数学实验报告

数学实验报告 3 13 级自动化 2 班 侯刚 1 重重 庆庆 大大 学学 学学 生生 实实 验验 报报 告告 实验课程名称实验课程名称 数学实验数学实验 开课实验室开课实验室 DS1407 学学 院院 自动化自动化 年级年级 2013 专业班专业班 自动化自动化 02 班班 学学 生生 姓姓 名名 侯刚侯刚 学学 号号 开开 课课 时时 间间 2014 至至 2015 学年第学年第 二二 学期学期 总总 成成 绩绩 教师签名教师签名 数数 学学 与与 统统 计计 学学 院院 制制 数学实验报告 3 13 级自动化 2 班 侯刚 2 数学实验报告 3 13 级自动化 2 班 侯刚 3 开课学院 实验室 开课学院 实验室 数统学院 DS1407 实验时间实验时间 2014 年年 4 月月 3 日日 实验项目类型实验项目类型 课程课程 名称名称 数学实验数学实验 实验项目实验项目 名名 称称 种群数量的状态转移种群数量的状态转移 微分方程微分方程 验证验证演示演示综合综合设计设计其他其他 指导指导 教师教师 龚劬龚劬 成成 绩绩 实验目的 1 归纳和学习求解常微分方程 组 的基本原理和方法 2 掌握解析 数值解法 并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析 3 熟悉 MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令 4 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程 基础实验 一 实验内容 1 微分方程及方程组的解析求解法 2 微分方程及方程组的数值求解法 欧拉 欧拉改进算法 3 直接使用 MATLAB 命令对微分方程 组 进行求解 包括解析解 数值解 4 利用图形对解的特征作定性分析 5 建立微分方程方面的数学模型 并了解建立数学模型的全过程 二 实验过程 1 求微分方程的解析解 并画出它们的图形 y y 2x y 0 1 0 x x 0 0 1 1 y2 2 x 2 3 exp x plot x y2 输出 图表 1 方程特解图形 数学实验报告 3 13 级自动化 2 班 侯刚 4 分析 注意 dsolve 的用法 2 用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y y 2x y y 0 1 0 x 1 h 0 1 的数 值解 要求编写程序 并比较两种方法的计算结果 说明了什么问题 1 求解析解 输入 dsolve Dy y 2 x y y 0 1 x 输出 ans 2 x 1 1 2 2 用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程的数值解并与解析解作图比较 程序 x1 1 0 y1 1 1 y2 1 1 h 0 1 for k 1 10 x1 k 1 x1 k h y1 k 1 y1 k h y1 k 2 x1 k y1 k k1 y2 k 2 x1 k y2 k k2 y2 k h k1 2 x1 k 1 y2 k h k1 y2 k 1 y2 k h k1 k2 2 end x1 y1 y2 x 0 0 1 1 y 2 x 1 1 2 plot x y x y1 o x y2 结果 x1 0 0 1000 0 2000 0 3000 0 4000 0 5000 0 6000 0 7000 0 8000 0 9000 1 0000 y1 1 0000 1 1000 1 1918 1 2774 1 3582 1 4351 1 5090 1 5803 1 6498 1 7178 1 7848 y2 1 0000 1 0959 1 1841 1 2662 1 3434 1 4164 1 4860 1 5525 1 6165 1 6782 1 7379 图表 2 向前欧拉公式和改进的欧拉公式所求方程数值解与解析解的比较 由图可得 改进后的欧拉公式求得的数值解更贴合解析解 分析 注意向前欧拉与改进后的欧拉公式的不同 数学实验报告 3 13 级自动化 2 班 侯刚 5 3 Rossler 微分方程组 当固定参数 b 2 c 4 时 试讨论随参数a由小到大变化 如a 0 0 65 而方程解的变化情况 程序 rossler m function xdot rossler t x xdot 0 1 1 1 0 1 0 x 3 0 4 x 0 0 2 fangchengzu m x0 0 0 0 1 t x ode45 rossler 0 10 x0 plot t x 1 t x 2 t x 3 pause plot3 x 1 x 2 x 3 grid on 结果 a 0 1 时 a 0 25 时 cxzbz ayxy zyx 数学实验报告 3 13 级自动化 2 班 侯刚 6 a 0 5 时 a 0 6 时 上述图形表示了 a 由小到大变化时方程解的变化 分析 注意 xdot 的书写以及 ode45 的运用 4 Apollo 卫星的运动轨迹的绘制 程序 apollo m function yp apollo t x u 1 82 45 u1 1 u r1 sqrt x 1 u 2 x 3 2 11 33 12 1 33 12 1 2222 121 2 2 1 82 45 1 0 1 2 0 0 0 0 0 1 04935751 xx xyx rr yy yxy rr rxyrxy xxyy 数学实验报告 3 13 级自动化 2 班 侯刚 7 r2 sqrt x 1 u1 2 x 3 2 yp x 2 2 x 4 x 1 u1 x 1 u r1 3 u x 1 u1 r2 3 x 4 2 x 2 x 3 u1 x 3 r1 3 u x 3 r2 3 weixing m x0 1 2 0 0 1 t x ode45 apollo 0 20 x0 plot x 1 x 3 xlabel x ylabel y title Apollo卫星运动轨迹 结果 图表 3 apollo 卫星轨迹图 分析 注意求数值解时 高阶微分方程必须等价的变为一阶微分方程组 应用实验 或综合实验 一 实验内容 盐水的混合问题盐水的混合问题 一个圆柱形的容器 内装 350 升的均匀混合的盐水溶液 如果纯水以每秒 14 升的速度从容器顶部 流入 同时 容器内的混合的盐水以每秒 10 5 升的速度从容器底部流出 开始时 容器内盐的含量为 7 千克 求经过时间t后容器内盐的含量 二 问题分析 1 已知 水的密度为 1kg L 盐溶解度为 36g 可计算出 7kg 盐所需要的溶剂为 194L 水 因此 由混合液体积即可知开始时刻的 7kg 盐是完全溶于水中的 并且没有饱和 所以 整个过程为食盐水被 再次稀释的过程 则不会出现有盐析出现象 2 由于容器的容积相对于单位时间内水的体积变化来说很大 所以可以忽略溶质盐在在不同浓度的 水内扩散至均匀的时间 根据在每个微小的时间段内 减少的盐加上容器内剩余的盐等于开始的盐量建立方程 三 数学模型的建立与求解 一般应包括模型 求解步骤或思路 程序放在后面的附录中 数学实验报告 3 13 级自动化 2 班 侯刚 8 假设 1 温度对盐在水中的溶解度变化影响不大 2 任意时刻容器内混合的 流出的盐水都均匀 3 水流入及盐水流出的速度均为匀速 设注水时间为 t t 时刻时容器内含盐量为 P t 容器内混合盐水的体积为 V t 纯水流入容器的 速度为 v1 混合液流出的速度为 v2 可列出方程组 P t t P t P t v2 t V t V t V t0 v1 v2 t V t0 350 P 0 7 v1 14 v2 10 5 方程可化为 dP dt 10 5 P t 350 3 5 t P 0 7 用 MATLAB 求解该方程并作图 四 实验结果及分析 求得方程的解析解为 P t t 100 3 曲线图像为 图表 4 经过时间t后容器内盐的含量 五 附录 程序等 y dsolve Dy 14 y 350 3 5 t y 0 7 t ezplot t 100 3 0 1