概率论、概率统计期末考试知识点

知识点知识点 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 本章重点 随机事件的概率计算 本章重点 随机事件的概率计算 1 事件的关系及运算事件的关系及运算 1 AB 或BA 2 和事件和事件 AB 12n AAA 简记为 1 n i i A 3 积事件积事件 AB 12n AAA 简记为 12n A AA 或 1 n i i A 4 互不相容互不相容 若事件 A 和 B 不能同时发生 即AB 5 对立事件对立事件 A 6 差事件差事件 若事件 A 发生且事件 B 不发生 记作AB 或AB 7 德德 摩根 摩根 De Morgan 法则 法则 对任意事件 A 和 B 有 ABAB ABAB 2 古典概率的定义古典概率的定义 古典概型古典概型 A nA P A n 中所含样本点的个数 中所含样本点的个数 几何概率 A P A 的长度 或面积 体积 样本空间的的长度 或面积 体积 3 概率的性质概率的性质 1 0P 2 有限可加性 设 n 个事件 1 2 n A AA 两两互不相容 则有 12 1 n ni i P AAAP A 3 1 P AP A 4 若事件 A B 满足AB 则有 P BAP BP A P AP B 5 1P A 6 加法公式 对于任意两个事件 A B 有 P ABP AP BP AB 对于任意 n 个事件 1 2 n A AA 有 1 1 1111 1 nn n iiijijkn iij nij k ni PAP AP A AP A A AP AA 4 条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式 P AB P A B P B 乘法公式 P ABP A P B AP B P A B 5 随机事件的相互独立性随机事件的相互独立性 事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件一 P ABP A P B 事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件二 P A BP A 对于任意 n 个事件 1 2 n A AA 相互独立性定义如下 对任意一个 2 kn 任意的 1 1 k iin 若事件 1 2 n A AA 总满足 11 kk iiii P AAP AP A 则称事件 1 2 n A AA 相互独立 这里实际上包含了2 1 n n 个等式 6 贝努里概型与二项概率贝努里概型与二项概率 设在每次试验中 随机事件 发生的概率 01 P App 则在 n 次重复独立试 验中 事件 恰发生k次的概率为 1 0 1 kn k n n P kppkn k 7 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式 贝叶斯公式 如果事件 1 2 n A AA 两两互不相容 且 1 n i i A 0 i P A 1 2 in 则 1 1 2 kk kn ii i P A P B A P ABkn P A P B A 第二章第二章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 本章重点 离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算本章重点 离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算 概率论主要研究随机变量的统计规律 也称这个统计规律为随机变量的分布 1 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 1 2 ii pP Xain 分布律律也可用下列表格形式表示 X 12n aaa r P 12n ppp 2 概率函数的性质概率函数的性质 1 0 i p 1 2 in 2 1 1 i i p 3 常用离散型随机变量的分布常用离散型随机变量的分布 1 0 1 分布分布 1 Bp 它的概率函数为 1 1 ii P Xipp 其中 0i 或 1 0 1p 2 二项分布二项分布 B n p 它的概率函数为 1 in i n P Xipp i 其中 0 1 2 in 0 1p 泊松分布泊松分布 P 它的概率函数为 i P Xie i 其中 0 1 2 in 0 4 二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量及联合概率 二维离散型随机变量 X Y 的分布可用下列联合概率函数来表示 1 2 ijij P Xa Ybpi j 其中 0 1 2 1 ijij ij pi jp 5 二维离散型随机变量的边缘概率二维离散型随机变量的边缘概率 设 X Y 为二维离散型随机变量 ij p 为其联合概率 1 2 i j 称概率 1 2 i P Xai 为随机变量X的边缘分布律 记为 i p 并有 1 2 iiij j pP Xap i 称概率 1 2 j P Ybj 为随机变量 Y 的边缘分布率 记为 jp 并有 jp 1 2 jij i P Ybpj 6 随机变量的相互独立性 随机变量的相互独立性 设 X Y 为二维离散型随机变量 X与Y相互独立的充分必要条件为 1 2 ijij pp pi j 对一切 多维随机变量的相互独立性可类似定义 即多维离散型随机变量的独立性有与二维相 应的结论 7 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 设X是一个随机变量 g x 是一个已知函数 Yg X 是随机变量X的函数 它 也是一个随机变量 对离散型随机变量X 下面来求这个新的随机变量Y的分布 设离散型随机变量X的概率函数为 X 12n aaa r P 12n ppp 则随机变量函数 Yg X 的概率函数可由下表求得 Yg X 12 n g ag ag a r P 1 p 2 p n p 但要注意 若 i g a 的值中有相等的 则应把那些相等的值分别合并 同时把对应的概率 i p 相加 第三章第三章 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布 本章重点 一维及二维随机变量的分布及其概率计算本章重点 一维及二维随机变量的分布及其概率计算 边缘分布和独立性计算边缘分布和独立性计算 1 分布函数分布函数 随机变量的分布可以用其分布函数来表示 F xP Xx 2 分布函数 分布函数 F x 的性质的性质 1 0 1 F x 2 0 1 limlim xx F xF x 由已知随机变量X的分布函数 F x 可算得X落在任意区间 a b 内的概率 3 联合分布函数 联合分布函数 二维随机变量 X Y 的联合分布函数 4 联合分布函数的性质 1 0 1F x y 2 0 0lim lim x y F x yF x y 0 1lim lim x x y y F x yF x y 3 121222211211 P xXxyYyF xyF xyF x yF x y 5 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 设随机变量X的分布函数为 F x 如果存在一个非负函数 f x 使得对于任一实数 x 有 x F xf x dx 成立 则称称 X 为连续型随机变量为连续型随机变量 函数 f x 称为连续型随机变量X的概率密度 6 概率密度概率密度 f x 及连续型随机变量的性质及连续型随机变量的性质 0 f x 1f x dx F xf x 4 设X为连续型随机变量 则对任意一个实数 c 0P Xc 5 设 f x 是连续型随机变量X的概率密度 则有 P aXbP aXbP aXbP aXb b a f x dx P aXbF bF a F x yP Xx Yx 7 常用的连续型随机变量的分布常用的连续型随机变量的分布 1 均匀分布均匀分布 R a b 它的概率密度为 1 0 axb f xba 其余 其中 ab 2 指数分布指数分布 E 它的概率密度为 0 0 x ex f x 其余 其中 0 3 正态分布正态分布 2 N 它的概率密度为 2 2 2 1 2 x f xex 其中 0 当 0 1 时 称 0 1 N 为标准正态分布 它的概率密 度为 2 2 1 2 x f xex 标准正态分布的分布函数记作 x 即 2 2 1 2 t x xedt 当出 0 x 时 x 可查表得到 当 0 x 时 x 可由下面性质得到 1 xx 设 2 XN 则有 x F x ba P aXb 二维连续型随机变量及联合概率密度二维连续型随机变量及联合概率密度 对于二维随机变量 X Y 的分布函数 F x y 如果存在一个二元非负函数 f x y 使得对于任意一对实数 x y 有 xy F x yf s t dtds 成立 则 X Y 为二维连续型随机变量 f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密 度 二维连续型随机变量及联合概率密度的性质二维连续型随机变量及联合概率密度的性质 1 0 f x yx y 2 1f x y dxdy 3 在 f x y 的连续点处有 2 F x y f x y x y 4 设 X Y 为二维连续型随机变量 则对平面上任一区域D有 D P X YDf x y dxdy 1 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 X Y 的边缘概率密度的边缘概率密度 设 f x y 为二维连续型随机变量的联合概率密度 则X的边缘概率密度为 X fxf x y dy Y的边缘概率密度为 Y fyf x y dx 11 常用的二维连续型随机变量 1 均匀分布 如果 X Y 在二维平面上某个区域 G 上服从均匀分布 则它的联合概率密度为 1 x y f x yG G 的面积 0 其余 2 二维正态分布 22 1212 N 如果 X Y 的联合概率密度 22 1121 222 2 1121 12 11 exp2 2 1 21 xxyx f x y 则称 X Y 服从二维正态分布 并记为 22 1212 X YN 如果 22 1212 X YN 则 2 11 XN 2 22 YN 即二维正 态分布的边缘分布还是正态分布 12 随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性 XY F x yFx Fyx y 对一切 那么 称随机变量X与Y相互独立 设 X Y 为二维连续型随机变量 则X与Y相互独立的充分必要条件为 XY f x yfx fy 在一切连续点上 如果 22 1212 X YN 那么 X与Y相互独立的充分必要条件是 0 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 本章重点 随机变量的期望 方差的计算本章重点 随机变量的期望 方差的计算 1 数学期望数学期望 设X是离散型的随机变量 其概率函数为 1 2 ii P Xapi 则定义X的数学期望数学期望为 ii i E Xa p 设X为连续型随机变量 其概率密度为 f x 则定义X的数学期望数学期望为 E Xxf x dx 2 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 设X为离散型随机变量 其概率函数 1 2 ii P Xapi 则X的函数 g X 的数学期望为 ii i E g Xg a p 设 X Y 为二维离散型随机变量 其联合概率函数 1 2 ijij P Xa Ybpi j 则 X Y 的函数 g X Y 的数学期望为 ijij ji E g X Yg a bp 3 数学期望的性质数学期望的性质 1 E cc 其中 c 为常数 2 E kXbkE Xb k b为常数 3 E XYE XE Y 4 如果X与相互独立 则 E XYE X E Y 4 方差与标准差方差与标准差 随机变量X的方差定义为 2 D XE XE X 计算方差常用下列公式 22 D XE XE X 当X为离散型随机变量 其概率函数为 1 2 ii P Xapi 则X的方差为 2 ii i D XaE Xp 当X为连续型随机变量 其概率密度为 f x 则X的方差为 2 D XxE xf x dx 随机变量X的标准差定义为方差 D X 的算术平方根 D X 5 方差的性质方差的性质 1 0D c c 是常数 2 2 D kXk D X k为常数 3 如果X与Y独立 则 D XYD XD Y 6 原点矩与中心矩 随机变量X的k阶原点矩定义为 k E X 随机变量X的k阶中心矩定义为 k E XE X 7 常用分布的数字特征常用分布的数字特征 1 当X服从二项分布 B n p 时 1 E XnpD Xnpp 2 当X服从泊松分布 p 时 E XD X 3 当X服从区间 a b 上均匀分布时 2 212 abba E XD X 4 当X服从参数为 的指数分布时 2 11 E XD X 5 当X服从正态分布 2 N 时 2 E XD X 6 当 X Y 服从二维正态分布 22 1212 N 时 2 11 E XD X 2 22 E YD Y 第五章 数理统计的基本概念 本章重点 统计量的概念及其分布 分位数 本章重点 统计量的概念及其分布 分位数 1 常用统计量常用统计量 1 样本均值 2 样本方差和矩统计量 22 1 22 1 1 1 1 n i i n ni i SXX n SXX n 3 2 22 2 1 1 n i i X U n X T Sn nS XX 2 三个重要分布三个重要分布 1 分布 设为独立标准正态变量 称随机变量的分布为自由 度为 n 的分布 记为 称满足 的点为分布的分位点 2 t 分布 设随机变量 X 与 Y 独立 则称 的分布为自由度 n 的 t 分布 记为 称满足 的点为 t 分布的分位点 3 F 分布 设随机变量 U 与 V 相互独立 则称 的分布为自由度的 F 分布 记为 称满足 的点为 F 分布的分位点 且有 3 正态总体的抽样分布正态总体的抽样分布 统计量的分布称为抽样分布 设是来自正态总体的一个简单随机 样本 与分别为样本的均值和样本方差 则有 1 2 2 222 2 1 0 1 1 1 1 n i i X UN n X Tt n Sn nS XXn 第六章 参数估计 1 点估计方法点估计方法 矩估计和最大似然估计是两种常用的点估计法 1 矩估计法矩估计法 用样本的各阶原点矩去估计对应的各阶总体的原点矩 这就是矩估计的基本方法 1212 1 1 1 1 11 11 nn kk kki nn kk kmikmi i k i i ki i V V A XUXX n XUBXX n nn 2 最大似然估计法最大似然估计法 设总体 X 的密度函数 其中为未知参数 已知为总体 X 的样本的观察值 则求的最大似然估计值的步骤如下 写出似然函数 12 1 n ni i Lf x xxf x 似然函数取对数 12 1 ln ln n ni i L x xxf x 3 建立并求似然方程 ln 0 dL d 4 最大似然估计值可以由解对数似然方程得到 2 点估计的优良性评判准则 1 无偏性 设是的一个估计量 若 则称是的一个无偏估计 E 111 22 1 22 1 1 1 11 nnn ii iii n i i n ni i XEXEX nEX EXEEX nnnn ESEXXDX n n ESEXXDX nn 2 有效性 设是的两个无偏估计 则称比有效 12 12 DD 2 1 称在所有的无偏估计中 方差最小的那一个为一致最小方差无偏估计 111 222 nnn ii iii XDXDX nDXDX DXD nnnnn 3 单正态总体下的置信区间单正态总体下的置信区间 设是取自正态总体的一个样本 置信水平为 样本均值 样本方差 1 均值的置信区间 若已知 取 故的双侧置信区间为 0 0 1 X UN n 若未知 取 故的双侧置信区间为 0 1 X Tt n Sn 若未知 取 故的双侧置信区间为 2 22 2 0 1 1 nS n 22 22 21 2 1 1 11 nSnS nn 第七章 假设检验 本章重点 单个正态总体的参数的假设检验 本章重点 单个正态总体的参数的假设检验 1 单正态总体均值和方差的检验单正态总体均值和方差的检验 U 检验检验 T 检验和卡方检验检验和卡方检验 我们以单正态总体均值检验为例 即假定总体 U 检验检验 1 列出问题 即明确原假设和备选假设 先设已知 检验 2 基于的估计 提出检验统计量 0 0 1 X UN n 3 对给定水平 构造水平检验的拒绝域 0 2 X Pu n 2 Uu 其中为标准正态分布的双侧分位点 2 u 4 基于数据 算出的观察值 如则拒绝 否则只能接受 U 0 2 x Uu n 因此检验使用统计量此检验使用统计量 U 称之为 称之为 U 检验 检验 注意注意 单边检验的区别单边检验的区别 H0 0 H1 0 构造水平检验的拒绝域单侧分位数单侧分位数 0 X Pu n Uu H0 0 H1 0 构造水平检验的拒绝域单侧分位数单侧分位数 0 X Pu n Uu T 检验 检验 当未知时 改检验统计量 U 为 T 统计量 1 列出问题 即明确原假设和备选假设 先设未知 检验 2 基于的估计 提出检验统计量 0 1 X Tt n Sn 3 对给定水平 构造水平检验的拒绝域 0 2 1 X Ptn Sn 其中为标准正态分布的双侧分位点 2 1 Ttn 2 t 4 基于数据 算出的观察值 如则拒绝 否则只能接受T 0 2 1 x Ttn Sn 因此检验使用统计量此检验使用统计量 T 称之为 称之为 T 检验 检验 注意注意 单边检验的区别单边检验的区别 H0 0 H1 0 构造水平检验的拒绝域单侧分位数单侧分位数 0 1 X Ptn Sn 1 Ttn H0 0 H1 0 构造水平检验的拒绝域单侧分位数单侧分位数 0 1 X Ptn Sn 1 Ttn 2 检验 检验 当 未知时 单正态总体方差的检验 1 设 未知 2222 0010 HH 2 基于的估计 提出检验统计量 2 22 2 0 1 1 nS n 3 对给定水平 构造水平检验 2222 1 22 1 1 22 PnPn 的拒绝域 2222 212 1 1 nn 或 其中为标准正态分布的双侧分位点 22 122 1 1 nn 4 基于数据 算出的观察值 如则拒绝 否 2 2222 212 1 1 nn 或 则只能接受 因此检验使用统计量此检验使用统计量 2 称之为 称之为 2 检验 检验 第八章 方差分析 检验假设检验假设 找到找到F统计量统计量 012 r H 单因素试验方差分析表单因素试验方差分析表 方差来源方差来源 组间组间 组内组内 总和总和 平方和平方和 A SS E SS T SS 自由度自由度 A df E df T df 均方和均方和 A A A SS MS df E E E SS MS df F 值值 A E MS F MS F 值临介值值临介值 1 Frnr 若接受若接受 H0 说明在统计意义下 因素 说明在统计意义下 因素 A 对实验指标对实验指标 X 的没有显著影响 的没有显著影响 或者说明因素或者说明因素 A 对实验指标造成的差异无统计意义 对实验指标造成的差异无统计意义 若拒绝若拒绝 H0 说明在统计意义下 因素 说明在统计意义下 因素 A 对实验指标对实验指标 X 的有显著影响 的有显著影响 或者说明因素或者说明因素