106 4 例例 2 长方形长方形的面积为的面积为 36 为各边中点 为各边中点 为为边上边上ABCD 2 cmEFGHAD 任意一点 问阴影部分面积是多少 任意一点 问阴影部分面积是多少 H G F E D C B A 解析 解法一 寻找可利用的条件 连接 如下图 BHHC H G F E D C B A 可得 而 1 2 EHBAHB SS 1 2 FHBCHB SS 1 2 DHGDHC SS 36 ABCDAHBCHBCHD SSSS 即 11 3618 22 EHBBHFDHGAHBCHBCHD SSSSSS 而 EHBBHFDHGEBF SSSSS 阴影 11111 364 5 22228 EBF SBEBFABBC 所以阴影部分的面积是 18184 513 5 EBF SS 阴影 解法二 特殊点法 找的特殊点 把点与点重合 HHD 那么图形就可变成右图 G A B C D E F H 这样阴影部分的面积就是的面积 根据鸟头定理 则有 DEF 1111111 3636363613 5 2222222 ABCDAEDBEFCFD SSSSS 阴影 巩固巩固 在边长为在边长为 6 6 厘米的正方形厘米的正方形内任取一点内任取一点 将正方形的一组对 将正方形的一组对ABCDP 边二等分 另一组对边三等分 分别与边二等分 另一组对边三等分 分别与 点连接点连接 求阴影部分面求阴影部分面P 5 33 积 积 P D C B A A B C D P P D C B A 解析 法 1 特殊点法 由于 是正方形内部任意一点 可采用特殊点法 P 假设 点与 点重合 则阴影部分变为如上中图所示 图中的两个阴PA 影三角形的面积分别占正方形面积的 和 所以阴影部分的面积为 1 4 1 6 平方厘米 2 11 6 15 46 法 2 连接 PAPC 由于与的面积之和等于正方形面积的一半 所以上 PAD PBC ABCD 下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的 同理可知ABCD 1 4 左 右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的 所以ABCD 1 6 阴影部分的面积为平方厘米 2 11 6 15 46 例例 3 如图所示 长方形如图所示 长方形内的阴影部分的面积之和为内的阴影部分的面积之和为 70 ABCD8AB 四边形 四边形的面积为的面积为 15AD EFGO O G F E D CB A 解析 利用图形中的包含关系可以先求出三角形 和四边形AOEDOG 的面积之和 以及三角形和的面积之和 进而求出四EFGOAOEDOG 边形的面积 EFGO 由于长方形的面积为 所以三角形的面积为ABCD15 8120 BOC 所以三角形和的面积之和为 1 12030 4 AOEDOG 3 1207020 4 又三角形 和四边形的面积之和为 所AOEDOGEFGO 11 12030 24 以四边形的面积为 EFGO302010 另解 从整体上来看 四边形的面积 三角形面积 三角形EFGO AFC 面积 白色部分的面积 而三角形面积 三角形面积为长BFD AFC BFD 6 33 方形面积的一半 即 60 白色部分的面积等于长方形面积减去阴影 部分的面积 即 所以四边形的面积为 1207050 605010 巩固巩固 如图 长方形如图 长方形的面积是的面积是 36 是是的三等分点 的三等分点 ABCDEAD2AEED 则阴影部分的面积为则阴影部分的面积为 O A BC D E N M O A BC D E 解析 如图 连接 OE 根据蝶形定理 所以 1 1 1 2 COECDECAECDE ON NDSSSS 1 2 OENOED SS 所以 1 1 4 2 BOEBAEBDEBAE OM MASSSS 1 5 OEMOEA SS 又 所以阴影部分面积为 11 3 34 OEDABCD SS 矩形 26 OEAOED SS 11 362 7 25 例例 4 已知已知为等边三角形 面积为为等边三角形 面积为 400 分别为三边的中点 分别为三边的中点 ABCDEF 已知甲 乙 丙面积和为已知甲 乙 丙面积和为 143 求阴影五边形的面积 求阴影五边形的面积 丙是三角形丙是三角形 HBC 丙 丙丙 H N M JIF E D CB A 解析 因为 分别为三边的中点 所以 是三角形DEFDEDFEF 的中位线 也就与对应的边平行 根据面积比例模型 三角形ABC 和三角形的面积都等于三角形的一半 即为 200 ABNAMCABC 根据图形的容斥关系 有 ABCABNAMCAMHN SSSSS 丙 即 所以 400 200200 AMHN SS 丙 AMHN SS 丙 又 所以 ADFAMHN SSSSS 乙甲阴影 7 33 1 14340043 4 ADF SSSSS 乙甲丙阴影 例例 5 如图 已知如图 已知 线段 线段将图形分成两部将图形分成两部5CD 7DE 15EF 6FG AB 分 左边部分面积是分 左边部分面积是 38 右边部分面积是 右边部分面积是 65 那么三角形 那么三角形的面的面ADG 积是积是 G FEDC B A A B CDEF G 解析 连接 AFBD 根据题意可知 571527CF 715628DG 所以 15 27 BECBFF SS 12 27 BECBFC SS 21 28 AEGADG SS 7 28 AEDADG SS 于是 2115 65 2827 ADGCBF SS 712 38 2827 ADGCBF SS 可得 故三角形的面积是 40 40 ADG S ADG 例例 6 如图在如图在中 中 分别是分别是上的点 且上的点 且 ABC D E AB AC 2 5AD AB 平方厘米 求平方厘米 求的面积 的面积 4 7AE AC 16 ADE S ABC E D C B A E D CB A 解析 连接 BE 2 5 24 54 ADEABE SSAD AB 所以 设 4 7 45 75 ABEABC SSAE AC 24 75 ADEABC SS 份 则份 平方厘米 所以 份是 平方厘米 8 ADE S 35 ABC S 16 ADE S 12 份就是平方厘米 的面积是平方厘米 由此我们得到一3570ABC 70 个重要的定理 共角定理 共角三角形的面积比等于对应角 相等角 或互补角 两夹边的乘积之比 巩固巩固 如图 三角形如图 三角形中 中 是是的的 5 倍 倍 是是的的 3 倍 如果三倍 如果三ABCABADACAE 8 33 角形角形的面积等于的面积等于 1 那么三角形 那么三角形的面积是多少 的面积是多少 ADEABC E D CB A A BC D E 解析 连接 BE 3ECAE 3 ABCABE SS AA 又 5ABAD 515 ADEABEABC SSS AAA 1515 ABCADE SS AA 巩固巩固 如图 三角形如图 三角形ABC被分成了甲被分成了甲 阴影部分阴影部分 乙两部分 乙两部分 乙部分面积是甲部分面积的几倍 乙部分面积是甲部分面积的几倍 4BDDC 3BE 6AE 丙 丙 E D CB A A BC D E 丙 丙 解析 连接 AD 3BE 6AE 3ABBE 3 ABDBDE SS AA 又 4BDDC 2 ABCABD SS AA 6 ABCBDE SS AA 5SS 乙甲 例例 7 如图在如图在中 中 在在的延长线上 的延长线上 在在上 且上 且 ABC DBAEAC 5 2AB AD 平方厘米 求平方厘米 求的面积 的面积 3 2AE EC 12 ADE S ABC E D CB A E D CB A 解析 连接 BE 2 5 23 5 3 ADEABE SSAD AB 3 32 3 5 32 5 ABEABC SSAE AC 所以 设份 则份 32 5 32 6 25 ADEABC SS 6 ADE S 25 ABC S 平方厘米 所以 份是 平方厘米 份就是平方厘米 12 ADE S 122550 的面积是平方厘米 由此我们得到一个重要的定理 共角定ABC 50 9 33 理 共角三角形的面积比等于对应角 相等角或互补角 两夹边的乘 积之比 例例 8 如图 平行四边形如图 平行四边形 ABCDBEAB 2CFCB 3GDDC 4HAAD 平行四边形平行四边形的面积是的面积是 求平行四边形求平行四边形与四边形与四边形的的ABCD2ABCDEFGH 面积比 面积比 H G A B C D E F H G A B C D E F 解析 连接 根据共角定理ACBD 在和中 与互补 ABC BFE ABC FBE 1 11 1 33 ABC FBE SAB BC SBE BF 又 所以 1 ABC S 3 FBE S 同理可得 8 GCF S 15 DHG S 8 AEH S 所以 8815 3 236 EFGHAEHCFGDHGBEFABCD SSSSSS 所以 21 3618 ABCD EFGH S S 例例 9 如图所示的四边形的面积等于多少 如图所示的四边形的面积等于多少 O D C B A 13 13 12 12 13 13 12 12 解析 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形 难以运用公式直 接求面积 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换 把三角形绕顶点 逆时针旋转 使长为的两条边重合 此时三OABO13 角形将旋转到三角形 的位置 这样 通过旋转后所得到的新OABOCD 图形是一个边长为的正方形 且这个正方形的面积就是原来四边12 形的面积 因此 原来四边形的面积为 也可以用勾股定理 12 12144 10 33 例例 10 如图所示 如图所示 中 中 以 以为一边向为一边向ABC 90ABC 3AB 5BC AC 外作正方形外作正方形 中心为 中心为 求 求的面积 的面积 ABC ACDEOOBC 5 3 O A BC D E F 5 3 O A BC D E 解析 如图 将沿着 点顺时针旋转 到达的位置 OAB O90 OCF 由于 所以 而 90ABC 90AOC 180OABOCB OCFOAB 所以 那么 三点在一条直线上 180OCFOCB BCF 由于 所以是等腰直角三角形 且斜OBOF 90BOFAOC BOF 边为 所以它的面积为 BF538 2 1 816 4 根据面积比例模型 的面积为 OBC 5 1610 8 例例 11 如图 以正方形的边如图 以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形为斜边在正方形内作直角三角形 ABABE 交于交于 已知 已知 的长分别为的长分别为 求 求90AEB ACBDOAEBE3cm5cm 三角形三角形的面积 的面积 OBE A BC D O E F A BC D O E 解析 如图 连接 以 点为中心 将顺时针旋转到的位DEAADE 90 ABF 置 那么 而也是 所以四边90EAFEABBAFEABDAE AEB 90 形是直角梯形 且 AFBE3AFAE 所以梯形的面积为 AFBE 1 35312 2 2 cm 又因为是直角三角形 根据勾股定理 ABE 所以 22222 3534ABAEBE 2 1 17 2 ABD SAB 2 cm 那么 17125 BDEABDABEADEABDAFBE SSSSSS 2 cm 11 33 所以 1 2 5 2 OBEBDE SS 2 cm 例例 12 如下图 六边形如下图 六边形中 中 且有 且有平平ABCDEFABED AFCD BCEF AB 行于行于 平行于平行于 平行于平行于 对角线 对角线垂直于垂直于 已知 已知EDAFCDBCEFFDBD 厘米 厘米 厘米 请问六边形厘米 请问六边形的面积是多少平方厘的面积是多少平方厘24FD 18BD ABCDEF 米 米 F E A B D C G F E A B D C 解析 如图 我们将平移使得与重合 将平移使得与BCD CDAFDEF ED 重合 这样 都重合到图中的了 这样就组成了一个长ABEFBCAG 方形 它的面积与原六边形的面积相等 显然长方形的面BGFDBGFD 积为平方厘米 所以六边形的面积为平方厘24 18432 ABCDEF432 米 例例 13 如图 三角形如图 三角形的面积是的面积是 是是的中点 点的中点 点在在上 且上 且ABC1EACDBC 与与交于点交于点 则四边形 则四边形的面积等于的面积等于 1 2BD DC ADBEFDFEC F E D C B A 3 3 3 21 F E D C B A A BC D E FF E D CB A 解析 方法一 连接 根据燕尾定理 CF 1 2 ABF ACF SBD SDC 1 ABF CBF SAE SEC 设份 则份 份 份 1 BDF S 2 DCF S 3 ABF S 3 AEFEFC SS 如图所标 12 33 所以 55 1212 DCEFABC SS 方法二 连接 由题目条件可得到 DE 11 33 ABDABC SS 所以 1121 2233 ADEADCABC SSS 1 1 ABD ADE SBF FES 1111111 22323212 DEFDEBBECABC SSSS 而 所以则四边形的面积等于 211 323 CDEABC SS DFEC 5 12 巩固巩固 如图 长方形如图 长方形的面积是的面积是 平方厘米 平方厘米 是是的中的中ABCD22ECDE FDG 点 阴影部分的面积是多少平方厘米点 阴影部分的面积是多少平方厘米 x y y x A BC D EF G G FE D CB A 33 G F E D CB A 2 1 3 解析 设份 则根据燕尾定理其他面积如图所示 1 DEF S 平方厘米 55 1212 BCD SS 阴影 例例 14 四边形四边形的对角线的对角线与与交于点交于点 如图所示如图所示 如果三角形如果三角形ABCDACBDO 的面积等于三角形的面积等于三角形的面积的的面积的 且 且 那么 那么ABDBCD 1 3 2AO 3DO 的长度是的长度是的长度的的长度的 倍倍 CODO A BC D O H G A BC D O 解析 在本题中 四边形为任意四边形 对于这种 不良四边形 无ABCD 外乎两种处理方法 利用已知条件 向已有模型靠拢 从而快速 解决 通过画辅助线来改造不良四边形 看到题目中给出条件 这可以向模型一蝶形定理靠拢 于是得出一种解 1 3 ABDBCD SS AA 法 又观察题目中给出的已知条件是面积的关系 转化为边的关系 可以得到第二种解法 但是第二种解法需要一个中介来改造这个 不良四边形 于是可以作垂直于 垂直于 面积比AHBDHCGBDG 转化为高之比 再应用结论 三角形高相同 则面积之比等于底边 之比 得出结果 请老师注意比较两种解法 使学生体会到蝶形定 理的优势 从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题 13 33 解法一 1 3 ABDBDC AO OCSS 236OC 6 32 1OC OD 解法二 作于 于 AHBD HCGBD G 1 3 ABDBCD SS 1 3 AHCG 1 3 AODDOC SS 1 3 AOCO 236OC 6 32 1OC OD 巩固巩固 如图 四边形被两条对角线分成如图 四边形被两条对角线分成 4 个三角形 其中三个三角形的个三角形 其中三个三角形的 面积已知 面积已知 求 求 三角形三角形的面积 的面积 BGC AG GC A B C D G 32 1 解析 根据蝶形定理 那么 123 BGC S A 6 BGC S A 根据蝶形定理 12 361 3AG GC 例例 15 如图 平行四边形如图 平行四边形的对角线交于的对角线交于 点 点 ABCDO 的面积依次是的面积依次是 2 4 4 和和 6 求 求 CEF OEF ODF BOE 求求的面积 的面积 求求的面积的面积 OCF GCE O G F E D CB A 解析 根据题意可知 的面积为 那么和的BCD 244616 BCO CDO 面积都是 所以的面积为 1628 OCF 844 由于的面积为 8 的面积为 6 所以的面积为BCO BOE OCE 862 根据蝶形定理 所以 2 41 2 COECOF EG FGSS 1 2 GCEGCF SSEG FG 那么 112 2 1233 GCECEF SS 14 33 例例 16 如图 长方形如图 长方形中 中 三角形 三角形的面积的面积ABCD 2 3BE EC 1 2DF FC DFG 为为 平方厘米 求长方形平方厘米 求长方形的面积 的面积 2ABCD A BC D E F G A BC D E F G 解析 连接 AEFE 因为 所以 2 3BE EC 1 2DF FC 3111 53210 DEFABCDABCD SSS A长方形长方形 因为 所以平方 1 2 AEDABCD SS A长方形 11 5 1 2 10 AG GF 510 AGDGDF SS AA 厘米 所以平方厘米 因为 所以长方形 12 AFD S A 1 6 AFDABCD SS A长方形 的面积是平方厘米 ABCD72 例例 17 如图 正方形如图 正方形面积为面积为 平方厘米 平方厘米 是是边上的中点 求图中边上的中点 求图中ABCD3MAD 阴影部分的面积 阴影部分的面积 G M D C B A 解析 因为是边上的中点 所以 根据梯形蝶形定理可以MAD 1 2AM BC 知道 设份 则 22 1 1 2 1 2 21 2 2 4 AMGABGMCGBCG SSSS 1 AGM S 份 所以正方形的面积为份 123 MCD S 1224312 份 所以 所以平方厘米 224S 阴影 1 3SS 阴影正方形 1S 阴影 巩固巩固 在下图的正方形在下图的正方形中 中 是是边的中点 边的中点 与与相交于相交于点 点 ABCDEBCAEBDF 三角形三角形的面积为的面积为 1 平方厘米 那么正方形平方厘米 那么正方形面积是面积是 BEFABCD 平方厘米 平方厘米 15 33 A BC D E F 解析 连接 根据题意可知 根据蝶形定理得DE 1 2BE AD 平方厘米 平方厘米 那么 2 129S 梯形 3 ECD S 平方厘米 12 ABCD S A 例例 18 已知已知是平行四边形 是平行四边形 三角形 三角形的面积为的面积为 6 平方平方ABCD 3 2BC CE ODE 厘米 则阴影部分的面积是厘米 则阴影部分的面积是 平方厘米 平方厘米 O E A BC D O E A BC D 解析 连接 AC 由于是平行四边形 所以 ABCD 3 2BC CE 2 3CE AD 根据梯形蝶形定理 22 2 23 23 34 6 6 9 COEAOCDOEAOD SSSS AAAA 所以 平方厘米 平方厘米 又6 AOC S A 9 AOD S A 平方厘米 阴影部分面积为 平方厘米 6915 ABCACD SS AA 61521 巩固巩固 右图中右图中是梯形 是梯形 是平行四边形 已知三角形面积如图所是平行四边形 已知三角形面积如图所ABCDABED 示示 单位 平方厘米单位 平方厘米 阴影部分的面积是 阴影部分的面积是 平方厘米 平方厘米 21 A BC D E 9 4 21 A BC D E O 9 4 16 33 分析 连接 由于与是平行的 所以也是梯形 那么AEADBCAECD OCDOAE SS 根据蝶形定理 故 4936 OCDOAEOCEOAD SSSS 2 36 OCD S 所以 平方厘米 6 OCD S 巩固巩固 右图中右图中是梯形 是梯形 是平行四边形 已知三角形面积如图所是平行四边形 已知三角形面积如图所ABCDABED 示示 单位 平方厘米单位 平方厘米 阴影部分的面积是 阴影部分的面积是 平方厘米 平方厘米 16 8 2 A BC D E O 16 8 2 A BC D E 解析 连接 由于与是平行的 所以也是梯形 那么AEADBCAECD OCDOAE SS 根据蝶形定理 故 2816 OCDOAEOCEOAD SSSS 所以 平方厘米 2 16 OCD S 4 OCD S 另解 在平行四边形中 平方厘米 ABED 11 16812 22 ADEABED SS A 所以 平方厘米 1284 AOEADEAOD SSS 根据蝶形定理 阴影部分的面积为 平方厘米 8244 例例 19 如图 长方形如图 长方形被被 分成四块 已知其中分成四块 已知其中 3 块的面积分别块的面积分别ABCDCEDF 为为 2 5 8 平方厘米 那么余下的四边形平方厘米 那么余下的四边形的面积为的面积为OFBC 平方厘米 平方厘米 8 5 2 O AB CD EF 8 5 2 O AB CD EF 解析 连接 四边形为梯形 所以 又根据蝶形定DECFEDCF EODFOC SS A 理 所以 所以 EODFOCEOFCOD SSSS 2 816 EODFOCEOFCOD SSSS 17 33 平方厘米 平方厘米 那么长方形的面4 EOD S 4812 ECD S ABCD 积为平方厘米 四边形的面积为 平方厘米 12224 OFBC245289 例例 20 如图 如图 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 是正方形 线段是正方形 线段与与相交相交ABC DEFGABCD 于于点 已知正方形点 已知正方形的面积的面积 48 则 则的面积是的面积是KDEFG 1 3AK KB BKD 多少 多少 K G FE D CB A M K G FE D CB A 解析 由于是正方形 所以与平行 那么四边形是梯DEFGDABCADBC 形 在梯形中 和的面积是相等的 而 ADBCBDK ACK 1 3AK KB 所以的面积是面积的 那么的面积也是ACK ABC 11 134 BDK 面积的 ABC 1 4 由于是等腰直角三角形 如果过 作的垂线 为垂足 那ABC ABCM 么是的中点 而且 可见和的面积都等于正MBCAMDE ABM ACM 方形面积的一半 所以的面积与正方形的面积相等 DEFGABC DEFG 为 48 那么的面积为 BDK 1 4812 4 例例 21 下图中 四边形下图中 四边形都是边长为都是边长为 1 的正方形 的正方形 分别分别ABCDEFGH 是是 的中点 如果左图中阴影部分与右图中阴影部的中点 如果左图中阴影部分与右图中阴影部ABBCCDDA 分的面积之比是最简分数分的面积之比是最简分数 那么 那么 的值等于的值等于 m n mn A BC D E F G H H G F E D CB A 解析 左 右两个图中的阴影部分都是不规则图形 不方便直接求面积 观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求 所以可以先求出空 白部分的面积 再求阴影部分的面积 如下图所示 在左图中连接 设与的交点为 EGAGDEM 18 33 左图中为长方形 可知的面积为长方形面积的 所AEGDAMD AEGD 1 4 以三角形的面积为 又左图中四个空白三角形的面积AMD 2 111 1 248 是相等的 所以左图中阴影部分的面积为 11 14 82 M A BC D E F G H N H G F E D CB A 如上图所示 在右图中连接 设 的交点为 ACEFAFECN 可知 且 那么三角形的面积为三角形面积的EFAC2ACEF BEFABC 所以三角形 的面积为 梯形的面积 1 4 BEF 2 111 1 248 AEFC 为 113 288 在梯形中 由于 根据梯形蝶形定理 其四部分的面AEFC 1 2EF AC 积比为 所以三角形的面积为 22 1 1 2 1 2 21 2 2 4 EFN 那么四边形的面积为 而右图中四个 311 8122424 BENF 111 8246 空白四边形的面积是相等的 所以右图中阴影部分的面积为 11 14 63 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 1 1 3 2 2 3 即 3 2 m n 那么 325mn 例例 22 如图 如图 中 中 互相平行 互相平行 ABC DEFGBCADDFFB 则则 ADEDEGFFGCB SSS 四边形四边形 19 33 E GF A D C B 解析 设份 根据面积比等于相似比的平方 1 ADE S 所以 22 1 4 ADEAFG SSADAF 22 1 9 ADEABC SSADAB 因此份 份 4 AFG S 9 ABC S 进而有份 份 所以3 DEGF S 四边形 5 FGCB S 四边形 1 3 5 ADEDEGFFGCB SSS 四边形四边形 巩固巩固 如图 如图 平行平行 且 且 求 求的长 的长 DEBC2AD 5AB 4AE AC A E D C B 解析 由金字塔模型得 所以 2 5AD ABAE ACDE BC 42510AC 巩固巩固 如图 如图 中 中 ABC DEFGMNPQ 互相平行 互相平行 BC 则 则ADDFFMMPPB ADEDEGFFGNMMNQPPQCB SSSSS 四边形四边形四边形四边形 解析 设份 因 1 ADE S 22 1 4 ADEAFG SSADAF 此份 进而有份 同理有 4 AFG S 3 DEGF S 四边形 份 份 5 FGNM S 四边形 7 MNQP S 四边形 份 9 PQCB S 四边形 所以有 1 3 5 7 9 ADEDEGFFGNMMNQPPQCB SSSSS 四边形四边形四边形四边形 例例 23 如图 已知正方形如图 已知正方形的边长为的边长为 是是边的中点 边的中点 是是边上边上ABCD4FBCEDC 的点 且的点 且 与与相交于点相交于点 求 求 1 3DE EC AFBEG ABG S Q E G NM F P A D C B 20 33 G F A E D C B M G F A E D C B G F A E D C B 解析 方法一 连接 延长 两条线交于点 构造出两个沙漏 AEAFDCM 所以有 因此 根据题意有 再根据另 1 1AB CMBF FC 4CM 3CE 一个沙漏有 所以 4 7GB GEAB EM 4432 442 471111 ABGABE SS 方法二 连接 分别求 AE EF4224 ABF S 根据蝶形定理444 1232247 AEF S 所以 4 7 ABFAEF SSBG GE 4432 442 471111 ABGABE SS 例例 24 如图所示 已知平行四边形如图所示 已知平行四边形的面积是的面积是 1 是是 的中的中ABCDEFABAD 点 点 交交于于 求 求的面积 的面积 BFECMBMG M H G F E D CB A I A BC D E F G H M 解析 解法一 由题意可得 是 的中点 得 而EFABAD EFBD 1 2FD BCFH HC 所以 1 2EB CDBG GD 2 3CH CFGH EF 并得 是的三等分点 所以 所以GHBDBGGH 所以 2 3BG EFBM MF 2 5 BMBF 1111 2224 BFDABDABCD SSS A 又因为 所以 1 3 BGBD 121211 3535430 BMGBFD SS 21 33 解法二 延长交于 如右图 CEDAI 可得 从而可以确定的点的位置 1 1AI BCAE EB M 鸟头定理 2 3BM MFBC IF 2 5 BMBF 1 3 BGBD 可得 212111 5353430 BMGBDFABCD SSS A 例例 25 如图 如图 为正方形 为正方形 且且 请问四边 请问四边ABCD1cmAMNBDEFC 2 cmMN 形形的面积为多少 的面积为多少 PQRS S R B C D A E Q NM F P S R B C D A E Q NM F P 解析 法 由 有 所以 又 所以1 ABCD MPPC MNDC 2PCPM MQMB QCEC 所以 所以占的 1 2 MQQCMC 111 236 PQMCMCMC SPQR S AMCF S 1 6 所以 12 1 1 12 63 SPQR S 2 cm 法 如图 连结 则 2AE 1 448 2 ABE S 2 cm 而 所以 RBER ABEF 2 RBAB EFEF 2216 8 333 ABRABE SS 2 cm 而 因为 11 343 22 MBQANS SS 2 cm MNMP DCPC 所以 则 阴影部分面积等于 1 3 MPMC 114 24 233 MNP S 2 cm 1642 33 333 ABRANSMBQMNP SSSS 2 cm 例例 26 如右图 三角形如右图 三角形中 中 求 求 ABC 4 9BD DC 4 3CE EA AF FB OF E D CB A 解析 根据燕尾定理得 4 912 27 AOBAOC SSBD CD 3 412 16 AOBBOC SSAE CE 22 33 都有的面积要统一 所以找最小公倍数 AOB 所以 27 16 AOCBOC SSAF FB 点评 本题关键是把的面积统一 这种找最小公倍数的方法 在我AOB 们用比例解题中屡见不鲜 如果能掌握它的转化本质 我们就能 达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量 巩固巩固 如右图 三角形如右图 三角形中 中 求 求 ABC 3 4BD DC 5 6AE CE AF FB OF E D CB A 解析 根据燕尾定理得 3 415 20 AOBAOC SSBD CD 5 615 18 AOBBOC SSAE CE 都有的面积要统一 所以找最小公倍数 AOB 所以 20 1810 9 AOCBOC SSAF FB 巩固巩固 如右图 三角形如右图 三角形中 中 求 求 ABC 2 3BD DC 5 4EA CE AF FB OF E D CB A 解析 根据燕尾定理得 2 310 15 AOBAOC SSBD CD 5 410 8 AOBBOC SSAE CE 都有的面积要统一 所以找最小公倍数 AOB 所以 15 8 AOCBOC SSAF FB 点评 本题关键是把的面积统一 这种找最小公倍数的方法 在我AOB 们用比例解题中屡见不鲜 如果能掌握它的转化本质 我们就能 达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量 例例 27 如右图 三角形如右图 三角形中 中 且三角形 且三角形ABC 3 2AF FBBD DCCE AE 的面积是的面积是 则三角形 则三角形的面积为的面积为 三角形 三角形的面积的面积ABC1ABEAGE 为为 三角形 三角形的面积为的面积为 GHI 23 33 I H G F E D CB A I H G F E D CB A 分析 连接 AHBICG 由于 所以 故 3 2CE AE 2 5 AEAC 22 55 ABEABC SS 根据燕尾定理 所以 2 3 ACGABG SSCD BD 3 2 BCGABG SSCE EA 则 4 6 9 ACGABGBCG SSS 4 19 ACG S 9 19 BCG S 那么 2248 551995 AGEAGC SS 同样分析可得 则 9 19 ACH S 4 9 ACGACH EG EHSS 所以 同样分析可得 4 19 ACGACB EG EBSS 4 5 10EG GH HB 10 5 4AG GI ID 所以 5521 101055 BIEBAE SS 5511 1919519 GHIBIE SS 巩固巩固 如右图 三角形如右图 三角形中 中 且三角形 且三角形ABC 3 2AF FBBD DCCE AE 的面积是的面积是 求三角形 求三角形的面积 的面积 GHI1ABC I H G F E DC B A I H G F E DC B A 解析 连接BG 份 AGC S 6 根据燕尾定理 3 26 4 AGCBGC SSAF FB 3 29 6 ABGAGC SSBD DC 得 份 份 则 份 因此 4 BGC S 9 ABG S 19 ABC S 6 19 AGC ABC S S 同理连接AI CH得 所以 6 19 ABH ABC S S 6 19 BIC ABC S S 196661 1919 GHI ABC S S 三角形GHI的面积是 1 所以三角形ABC的面积是 19 巩固巩固 如图 如图 中中 那么 那么的面积是阴的面积是阴ABC 2BDDA 2CEEB 2AFFC ABC 影三角形面积的影三角形面积的 倍 倍 24 33 A B C D E F G H I I H G F E D C B A 分析 如图 连接 AI 根据燕尾定理 2 1 BCIACI SSBD AD 1 2 BCIABI SSCF AF 所以 那么 1 2 4 ACIBCIABI SSS 22 1247 BCIABCABC SSS 同理可知和的面积也都等于面积的 所以阴影三角ACG ABH ABC 2 7 形的面积等于面积的 所以的面积是阴影三角形ABC 21 13 77 ABC 面积的 7 倍 巩固巩固 如图在如图在中 中 求求的值 的值 ABC 1 2 DCEAFB DBECFA GHI ABC 的面积 的面积 I H G F E D C B A I H G F E D C B A 解析 连接BG 设1 份 根据燕尾定理 BGC S 2 1 AGCBGC SSAF FB 得 份 份 则 份 2 1 ABGAGC SSBD DC 2 AGC S 4 ABG S 7 ABC S 因此 同理连接AI CH得 所以 2 7 AGC ABC S S 2 7 ABH ABC S S 2 7 BIC ABC S S 72221 77 GHI ABC S S 点评点评 如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的 那么在同样的位 置上的图形 虽然形状千变万化 但面积是相等的 这在这讲里 面很多题目都是用 同理得到 的 即再重复一次解题思路 因 此我们有对称法作辅助线 例例 28 如图 三角形如图 三角形的面积是的面积是 三角形 三角形ABC1BDDEEC CFFGGA 被分成被分成 部分 请写出这部分 请写出这 部分的面积各是多少部分的面积各是多少 ABC99 25 33 G F EDC B A N M Q P G F E D C B A 解析 设BG与AD交于点P BG与AE交于点Q BF与AD交于点M BF与 AE交于点N 连接CP CQ CM CN 根据燕尾定理 设 1 2 ABPCBP SSAG GC 1 2 ABPACP SSBD CD 份 则 份 所以1 ABP S 1225 ABC S 1 5 ABP S 同理可得 而 所以 2 7 ABQ S 1 2 ABN S 1 3 ABG S 213 7535 APQ S 121 3721 AQG S 同理 所以 3 35 BPM S 1 21 BDM S 1239 273570 PQMN S 四边形 1395 3357042 MNED S 四边形 1151 321426 NFCE S 四边形 1115 321642 GFNQ S 四边形 巩固巩固 如图 如图 的面积为的面积为 1 点 点 是是边的三等分点 点边的三等分点 点 是是ABC DEBCFG 边的三等分点 那么四边形边的三等分点 那么四边形的面积是多少 的面积是多少 ACJKIH K J I H AB C D E F G K J I H AB C D E F G 解析 连接 CKCICJ 根据燕尾定理 1 2 ACKABK SSCD BD 1 2 ABKCBK SSAG CG 所以 那么 1 2 4 ACKABKCBK SSS 11 1247 ACK S 11 321 AGKACK SS 类似分析可得 2 15 AGI S 又 可得 2 1 ABJCBJ SSAF CF 2 1 ABJACJ SSBD CD 1 4 ACJ S 那么 1117 42184 CGKJ S 根据对称性 可知四边形的面积也为 那么四边形周围CEHJ 17 84 JKIH 26 33 的图形的面积之和为 所以四边形 172161 22 8415370 CGKJAGIABE SSS 的面积为 JKIH 619 1 7070 例例 29 右图 右图 中 中 是是的中点 的中点 是是边上的四等分点 边上的四等分点 ABC GACDEFBC 与与交于交于 与与交于交于 已知 已知的面积比四边形的面积比四边形ADBGMAFBGNABM 的面积大的面积大平方厘米平方厘米 则则的面积是多少平方厘米 的面积是多少平方厘米 FCGN7 2ABC N M G A B CDEF N M G A B CDEF 解析 连接 CMCN 根据燕尾定理 所 1 1 ABMCBM SSAG GC 1 3 ABMACM SSBD CD 以 1 5 ABMABC SS 再根据燕尾定理 所以 1 1 ABNCBN SSAG GC 所以 那么 4 3 ABNFBNCBNFBN SSSS 4 3AN NF 142 2437 ANG AFC S S 所以 2515 1 77428 FCGNAFCABCABC SSSS 根据题意 有 可得 平方厘米 15 7 2 528 ABCABC SS 336 ABC S 例例 30 如图 面积为如图 面积为 l l 的三角形的三角形ABCABC中 中 D D E E F F G G H H I I分别是分别是 ABAB BCBC CACA 的三等分点的三等分点 求阴影部分面积求阴影部分面积 I G H F E D CB A I N M Q P G H F E D CB A 解析 三角形在开会 那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理 吧 令BI与CD的交点为M AF与CD的交点为N BI与AF的交点为 P BI与CE的交点为Q 连接AM BN CP 求 在中 根据燕尾定理 ADMI S四边形ABC 1 2 ABMCBM SSAI CI 1 2 ACMCBM SSAD BD 27 33 设 份 则 份 份 份 1 ABM S 2 CBM S 1 ACM S 4 ABC S 所以 所以 1 4 ABMACMABC SSS 11 312 ADMABMABC SSS 1 12 AIMABC SS 所以 111 12126 ABCABCADMI SSS 四边形 同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的ABC 1 6 求 在中 根据燕尾定理 DNPQE S五边形ABC 1 2 ABNACN SSBF CF 1 2 ACNBCN SSAD BD 所以