高考数学二轮复习：第四讲--导数及其应用(文)

1 第四讲第四讲 导数及其应用 文 导数及其应用 文 高考在考什么 考题回放 1 已知对任意实数x 有 fxf xgxg x 且 0 x 时 0 0fxg x 则 0 x 时 B A 0 0fxg x B 0 0fxg x C 0 0fxg x D 0 0fxg x 2 曲线 3 1 3 yxx 在点 4 1 3 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 A 1 9 2 9 1 3 2 3 3 若曲线 4 yx 的一条切线l与直线 480 xy 垂直 则l的方程为 A A 4 30 xy B 450 xy C 4 30 xy D 430 xy 4 函数 93 23 xaxxxf 已知 xf 在 3 x 时取得极值 则a B A 2B 3C 4D 5 5 已知函数 3 128f xxx 在区间 3 3 上的最大值与最小值分别为 M m 则 Mm 32 6 已知函数 yf x 的图象在点 1 1 Mf 处的切线方程是 1 2 2 yx 则 1 1 f f 3 7 设 a 为实数 函数 23 axxxxf 求 f x 的极值 当 a 在什么范围内取值时 曲线 y f x 轴仅有一个交点 解 I fx 3 2 x 2x 1 若 fx 0 则x 1 3 x 1 2 当x变化时 fx f x 变化情况如下表 x 1 3 1 3 1 3 1 1 1 fx 0 0 f x A 极大值A极小值A f x 的极大值是 15 327 fa 极小值是 1 1fa II 函数 322 1 1 1f xxxxaxxa 由此可知 取足够大的正数时 有 f x 0 取足够小的负数时有 f x 0 所以曲线 y f x 与x轴至少有一个交点 结合 f x 的单调性可知 当 f x 的极大值 5 27 a 0 即a 1 时 它的极大值也大于 0 因此曲线 y f x 与x轴 仅有一个交点 它在 1 3 上 当 5 27 a 1 时 曲线 y f x 与 x 轴仅有一个交点 高考要考什么 导数的几何意义 函数 yf x 在点 0 x 处的导数 0 fx 就是曲线 yf x 在点 00 P xy 处的切线的斜 率 2 函数 ss t 在点 0 t 处的导数 0 S t 就是物体的运动方程 ss t 在时刻 0 t 时的瞬 时速度 2 求函数单调区间的步骤 1 确定 f x 的定义域 2 求导数 y 3 令 y 0 y 0 时 f x 在相应区间上是增函数 当 y 0 时 f x 在相应区间上是减函数 3 求极值常按如下步骤 确定函数的定义域 求导数 求方程 y 0 的根及导 数不存在的点 这些根或点也称为可能极值点 通过列表法 检查在可能极值点的左右 两侧的符号 确定极值点 4 设函数 f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求 f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤如下 3 1 求 f x 在 a b 内的极值 2 将 f x 的各极值与 f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 5 最值 或极值 点必在下列各种点之中 导数等于零的点 导数不存在的点 端点 突 破 重 难 点 范例 1 已知函数 xbxaxxf3 23 在 1 x 处取得极值 1 讨论 1 f 和 1 f 是函数 f x 的极大值还是极小值 2 过点 16 0 A 作曲线 y f x 的切线 求此切线方程 1 解 323 2 bxaxxf 依题意 0 1 1 ff 即 0 323 0323 ba ba 解得 0 1 ba 1 1 333 3 23 xxxxfxxxf 令 0 x f 得 1 1 xx 若 1 1 x 则 0 x f 故 f x 在 1 上是增函数 f x 在 1 上是增函数 若 1 1 x 则 0 x f 故 f x 在 1 1 上是减函数 所以 2 1 f 是极大值 2 1 f 是极小值 2 解 曲线方程为 xxy3 3 点 16 0 A 不在曲线上 设切点为 00 yxM 则点 M 的坐标满足 0 3 00 3xxy 因 1 3 2 00 xxf 故切线的方程为 1 3 0 2 00 xxxyy 注意到点 A 0 16 在切线上 有 0 1 3 3 16 0 2 00 3 0 xxxx 化简得 8 3 0 x 解得 2 0 x 所以 切点为 2 2 M 切线方程为 0169 yx 点晴 过已知点求切线 当点不在曲线上时 求切点的坐标成了解题的关键 范例 2 安徽文 设函数 f x cos2x 4tsin2 x cos2 x 4t2 t2 3t 4 x R 其中 t 1 将 f x 的 最小值记为 g t 4 求 g t 的表达式 诗论 g t 在区间 1 1 内的单调性并求极值 解 I 我们有 232 cos4 sincos434 22 xx f xxtttt 222 sin1 2 sin 434xtttt 223 sin2 sin433xtxttt 23 sin 433xttt 由于 2 sin 0 xt 1t 故当sin x t 时 f x 达到其最小值 g t 即 3 433g ttt II 我们有 2 1233 21 21 1g ttttt 列表如下 t1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 g t 0 0 g t A 极大值 1 2 g A 极小值 1 2 g A 由此可见 g t 在区间 1 1 2 和 1 1 2 单调增加 在区间 1 1 2 2 单调减小 极小值 为 1 2 2 g 极大值为 4 2 g 点晴 本小题主要考查同角三角函数的基本关系 倍角的正弦公式 正弦函数的值域 多项式函数的导数 函数的单调性 考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间 极值 与最值等问题的综合能力 范例 2 已知函数 32 11 32 f xxaxbx 在区间 11 13 内各有一个极值 点 I 求 2 4ab 的最大值 II 当 2 48ab 时 设函数 yf x 在点 1 1 Af 处的切线为l 若l在点A处穿过函数 yf x 的图象 即动点在点A附近沿 曲线 yf x 运动 经过点A时 从l的一侧进入另一侧 求函数 f x 的表达式 5 解 I 因为函数 32 11 32 f xxaxbx 在区间 11 13 内分别有一个极值点 所 以 2 fxxaxb 0 在 11 13 内分别有一个实根 设两实根为 12 xx 12 xx 则 2 21 4xxab 且 21 04xx 于是 2 044ab 2 0416ab 且当 1 1x 23x 即 2a 3b 时等号 成立 故 2 4ab 的最大值是 16 II 解法一 由 1 1fab 知 f x 在点 1 1 f 处的切线l的方程是 1 1 1 yffx 即 21 1 32 yab xa 因为切线l在点 1 Af x 处空过 yf x 的图象 所以 21 1 32 g xf xab xa 在 1x 两边附近的函数值异号 则 1x 不是 g x 的极值点 而 g x 32 1121 1 3232 xaxbxab xa 且 22 1 1 1 1 g xxaxbabxaxaxxa 若1 1 a 则 1x 和 1xa 都是 g x 的极值点 所以1 1 a 即 2a 又由 2 48ab 得 1b 故 32 1 3 f xxxx 解法二 同解法一得 21 1 32 g xf xab xa 2 133 1 1 2 322 a xxxa 因为切线l在点 1 1 Af 处穿过 yf x 的图象 所以 g x 在 1x 两边附近的函数值 异号 于是存在 12 mm 12 1mm 当 1 1mx 时 0g x 当 2 1xm 时 0g x 或当 1 1mx 时 0g x 当 2 1xm 时 0g x 6 设 2 33 12 22 aa h xxx 则 当 1 1mx 时 0h x 当 2 1xm 时 0h x 或当 1 1mx 时 0h x 当 2 1xm 时 0h x 由 1 0h 知 1x 是 h x 的一个极值点 则 3 1 2 1 10 2 a h 所以 2a 又由 2 48ab 得 1b 故 32 1 3 f xxxx 变式 设函数 32 2338f xxaxbxc 在 1x 及 2x 时取得极值 求 a b 的值 若对于任意的 0 3 x 都有 2 f xc 成立 求 c 的取值范 围 解 2 663fxxaxb 因为函数 f x 在 1x 及 2x 取得极值 则有 1 0 f 2 0 f 即 6630 24 1230 ab ab 解得 3a 4b 由 可知 32 29128f xxxxc 2 6