第10讲：数列巩固练习1

1 数列巩固练习数列巩固练习 复习要点 复习要点 1 等差与等比数列的定义与公式 等差与等比数列的定义与公式 2 数列和通项公式及求和公式的应用 数列和通项公式及求和公式的应用 3 数列的递推公式及应用 数列的递推公式及应用 4 数学归纳法与不完全归法的联系及应用 数学归纳法与不完全归法的联系及应用 5 数列极限的应用 数列极限的应用 6 掌握用函数的观点处理数列问题 掌握用函数的观点处理数列问题 一 填空题 1 在等差数列中 若则 n a 120 1210864 aaaaa 1210 2aa 解 由已知可得 由 又 120355 1 da247 1 da2472 11210 daaa 2 据某校环保小组调查 某区垃圾量的年增长率为 b 2003 年产生的垃圾量为 a 吨 由此预测 该 区下一年的垃圾量为 吨 2008 年的垃圾量为 吨 解 由等比数列的通项公式 得下一年的垃圾量为2008 年的垃圾量为 1 ba 5 1 ab 3 已知数列 且数列的前 n 项和那么 n 的值 n a 1 1 Nn nn an n a 9 n S 为 解 则nn nn an 1 1 1 99911 nnSn 4 一个等差数列前 n 项和为 48 前 2n 项的和为 60 则它的前 3n 项的和为 解 又成等差数列 则 2 48 60 nn SS nnnnn SSSSS 232 366048122 33 nn SS 5 已知命题 若数列为等差数列 且则 n a Nnmnmbaaa nm nm a 现已知数列为等比数列 且 mn manb 0 Nnbb nn nmbbab nm 若类比上述结论 则可得到 Nnm nm b 解 为等比数列 为等差数列 则由 得 n b lg n b mn manb a nm lg lg lg lg 11 mn m n nm mn m n nm a b b a b mn manb b 6 已知等差数列的公差 d4 时 f n 解 1 1 4 4 5 3 3 4 2 3 nnfnffffff 故 1 43 3 nfnf 2 1 2 1 32 nn nnf 令知 4 n 5 4 f 12 已知 n 次多项式如果在一种算法中 计算 1 1 1nn nn on axaxaxaxP 的值需要 k 1 次乘法 计算的值共需要 9 次运算 6 次乘法 3 次加 4 3 2 nkxk o 03 xP 法 那么计算的值共需要 次运算 on xP 下面给出一种减少运算次数的算法 利用该算法 计算的值共需 12 1 0 11000 nkaxxPxPaxP kkk 03 xP 要 次运算 解 计算的值需要 k 次运算 乘法 故计算需要 k okn xa on xP 次运算 3 2 1 12 1 nnnnn 由知计算比计算要多两次运算 又 kkk axPxxP 0001 01 xPk 0 xPk 也是两次运算 故计算的值需要 2n 次运算 000001 axPxxP on xP 二 选择题 13 已知数列 那么 对任意的 点都在直线 y 2x 1 上 是 为等差 n aNn nn anP n a 数列 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 解 若点都在直线 y 2x 1 上 则 有 所以为等 nn anP12 nan2 1 nn aa n a 差数列 但为等差数列推不出 选取 B n a12 nan 4 14 已知 f x 为偶函数 且 f 2 x f 2 x 当时 若 02 x x xf2 Nn nfan 则 2006 a A 2006 B 4 C D 4 4 1 解 由 f x 为偶函数 且 f 2 x f 2 x 则 4 xfxfxfxf 则的最小正周期为 4 有 4 xfxf xf 4 1 2 2 2250142006 aaa 选取 C 15 已知方程的四个根组成一个首项为的等比数列 则0 2 2 22 nxxmxx 2 1 nm A 1 B C D 2 3 2 5 2 9 解 设方程的四个根为 不妨设 432 2 1 xxx 则2 2 2 1 2 1 323244 xxnxxxmx2 2 1 4 2 9 4 3 4 qqmx 选取 B 2 3 3 2 9 3 2 1 32 nmnxx 16 某种细胞开始时有 2 个 一小时后分裂成 4 个并死去了 1 个 两小时后分裂成 6 个并死去 了 1 个 三小时后分裂成 10 个并死去了 1 个 按照这种规律进行下去 100 小时后细胞的 存活数是 个 A B C D 12100 12100 1299 1299 解 由题意得 选取 B 12 1 2112 2 110 n nnnnn aaaaaa 三 解答题 17 若是公差不为 0 的等差数列的前 n 项和 且成等比数列 n S n a 421 SSS 1 求数列的公比 421 SSS 解 设数列的公差为 d n a 由题意得 41 2 2 SSS 所以 64 2 11 2 1 daada 因为所以 故公比 0 d 1 2ad 4 1 2 S S q 2 若求的通项公式 4 2 S n a 5 解 因为 422 2 4 111212 aaaSadS 所以 2 1 1 da 因此 1 2 1 1 ndnaan 18 2007 年高考题 已知数列 满足 且 n a n b 1 2a 1 1b 11 11 31 1 44 13 1 44 nnn nnn aab bab 2n I 令 求数列的通项公式 nnn cab n c II 求数列的通项公式及前项和公式 n an n S 解 解 由题设得 即 11 2 2 nnnn ababn 1 2 nn cc 2n 易知是首项为 公差为 的等差数列 通项公式为 n c 11 3ab 21 n cn II 解 由题设得 令 则 11 1 2 2 nnnn ababn nnn dab 1 1 2 2 nn ddn 易知是首项为 公比为的等比数列 通项公式为 n d 11 1ab 1 2 1 1 2 n n d 由解得 1 21 1 2 nn nn n abn ab 11 22 n n an 求和得 2 1 1 22 n n n Sn 19 设数列的前 n 项和为 点均在函数 y 3x 2 的图象上 n a n S Nn n S n n 6 1 求数列的通项公式 n a 解 依题意得 即 23 n n Sn 23 2 nnSn 当时 2 n 56 1 2 1 3 23 22 1 nnnnnSSa nnn 当 n 1 时 5 1611213 2 11 Sa 所以 56Nnnan 2 设是数列的前 n 项和 求使得对所有都成立的最小 n nn n T aa b 3 1 n b 20 m Tn Nn 正整数 m 解 由 1 得 16 1 56 1 2 1 5 1 6 56 33 1 nnnnaa b nn n 故 16 1 1 2 1 16 1 56 1 13 1 7 1 7 1 1 2 1 1 1 nnn bT n i n 因此 使得成立的 m 必须且仅须满足即故满 20 16 1 1 2 1 Nn m n 202 1m 10 m 足要求的最小整数 m 为 10 20 2007 年高考题 已知是等差数列 是公比为的等比数列 n a n bq 11 ab 记为数列的前项和 221 aba n S n bn 1 若 是大于的正整数 求证 km ba mk 2 11 1 k Sma 2 若 是某个正整数 求证 是整数 3i ba iq 3 是否存在这样的正数 使等比数列中有三项成等差数列 若存在 写出一个q n b 的值 并加以说明 若不存在 请说明理由 q 解 1 设等差数列的公差为 则由题设得 且 d 11 ada q 1 1 da q 1q 由得 所以 km ba 1 11 1 k bqamd 1 1 1 1 k b qmd 1 11 11 1 1 1 1 1 111 k k b qma qmd Sma qqq 7 故等式成立 2 证明为整数 q 由得 即 3i ba 2 11 1 bqaid 2 111 1 1 a qaia q 移项得 11 1 1 1 1 a qqa iq 因 得 故为整数 11 0ab 1q 2qi q 3 取 51 2 q 21 bbq 3 41 bbq 3 3 141112 51 1 1 51 2 2 bbbqbbb 所以 成等差数列 1 b 2 b 4 b 21 已知点在函数的图象上 其中 n 1 2 3 2 1 a 1 nn a a xxxf2 2 1 证明数列是等比数列 1lg n a 解 由已知 2 2 1nnn aaa 1 1 2 1 1 1 2 1 nnn aaaa 两边取对数得 1lg 2 1lg 1nn aa 即 2 1lg 1lg 1 n n a a 是公比为 2 的等比数列 1lg n a 2 设求及数列的通项 1 1 1 21nn aaaT n T n a 解 由 1 知 33 3333 1 1 1 31 3lg3lg2 1lg 2 1lg 122221 2222 21 2 21 1 1 12 1210 1 1 nn n n n nn n nn n aaaT a aa 由 式得 1 2 31 n n a 22 等差数列的前项和为 n an 13 1293 2 n SaS 8 求数列的通项与前项和 n a n an n S 设 求证 数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列 n n S bn n N n b 解 由已知得 1 1 21 3393 2 a ad 2d 故 212 2 nn anSn n 由 得 2 n n S bn n 假设数列中存在三项 互不相等 成等比数列 则 n b pqr bbb pqr 2 qpr bb b 即 2 2 2 2 qpr 2 2 20qprqpr pqr N 2 0 20 qpr qpr 2 2 0 2 pr pr prpr 与矛盾 pr 所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列 n b 自我练习题 1 数列的前项和为 若 则等于 B n an n S 1 1 n a n n 5 S A 1B C D 5 6 1 6 1 30 2 已知数列的前项和 第项满足 则 B n an 2 9 n Snn k58 k a k A 9B 8C 7D 6 3 已知是等差数列 其前 10 项和 n a 10 10a 10 70S 则其公差 D d 2 3 1 3 1 3 2