反比例函数知识点总结及练习题

1 反比例函数反比例函数 知识点知识点 1 1 反比例函数的定义反比例函数的定义 一般地 形如 k 为常数 的函数称为反比例函数 它可以从以下几个 x k y 0k 方面来理解 x 是自变量 y 是 x 的反比例函数 自变量 x 的取值范围是的一切实数 函数值的取值范围是 0 x 0y 比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分 0k 反比例函数有三种表达式 x k y 0k 1 kxy 0k 定值 kyx 0k 函数 与 是等价的 所以当 y 是 x 的反比例函数 x k y 0k y k x 0k 时 x 也是 y 的反比例函数 k 为常数 是反比例函数的一部分 当 k 0 时 就不是反比例函数了 0k x k y 知识点知识点 2 2 用待定系数法求反比例函数的解析式用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数 中 只有一个待定系数 因此 只要一组对应值 x k y 0k 就可以求出 k 的值 从而确定反比例函数的表达式 知识点知识点 3 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线 它有两个分支 这两个分支分别位于第一 第三象限或 第二 第四象限 它们与原点对称 由于反比例函数中自变量函数中自变量 函数0 x 值 所以它的图像与 x 轴 y 轴都没有交点 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴 0y 但永远达不到坐标轴 反比例的画法分三个步骤 列表 描点 连线 再作反比例函数的图像时应注意以下几点 列表时选取的数值宜对称选取 列表时选取的数值越多 画的图像越精确 连线时 必须根据自变量大小从左至右 或从右至左 用光滑的曲线连接 切忌画 成折线 画图像时 它的两个分支应全部画出 但切忌将图像与坐标轴相交 知识点知识点 4 4 反比例函数的性质反比例函数的性质 关于反比例函数的性质 主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况 如下表 2 反比例函数 x k y 0k 的符号k0k 0k 图像 性质 的取值范围是 x0 x y 的取值范围是0y 当时 函数图像0k 的两个分支分别在第一 第三象限 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 的取值范围是 x0 x y 的取值范围是0y 当时 函数图像0k 的两个分支分别在第二 第四象限 在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 注意 描述函数值的增减情况时 必须指出 在每个象限内 否则 笼统地说 当 时 y 随 x 的增大而减小 就会与事实不符的矛盾 0k 反比例函数图像的位置和函数的增减性 是有反比例函数系数 k 的符号决定的 反过来 由反比例函数图像 双曲线 的位置和函数的增减性 也可以推断出 k 的符号 如 在第一 第三象限 则可知 x k y 0k 反比例函数 中比例系数 k 的绝对值的几何意义 x k y 0k k 如图所示 过双曲线上任一点 P x y 分别作 x 轴 y 轴的垂线 E F 分别为垂足 则 OEPF SPEPFyxxy 矩形 k 反比例函数 中 越大 双曲线越远离坐标原点 越小 x k y 0k k x k y k 双曲线越靠近坐标原点 x k y 双曲线是中心对称图形 对称中心是坐标原点 双曲线又是轴对称图形 对称轴是直 线 y x 和直线 y x 例题例题 例 1 如果函数的图像是双曲线 且在第二 四象限内 那么 k 的值是多 22 2 kk kxy 少 3 答案 由反比例函数的定义 得 解得 0 122 2 k kk 0 2 1 1 k kk或 1 k 例 2 在反比例函数的图像上有三点 若 x y 1 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3 y 则下列各式正确的是 A 321 0 xxx A B C D 213 yyy 123 yyy 321 yyy 231 yyy 解析 可直接以数的角度比较大小 也可用图像法 还可取特殊值法 知识点一 反比例函数的定义知识点一 反比例函数的定义 例 1 在下列函数中 是反比例函数的是 1 2 3 4 5 3 x y 1 3 1 x y x y 2 2 2 1 1xy 6 7 8 9 x y 2 3 2 1 xy 2 8 x y 1 xy2 x y 例 2 当取何值时 是关于 x 的反比例函数 并求出其表达式 m 12 2 2 mm xmmy 知识点二 反比例函数表达式的确定知识点二 反比例函数表达式的确定 例 3 由欧姆定律可知 电压不变时 电流强度 I 与电阻 R 成反比例 已知电压保持不变 电阻 R 12 5 欧姆 电流强度 I 0 2 安培 1 求 I 与 R 的函数关系式 2 当 R 5 欧姆时 求电流强度 重点一 反比例函数与其他函数的综合应用重点一 反比例函数与其他函数的综合应用 例 1 已知 与 x 成正比例 与 x 成反比例 并且当 x 2 时 21 yyy 1 y 2 y4 y 当时 求与 x 的函数表达式 1 x5 yy 4 重点二 反比例函数的实际应用重点二 反比例函数的实际应用 例 2 水产公司有一种海产品工艺 2104 千克 为寻求合适的销售价格 公司进行了 8 天的 试销 试销情况入下 第 1 天第 2 天第 3 天第 4 天第 5 天第 6 天第 7 天第 8 天售价 x 元 千克 400250240200150125120 销售量 y 千克 304048608096100 观察表中数据 发现可以用反比例函数刻画出这种海产品每天的销售情况量 y 千克 与 销售价格 x 元 千克 之间的关系 现假设这批海产品每天的销售量 y 千克 与销售价 格 x 元 千克 都满足这一关系 1 写出这个反比例函数的解析式 并补全表格 2 在试销 8 天后 公司决定将这种海产品的销售价格定为 150 元 千克 并且每天都 按这个价格销售 那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出 练习 1 已知函数是关于 x 的反比例函数 求 k 的值 72 2 2 kk xkky 2 已知定 A 1 k 2 在双曲线上 求常数 k 的值 x k y 4 正比例函数与反比例函数的图象交于 A B 两点 点 0 11 kxky 0 2 2 k x k y A 坐标为 2 1 1 求正比例函数 反比例函数的表达式 2 求点 B 的坐标 5 5 已知 与 x 成反比例 与成正比例 且当 x 1 时 当 21 yyy 1 y 2 y 2 x5 y 时 求与 x 的函数表达式 1 x1 yy 6 已知一次函数和反比例函数的图象交于点 A 1 1 求两 0 kbkxy x k y 2 个函数的解析式 7 已知正比例函数和反比例函数的图象交于点 4 2 0 kkxy x m y 1 求两个函数的解析式 2 这两个函数图象还有其他交点吗 若有 请求出交点的坐标 若没有 请说明理由 知识点一 反比例函数的图象知识点一 反比例函数的图象 例 1 反比例函数反比例函数的图象在所在象限内 y 随 x 的增大而增大 2 2 13 m xmy 求反比例函数的解析式 例 2 在反比例函数的图像上有 A B 两点 当 x m y 21 11 yx 22 yx 时 有 则 m 的取值范围是 21 0 xx 21 yy 6 知识点二 反比例函数的性质知识点二 反比例函数的性质 例 3 设 A B 反比例函数的图象上的任意两点 且 11 yx 22 yx x y 3 则可能满足的关系是 21 yy 21 xx A B C D 0 21 xx 21 0 xx 12 0 xx 0 12 xx 知识点三 反比例函数知识点三 反比例函数中中 k k 的几何意义的几何意义 0 k x k y 说明 在反比例函数的图象上任取一点 过这一点分别作 x 轴 y 轴的平行 0 k x k y 线 与坐标轴围成的矩形面积总是等于常量 例3 如图 直线 OA 与妇女比例函数的图象在第一象 0 k x k y 限内交于点 A AB x 轴于点 B OAB 的面积为 2 则 k 练习 如右图 若点 A 在反比例函数的图象上 AM x 轴于点 M 0 k x k y OAM 的面积为 3 则 k 重点 反比例函数和一次函数的综合应用重点 反比例函数和一次函数的综合应用 例 1 在同一平面直角坐标系中 函数和的图象大致是 baxy 0 ab x ab y 练习 已知 在同一平面直角坐标系中 函数和的图象大致是0 k 1 xky x k y xBO y A M Ox A y A O B O x O C y O D x B O y A O y xO C y x D O y 7 例 2 已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于 1 5 x k y mxy 3 1 求这两个函数的解析式 2 求这两个函数的另一个交点的坐标 练习 1 已知点 M 2 3 在双曲线上 则下列各点一定在双曲线上的是 x k y A 3 2 B 2 3 C 2 3 D 3 2 2 已知 反比例函数的图象与经过原点的直线 l 相交于 A B 两点 已知点 0 k x k y A 的坐标为 2 1 那么点 B 的坐标为 3 已知 一次函数的图象与反比例函数 为常数mmxy 1 的图象相交于 A 1 3 0 2 kk x k y为常数 1 求这两个函数的解析式及图象的另一交点 B 的坐标 2 观察图象 写出使函数值的自变量 x 的取值范围 21 yy 4 如图 在平面直角坐标系中 一次函数的图象与反比例函数的图象在1 kxy x y 3 第一象限相交于点 A 过点 A 分别作 x 轴 y 轴的垂线 垂足为 B C 如果四边形 OBAC 是正方形 求一次函数的解析式 x A O y B x A O y B 8 反比例函数综合检测题反比例函数综合检测题 一 选择题一 选择题 每小题 3 分 共 30 分 1 反比例函数 y 图象经过点 2 3 则 n 的值是 x n5 A 2 B 1 C 0 D 1 2 若反比例函数 y k 0 的图象经过点 1 2 则这个函数的图象一定经过点 x k A 2 1 B 2 C 2 1 D 2 2 1 2 1 3 已知甲 乙两地相距 km 汽车从甲地匀速行驶到乙地 则汽车行驶的时间 h st 与行驶速度 km h 的函数关系图象大致是 v 4 若 y 与 x 成正比例 x 与 z 成反比例 则 y 与 z 之间的关系是 A 成正比例 B 成反比例 C 不成正比例也不成反比例 D 无法确定 5 一次函数 y kx k y 随 x 的增大而减小 那么反比例函数 y 满足 x k A 当 x 0 时 y 0 B 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 C 图象分布在第一 三象限 D 图象分布在第二 四象限 6 如图 点 P 是 x 轴正半轴上一个动点 过点 P 作 x 轴的垂 线 PQ 交双曲线 y 于点 Q 连结 OQ 点 P 沿 x 轴正方向运动时 x 1 Rt QOP 的面积 A 逐渐增大 B 逐渐减小 C 保持不变 D 无法确定 7 在一个可以改变容积的密闭容器内 装有一定质量 m 的某种气体 当改变容积V时 气体的密度 也随之改变 与V在一定范围内满足 它的图象如图所示 则该 V m 气体的质量 m 为 A 1 4kg B 5kg C 6 4kg D 7kg Q p x y o t h v km h O t h v km h O t h v km h O t h v km h O A B C D 9 8 若 A 3 y1 B 2 y2 C 1 y3 三点都在函数 y 的图象上 则 x 1 y1 y2 y3的大小关系是 A y1 y2 y3 B y1 y2 y3 C y1 y2 y3 D y1 y3 y2 9 已知反比例函数 y 的图象上有 A x1 y1 B x2 y2 两点 当 x1 x2 0 时 x m21 y1 y2 则 m 的取值范围是 A m 0 B m 0 C m D m 2 1 2 1 10 如图 一次函数与反比例函数的图象相交于 A B 两 点 则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的 x 的取值范围 是 A x 1 B x 2 C 1 x 0 或 x 2 D x 1 或 0 x 2 二 填空题二 填空题 每小题 3 分 共 30 分 11 某种灯的使用寿命为1000小时 它的可使用天数与平均每天使用的小时数之间的yx 函数关系式为 12 已知反比例函数的图象分布在第二 四象限 则在一次函数中 x k y bkxy 随的增大而 填 增大 或 减小 或 不变 yx 13 若反比例函数 y 和一次函数 y 3x b 的图象有两个交点 且有一个交点的纵 x b3 坐标为 6 则 b 14 反比例函数 y m 2 xm 10的图象分布在第二 四象限内 则 m 的值为 2 15 有一面积为 S 的梯形 其上底是下底长的 若下底长为 x 高为 y 则 y 与 x 的函数 3 1 关系是 16 如图 点 M 是反比例函数 y a 0 的图象上一点 x a 过 M 点作 x 轴 y 轴的平行线 若 S阴影 5 则此反比例函数解析 式为 17 使函数 y 2m2 7m 9 xm 9m 19是反比例函数 且图象在每个象限内 y 随 x 的增 2 大而减小 则可列方程 不等式组 为 18 过双曲线 y k 0 上任意一点引 x 轴和 y 轴的垂线 所得长方形的面积为 x k 19 19 如图 直线 y kx k 0 与双曲线交于 A x1 y1 x y 4 B x2 y2 两点 则 2x1y2 7x2y1 20 如图 长方形 AOCB 的两边 OC OA 分别位于 x 轴 y 轴上 点 B 的坐标为 B 5 D 是 AB 边上的一点 3 20 将 ADO 沿直线 OD 翻折 使 A 点恰好落在对角线 OB 上的 10 点 E 处 若点 E 在一反比例函数的图象上 那么该函数的解析 式是 三 解答题三 解答题 共 60 分 21 8 分 如图 P 是反比例函数图象上的一点 且点 P 到 x 轴的距离为 3 到 y 轴的距离为 2 求这个反比例函数的解析式 22 9 分 请你举出一个生活中能用反比例函数关系描 述的实例 写出其函数表达式 并画出函数图象 举例 函数表达式 23 10 分 如图 已知 A x1 y1 B x2 y2 是双曲线 y 在第一象限内的分支上 x k 的两点 连结 OA OB 1 试说明 y1 OA y1 1 y k 2 过 B 作 BC x 轴于 C 当 m 4 时 求 BOC 的面积 24 10 分 如图 已知反比例函数 y 与一次函数 y kx b 的图象交于 A B 两点 x 8 且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是 2 求 1 一次函数的解析式 2 AOB 的面积 25 11 分 如图 一次函数 y ax b 的图象与反比例函数 y 的图象交于 M N 两 x k 点 11 1 求反比例函数与一次函数的解析式 2 根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的 x 的取值范围 2626 12 分 如图 已知反比例函数 y 的图象与一次函数 y ax b 的图象交于 x k M 2 m 和 N 1 4 两点 1 求这两个函数的解析式 2 求 MON 的面积 3 请判断点 P 4 1 是否在这个反比例函数的图象上 并说明理由 参考答案参考答案 一 一 1 D 2 A 3 C 4 B 5 D 6 C 7 D 8 B 9 D 10 D 二 二 11 y 12 减小 13 5 14 3 15 y 16 y x 1000 x s 2 3 x 5 17 18 k 19 20 20 y 0972 1199 2 2 mm mm x 12 三 三 21 y x 6 22 举例 要编织一块面积为 2 米 2的矩形地毯 地毯的长 x 米 与宽 y 米 之间的函 数关系式为 y x 0 x 2 x 2 1 1 2 3 2