江苏省2013届高考数学二轮复习 专题十五 附加题23题 苏教版

1 江苏省江苏省 20132013 届高考数学 苏教版 二轮复习专题届高考数学 苏教版 二轮复习专题 1515 附加题附加题 2323 题题 1 江苏高考考试说明中附加题圆锥曲线与方程中抛物线为 B 级要求 2011 年 2012 年高考中均没有考查 预测 2013 年高考中可能会考查 2 江苏高考考试说明附加题中对空间向量与立体几何是 B 级要求 2009 年 2010 年 2012 年高考没有考查 2011 年高考考查空间角的概念 求线段的长 预测 2013 年高考会考 查 典例1 在平面直角坐标系xOy中 抛物线C的顶点在原点 经过点A 2 2 其焦点F在x轴 上 1 求抛物线C的标准方程 2 求过焦点F 且与直线OA垂直的直线的方程 3 设过点M m 0 m 0 的直线交抛物线C于D E两点 ME 2DM 记D和E两点间的距 离为f m 求f m 关于m的表达式 解 1 由题意 可设抛物线C的标准方程为y2 2px 因为点 A 2 2 在抛物线C上 所以p 1 因此 抛物线C的标准方程为y2 2x 2 由 1 可得焦点F的坐标是 又直线OA的斜率为 1 故 1 2 0 2 2 与直线OA垂直的直线的斜率为 1 因此 所求直线的方程是x y 0 1 2 3 法一 设点D和E的坐标分别为 x1 y1 和 x2 y2 直线DE的方程是y k x m k 0 将x m代入y2 2x 有ky2 2y 2km 0 y k 2 解得y1 2 1 1 2mk2 k 由ME 2DM 知 1 2 1 1 2mk21 2mk2 化简得k2 因此 4 m DE2 x1 x2 2 y1 y2 2 y1 y2 2 1 1 k2 m2 4m 1 1 k2 4 1 2mk2 k2 9 4 所以f m m 0 3 2m2 4m 法二 设D E s2 2 s t2 2 t 由点M m 0 及 2得ME DM t2 m 2 t 0 2 0 s 1 2 m s2 2 因此t 2s m s2 所以 f m DE 2s2 s2 2 2 2s s 2 m 0 3 2m2 4m 本小题主要考查直线 抛物线方程及两点间的距离公式等基本知识 考查运算求解能 力 演练1 2012 徐州信息卷 过直线x 2 上的动点P作抛物线y2 4x的两条切线PA PB 其 中A B为切点 1 若切线PA PB的斜率分别为k1 k2 求证 k1k2为定值 2 求证 直线AB恒过定点 证明 1 不妨设A t 2t1 t1 0 B t 2t2 t20 时 y 2 y 所以k1 同理k2 x 1 x 1 t1 1 t2 由k1 得t mt1 2 0 2t1 m t2 1 2 1 t12 1 同理t mt2 2 0 2 2 所以t1 t2是方程t2 mt 2 0 的两个实数根 所以t1t2 2 3 所以k1k2 为定值 1 t1t2 1 2 2 直线AB的方程为y 2t1 x t 2 t2 t1 t2 2 t2 12 1 即y x 2t1 2 t1 t2 2t2 1 t1 t2 即y x 由于t1t2 2 2 t1 t2 2t1t2 t1 t2 所以直线方程化为y x 2 2 t1 t2 所以直线AB恒过定点 2 0 典例2 2012 泰州期末 如图 在三棱锥P ABC中 平面ABC 平面 APC AB BC AP PC ABC APC 90 2 1 求直线PA与平面PBC所成角的正弦值 2 若动点M在底面三角形ABC上 二面角M PA C的余弦值为 求BM的最小值 3 11 11 解 1 取AC中点O AB BC OB OC 平面ABC 平面APC 平面ABC 平面APC AC OB 平面PAC OB OP 以O为坐标原点 OB OC OP分别为x y z轴建立如图所示空间直角坐标系 AB BC PA OB OC OP 1 2 从而O 0 0 0 B 1 0 0 A 0 1 0 C 0 1 0 P 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 BC PB AP 设平面PBC的法向量n n1 x y z 由 n n1 0 n n1 0 得方程组Error BC PB 取n n1 1 1 1 cos n n1 AP n n1 n n1 1 6 3 设PA与平面PBC所成角为 则 sin cos n n1 AD 6 3 4 直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 6 3 2 由题意平面PAC的法向量n n2 1 0 0 设平面PAM的法向量为n n3 x y z M m n 0 0 1 1 m n 1 0 AP AM 又 n n3 0 n n3 0 AP AM Error 取n n3 n 1 m 1 1 cos n n2 n n3 n n2 n n3 n n2 n n3 n 1 m n 1 m 2 2 3 11 11 2 9 n 1 m n 1 3m或n 1 3m 舍去 m 3m 0 AM 又 1 1 0 AB cos AM AB m 3m 0 1 1 0 10m2 2 2 5 5 则 sin AM AB 5 3 d AB 5 5 10 5 B点到AM的最小值为垂直距离d 10 5 考查空间向量在立体几何中的应用 求出平面的法向量是解题的关键 演练2 2012 苏北四市二模 在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1中 E 为棱AB的中点 点P在平面A1B1C1D1中 D1P 平面PCE 1 试求 线段D1P的长 2 直线DE与平面PCE所成角的正弦值 解 1 建立如图所示的空间直角坐标系 则D1 0 0 2 E 2 1 0 C 0 2 0 设P x y 2 则 x y 0 1 D P x 2 y 1 2 EP 5 2 1 0 EC 因为D1P 平面PCE 所以D1P EP D1P EC 所以 0 0 1 D P EP 1 D P EC 故Error 解得Error 舍去 或Error 即P 4 5 8 5 2 所以 所以D1P 1 D P 4 5 8 5 0 16 25 64 25 4 5 5 2 由 1 知 2 1 0 平面PEC 设DE与平面PEC所DE 1 D P 4 5 8 5 0 1 D P 成角为 与所成角为 则 sin cos 1 D P DE 16 5 5 80 25 4 5 所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为 4 5 专题技法归纳 1 抛物线与直线的位置关系中重点考查顶点在原点的抛物线与过焦点的直线的位置关 系 熟练掌握抛物线的几何性质 利用几何性质解决问题较为简单 2 空间向量与立体几何主要考查向量的坐标表示 向量运算 平面的法向量 空间角 及距离的计算 对于点的位置的探索问题 可以利用向量共线定理设元确定 1 2012 苏北四市三模 在三棱锥S ABC中 底面是边长为 2的 3 正三角形 点S在底面ABC上的射影O恰是BC的中点 侧棱SA和底面 成 45 角 1 若D为侧棱SA上一点 当为何值时 BD AC SD DA 2 求二面角S AC B的余弦值大小 解 以O点为原点 OC为x轴 OA为y轴 OS为z轴建立空间直角坐标系 因为 ABC 是边长为 2的正三角形 又SA与底面所成角为 45 所以 SAO 45 所以SO AO 3 3 所以O 0 0 0 C 0 0 A 0 3 0 S 0 0 3 3 B 0 0 3 6 1 设AD a 则D 所以 0 3 2 2 a 2 2 a BD 3 3 2 2 a 2 2 a 3 0 若BD AC 则 3 3 0 AC 3 BD AC 3 2 2 a 解得a 2 而AS 3 所以SD 222 所以 SD DA 2 2 2 1 2 2 因为 0 3 3 2 0 0 AS BC 3 设平面ACS的法向量为n n1 x y z 则Error 令z 1 则x y 1 所以n n1 1 1 33 而平面ABC的法向量为n n2 0 0 1 所以 cos n n1 n n2 显然所求二面角的平面角为锐角 3 0 1 0 1 1 12 12 3 2 1 1 5 故所求二面角的余弦值的大小为 5 5 2 2012 镇江 5 月 在正方体ABCD A1B1C1D1中 O是AC的中点 E是线段D1O上一点 且D1E EO 1 若 1 求异面直线DE与CD1所成角的余弦值 2 若平面CDE 平面CD1O 求 的值 解 1 不妨设正方体的棱长为 1 以 为单位正DA DC 1 DD 交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz 则A 1 0 0 O C 0 1 0 D1 0 0 1 E 1 2 1 2 0 1 4 1 4 1 2 于是 0 1 1 DE 1 4 1 4 1 2 1CD 由 cos DE 1CD 3 6 所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为 3 6 2 设平面CD1O的向量为m m x1 y1 z1 由m m 0 m m 0 CO 1CD 得Error 取x1 1 得y1 z1 1 即m m 1 1 1 7 由D1E EO 则E 2 1 2 1 1 1 DE 2 1 2 1 1 1 又设平面CDE的法向量为n n x2 y2 z2 由n n 0 n n 0 CD DE 得Error 取x2 2 得z2 即n n 2 0 因为平面CDE 平面CD1O 所以m m n n 0 得 2 3 2012 南通密卷 如图 已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直 AA1 AB AC 1 AB AC M是CC1的中点 N是BC的中点 点P在直线 A1B1上 且满足 1 AP 11 AB 1 当 取何值时 直线PN与平面ABC所成的角 最大 2 若平面PMN与平面ABC所成的二面角为 45 试确定点P的位 置 解 1 以AB AC AA1分别为x y z轴 建立空间直角坐标系A xyz 则N P 0 1 则 1 2 1 2 0 PN 1 2 1 2 1 平面ABC的一个法向量为n n 0 0 1 则 sin cos n n PN n n n n 1 1 2 2 5 4 于是问题转化为二次函数求最值 而 当 最大时 sin 最大 所以当 0 2 时 sin 最大 也最大 1 2 2 已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为 45 即可得到平面ABC的一个法 向量为n n 0 0 1 设平面PMN的一个法向量为m m x y z 1 AA MP 1 1 2 由Error 得Error 解得Error 令x 3 得m m 3 2 1 2 1 于是由 cos m m n n m m n n m m n n 解得 2 1 9 2 1 2 4 1 2 2 2 1 2 8 故点P在B1A1的延长线上 且 A1P 1 2 4 2012 泰州期末 对称轴为坐标轴 顶点在坐标原点的抛物线C经过两点A a 2a B 4a 4a 其中a为正常数 1 求抛物线C的方程 2 设动点T m 0 m a 直线AT BT与抛物线C的另一个交点分别为A1 B1 当m变 化时 记所有直线A1B1组成的集合为M 求证 集合M中的任意两条直线都相交且交点都不 在坐标轴上 解 1 当抛物线焦点在x轴上时 设抛物线方程y2 2px Error p 2a y2 4ax 当抛物线焦点在y轴上时 设抛物线方程x2 2py Error 方程无解 抛物线不存在 综上抛物线C的方程为y2 4ax 2 设A1 as2 2as B1 at2 2at T m 0 m a kTA kTA1 2a a m 2as as2 m as2 m a s m 0 as m s 1 0 s A1 m a m2 a 2m kTB kTB1 4a 4a m 2at at2 m 2at2 m 4a t 2m 0 2at m t 2 0 t B1 m 2a m2 4a m 直线A1B1的方程为y 2m 2m m m2 a m2 4a x m2 a 直线的斜率为 在 a 单调 4a 3m 集合M中的直线必定相交 直线的横截距为 在 a 单调 纵截距为 在 a 单调 m2 2a 2m 3 任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上 5 2012 常州 已知斜率为k k 0 的直线l过抛物线C y2 4x的焦点F且交抛物线 于A B两点 设线段AB的中点为M 9 1 求点M的轨迹方程 2 若 2 k 1 时 点