江苏省无锡市2017届高三(上)期末数学试卷(解析版)

2016 2017 学年江苏省无锡市高三 上 期末数学试卷学年江苏省无锡市高三 上 期末数学试卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 分 1 设集合 A x x 0 B x 1 x 2 则 A B 2 复数 其中 i 是虚数单位 则复数 z 的共轭复数为 3 命题 x 2 x2 4 的否定是 4 从 3 男 2 女共 5 名学生中任选 2 人参加座谈会 则选出的 2 人恰好为 1 男 1 女的概率为 5 根据如图所示的伪代码可知 输出的结果为 6 已知向量 若与垂直 则 m 的值为 7 设不等式表示的平面区域为 M 若直线 y kx 2 上存在 M 内的点 则实数 k 的取值范围是 8 已知是奇函数 则 f g 2 9 设公比不为 1 的等比数列 an 满足 且 a2 a4 a3成等差数列 则数列 an 的前 4 项和为 10 设 则 f x 在上的单调递增 区间为 11 已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为 120 且面积为 3 的扇形 则该 圆锥的体积等于 12 设 P 为有公共焦点 F1 F2的椭圆 C1与双曲线 C2的一个交点 且 PF1 PF2 椭圆 C1的离心率为 e1 双曲线 C2的离心率为 e2 若 3e1 e2 则 e1 13 若函数 f x 在 m n m n 上的值域恰好为 m n 则称 f x 为 函数的一个 等值映射区间 下列函数 y x2 1 y 2 log2x y 2x 1 其中 存在唯一一个 等值映射区间 的函数有 个 14 已知 a 0 b 0 c 2 且 a b 2 则的最小值为 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分分 解答应写出必要的文字说明或推理 解答应写出必要的文字说明或推理 验算过程验算过程 15 14 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 sinA cos2 1 D 为 BC 上一点 且 1 求 sinA 的值 2 若 a 4 b 5 求 AD 的长 16 14 分 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 AP 平面 PCD E F 分别为 PC AB 的中点 求证 1 平面 PAD 平面 ABCD 2 EF 平面 PAD 17 14 分 某地拟在一个 U 形水面 PABQ A B 90 上修一条堤坝 E 在 AP 上 N 在 BQ 上 围出一个封闭区域 EABN 用以种植水生植物 为了 美观起见 决定从 AB 上点 M 处分别向点 E N 拉 2 条分割线 ME MN 将所 围区域分成 3 个部分 如图 每部分种植不同的水生植物 已知 AB a EM BM MEN 90 设所拉分割线总长度为 l 1 设 AME 2 求用 表示的 l 函数表达式 并写出定义域 2 求 l 的最小值 18 16 分 已知椭圆 动直线 l 与椭圆交于 B C 两点 B 在第一 象限 1 若点 B 的坐标为 1 求 OBC 面积的最大值 2 设 B x1 y1 C x2 y2 且 3y1 y2 0 求当 OBC 面积最大时 直 线 l 的方程 19 16 分 数列 an 的前 n 项和为 Sn 1 求 r 的值及数列 an 的通项公式 2 设 记 bn 的前 n 项和为 Tn 当 n N 时 T2n Tn恒成立 求实数 的取值范围 求证 存在关于 n 的整式 g n 使得对一切 n 2 n N 都成立 20 16 分 已知 f x x2 mx 1 m R g x ex 1 当 x 0 2 时 F x f x g x 为增函数 求实数 m 的取值范围 2 若 m 1 0 设函数 求证 对任意 x1 x2 1 1 m G x1 H x2 恒成立 加试题说明 解答时 应写出文字说明 证明过程或演算步骤加试题说明 解答时 应写出文字说明 证明过程或演算步骤 选修选修 4 4 坐标 坐标 系与参数方程系与参数方程 21 设极坐标系的极点为直角坐标系的原点 极轴为 x 轴的正半轴 已知曲线 C 的极坐标方程为 8sin 1 求曲线 C 的直角坐标方程 2 设直线 t 为参数 与曲线 C 交于 A B 两点 求 AB 的长 选修选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 22 已知变换 T 将平面上的点分别变换为点 设变换 T 对应的矩阵为 M 1 求矩阵 M 2 求矩阵 M 的特征值 23 某小区停车场的收费标准为 每车每次停车时间不超过 2 小时免费 超过 2 小时的部分每小时收费 1 元 不足 1 小时的部分按 1 小时计算 现有甲乙 两人独立来停车场停车 各停车一次 且两人停车时间均不超过 5 小时 设 甲 乙两人停车时间 小时 与取车概率如表所示 0 2 2 3 3 4 4 5 甲 x x x 乙 y 0 1 求甲 乙两人所付车费相同的概率 2 设甲 乙两人所付停车费之和为随机变量 求 的分布列和数学期望 E 24 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD 四边形 ABCD 为直角梯形 AD BC BAD CBA 90 PA AB BC 1 AD 2 E F G 分别为 BC PD PC 的中点 1 求 EF 与 DG 所成角的余弦值 2 若 M 为 EF 上一点 N 为 DG 上一点 是否存在 MN 使得 MN 平面 PBC 若存在 求出点 M N 的坐标 若不存在 请说明理由 2016 2017 学年江苏省无锡市高三 上 期末数学试卷学年江苏省无锡市高三 上 期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 分 1 设集合 A x x 0 B x 1 x 2 则 A B x 0 x 2 考点 交集及其运算 分析 由 A 与 B 求出两集合的交集即可 解答 解 A x x 0 B x 1 x 2 A B x 0 x 2 故答案为 x 0 x 2 点评 此题考查了交集及其运算 熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2 复数 其中 i 是虚数单位 则复数 z 的共轭复数为 1 i 考点 复数代数形式的乘除运算 分析 直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z 得答案 解答 解 则复数 z 的共轭复数为 1 i 故答案为 1 i 点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算 考查了复数的基本概念 是基 础题 3 命题 x 2 x2 4 的否定是 x0 2 x02 4 考点 命题的否定 分析 直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可 解答 解 因为全称命题的否定是特称命题 所以 命题 x 2 x2 4 的 否定是 x0 2 x02 4 故答案为 x0 2 x02 4 点评 本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系 基本知识的考 查 4 从 3 男 2 女共 5 名学生中任选 2 人参加座谈会 则选出的 2 人恰好为 1 男 1 女的概率为 考点 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 分析 先求出基本事件总数 n 10 再求出选出的 2 人恰好为 1 男 1 女包 含的基本事件个数 m 由此能求出选出的 2 人恰好为 1 男 1 女的概 率 解答 解 从 3 男 2 女共 5 名学生中任选 2 人参加座谈会 基本事件总数 n 10 选出的 2 人恰好为 1 男 1 女包含的基本事件个数 m 选出的 2 人恰好为 1 男 1 女的概率 p 故答案为 点评 本题考查概率的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意等可能事 件概率计算公式的合理运用 5 根据如图所示的伪代码可知 输出的结果为 70 考点 程序框图 分析 模拟程序的运行 依次写出每次循环得到的 S i 的值 可得当 i 9 时 不满足条件 i 8 退出循环 输出 S 的值为 70 解答 解 模拟程序的运行 可得 i 1 S 2 满足条件 i 8 执行循环体 i 3 S 7 满足条件 i 8 执行循环体 i 5 S 22 满足条件 i 8 执行循环体 i 7 S 43 满足条件 i 8 执行循环体 i 9 S 70 不满足条件 i 8 退出循环 输出 S 的值为 70 故答案为 70 点评 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用 当循环的次数不多或有 规律时 常采用模拟执行程序的方法解决 属于基础题 6 已知向量 若与垂直 则 m 的值为 考点 平面向量的坐标运算 分析 运用向量的数乘及加法运算求出向量若与 然后再由垂直 向量的数量积为 0 列式求解 m 的值 解答 解 向量 1 2 2m 1 m 1 与垂直 0 即 2m 1 2 m 1 0 解得 m 故答案为 点评 本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系 考查计算能力 是 基础题 7 设不等式表示的平面区域为 M 若直线 y kx 2 上存在 M 内的点 则实数 k 的取值范围是 2 5 考点 简单线性规划 分析 由题意 做出不等式组对应的可行域 由于函数 y kx 1 的图象是过点 A 0 2 斜率为 k 的直线 l 故由图即可得出其范围 解答 解 由约束条件作出可行域如图 如图 因为函数 y kx 2 的图象是过点 A 0 2 且斜率为 k 的直线 l 由图知 当直线 l 过点 B 1 3 时 k 取最大值 5 当直线 l 过点 C 2 2 时 k 取最小值 2 故实数 k 的取值范围是 2 5 故答案为 2 5 点评 本题考查简单线性规划 利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最 大值与最小值 这是一道灵活的线性规划问题 还考查了数形结合的思想 属 中档题 8 已知是奇函数 则 f g 2 1 考点 函数奇偶性的性质 分析 根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可 解答 解 f x 是奇函数 g 2 f 2 f 2 22 3 1 则 f 1 f 1 2 3 1 故 f g 2 1 故答案为 1 点评 本题主要考查函数值的计算 根据函数奇偶性的性质进行转化是解决 本题的关键 9 设公比不为 1 的等比数列 an 满足 且 a2 a4 a3成等差数列 则数列 an 的前 4 项和为 考点 等比数列的前 n 项和 分析 设等比数列 an 的公比为 q 根据 a2 a4 a3成等差数列 可得 a2 a2q q 1 解得 q 再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得 出 解答 解 设等比数列 an 的公比为 q a2 a4 a3成等差数列 2a4 a2 a3 a2 a2q 化为 2q2 q 1 0 q 1 解得 q 解得 a1 1 则数列 an 的前 4 项和 故答案为 点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式 考查了推理 能力与计算能力 属于中档题 10 设 则 f x 在上的单调递增 区间为 0 考点 三角函数中的恒等变换应用 正弦函数的图象 分析 根据三角函数的辅助角公式进行化简结合三角函数的性质进行求解即 可 解答 解 sin2x sinxcosx 1 cos2x sin2x sin 2x 由 2k 2x 2k k Z 得 k x k k Z x 当 k 0 时 x 即 0 x 即函数 f x 在上的单调递增区间为 0 故答案为 0 点评 本题主要考查三角函数图象和性质的考查 利用辅助角公式进行化简 是解决本题的关键 11 已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为 120 且面积为 3 的扇形 则该 圆锥的体积等于 考点 旋转体 圆柱 圆锥 圆台 分析 设圆锥的母线为 l 底面半径为 r 由已知条件求出 l 3 r 1 从而求 出圆锥的高 由此能求出圆锥的体积 解答 解 设圆锥的母线为 l 底面半径为 r 3 l2 l 3 120 360 r 1 圆锥的高是 2 圆锥的体积是 12 2 故答案为 点评 本题考查圆锥的体积的求法 是中档题 解题时要认真审题 注意圆 锥的性质的合理运用 12 设 P 为有公共焦点 F1 F2的椭圆 C1与双曲线 C2的一个交点 且 PF1 PF2 椭圆 C1的离心率为 e1 双曲线 C2的离心率为 e2 若 3e1 e2 则 e1 考点 椭圆的简单性质 分析 根据椭圆的几何性质可得 b12tan 根据双曲线的几何性 质可得 以及离心率以及 a b c 的关系即可求出答案 解答 解 设 F1AF2 2 根据椭圆的几何性质可得 b12tan b12 e1 a1 b12 a12 c2 c2 1 根据双曲线的几何性质可得 b22 e2 a2 b22 c2 a22 c2 1 c2 1 c2 1 即 2 3e1 e2 e1 故答案为 点评 本题考查了圆锥曲线的几何性质 以及椭圆和双曲线的简单性质 属 于中档题 13 若函数 f x 在 m n m n 上的值域恰好为 m n 则称 f x 为 函数的一个 等值映射区间 下列函数 y x2 1 y 2 log2x y 2x 1 其中 存在唯一一个 等值映射区间 的函数有 2 个 考点 函数的值域 分析 若函数 f x 在 m n m n 上的值域恰好为 m n 则称 f x 为函数的一个 等值映射区间 根据新定义可知 等值映射区间 即是函 数与另一函数 y x 有两个交点 即可判断 解答 解 根据新定义可知 等值映射区间 即是函数与另一函数 y x 有两 个交点 对于 y x2 1 根据新定义可得 x2 1 x 方程有两个解 即函数 y x2 1 与函数 y x 有两个交点 故 是 对于 y 2 log2x 根据新定义可得 2 log2x x 即函数 y 2 log2x 与函数 y x 有 一个交点 故 不是 对于 y 2x 1 根据新定义可得 2x 1 x 即函数 y 2x 1 与函数 y x 有一个交 点 故 不是 对于 根据新定义可得 x2 x 1 方程有两个解 即函数与函 数 y x 有两个交点 故 是 故答案为 2 点评 本题考查了新定义的理解和定义域 值域的关系的运用 属于中档 题 14 已知 a 0 b 0 c 2 且 a b 2 则的最小值为 考点 基本不等式 分析 由 2 先将 变形为 运用基本不等式可得最 小值 再求c c 2 1 的最小值 运用基本不等式即 可得到所求值 解答 解 a 0 b 0 c 2 且 a b 2 则 c 由 2 可得 当且仅当 b a 时 取得等号 则原式 c c 2 1 2 1 当且仅当 c 2 时 取得等号 则所求最小值为 故答案为 点评 本题考查基本不等式的运用 求最值 注意变形和满足的条件 一正 二定三等 考查化简和运算能力 属于中档题 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分分 解答应写出必要的文字说明或推理 解答应写出必要的文字说明或推理 验算过程验算过程 15 14 分 2016 秋 无锡期末 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 sinA cos2 1 D 为 BC 上一点 且 1 求 sinA 的值 2 若 a 4 b 5 求 AD 的长 考点 余弦定理 正弦定理 分析 1 利用降幂公式 三角形内角和定理 诱导公式化简已知可得 5sin2A 4sinA 0 结合范围 A 0 即可解得 sinA 的值 2 由余弦定理可得 c2 6c 7 0 解得 c 的值 利用平面向量的运算可求 2的 值 进而可求 AD 的值 解答 解 1 sinA cos2 1 sinA 1 即 2sinA cosA 1 2 分 2sinA 1 2 cos2A 即 5sin2A 4sinA 0 A 0 sinA 0 sinA cosA 6 分 2 a 4 b 5 cosA 由余弦定理可得 32 25 c2 2 5c 即 c2 6c 7 0 解得 c 7 10 分 2 bccosA 25 12 分 AD 5 14 分 点评 本题主要考查了降幂公式 三角形内角和定理 诱导公式 余弦定理 平面向量的运算在解三角形中的综合应用 考查了转化思想 属于中档题 16 14 分 2016 秋 无锡期末 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 AP 平面 PCD E F 分别为 PC AB 的中点 求证 1 平面 PAD 平面 ABCD 2 EF 平面 PAD 考点 直线与平面平行的判定 平面与平面垂直的判定 分析 1 利用线面垂直的性质可证 AP CD 又 ABCD 为矩形 AD CD 利用线面垂直的判定定理可证 CD 平面 PAD 利用面面垂直的判定可证平面 PAD 平面 ABCD 2 连接 AC BD 交于点 O 连接 OE OF 由 ABCD 为矩形 O 点为 AC 中点 可证 OE PA 进而可证 OE 平面 PAD 同理可得 OF 平面 PAD 通过证明 平面 OEF 平面 PAD 即可证明 EF 平面 PAD 解答 证明 1 AP 平面 PCD CD 平面 PCD AP CD ABCD 为矩形 AD CD 2 分 又 AP AD A AP 平面 PAD AD 平面 PAD CD 平面 PAD 4 分 CD 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD 6 分 2 连接 AC BD 交于点 O 连接 OE OF ABCD 为矩形 O 点为 AC 中点 E 为 PC 中点 OE PA OE 平面 PAD PA 平面 PAD OE 平面 PAD 8 分 同理可得 OF 平面 PAD 10 分 OE OF O 平面 OEF 平面 PAD 12 分 EF 平面 OEF EF 平面 PAD 14 分 点评 本题主要考查了线面垂直的判定和性质 面面垂直的判定 线面平行 的判定与面面平行的性质的综合应用 考查了空间想象能力和推理论证能力 属于中档题 17 14 分 2016 秋 无锡期末 某地拟在一个 U 形水面 PABQ A B 90 上修一条堤坝 E 在 AP 上 N 在 BQ 上 围出一个封 闭区域 EABN 用以种植水生植物 为了美观起见 决定从 AB 上点 M 处分别向 点 E N 拉 2 条分割线 ME MN 将所围区域分成 3 个部分 如图 每部分 种植不同的水生植物 已知 AB a EM BM MEN 90 设所拉分割线总长度 为 l 1 设 AME 2 求用 表示的 l 函数表达式 并写出定义域 2 求 l 的最小值 考点 在实际问题中建立三角函数模型 分析 1 设 AME 2 求出 EM MN 即可求用 表示的 l 函数表达式 并写出定义域 2 令 f sin 1 sin sin 0 即可求 l 的最小值 解答 解 1 EM BM B MEN BMN EMN BNM MNE AME 2 BNM MNE 设 MN x 在 BMN 中 BM xsin EM BM xsin EAM 中 AM EMcos2 xsin cos2 AM BM a xsin cos2 xsin a x l EM MN 0 2 令 f sin 1 sin sin 0 f 当且仅当 时 取得最大值 此时 lmin 2a 点评 本题考查利用数学知识解决实际问题 考查三角函数模型的运用 属 于中档题 18 16 分 2016 秋 无锡期末 已知椭圆 动直线 l 与椭圆交于 B C 两点 B 在第一象限 1 若点 B 的坐标为 1 求 OBC 面积的最大值 2 设 B x1 y1 C x2 y2 且 3y1 y2 0 求当 OBC 面积最大时 直 线 l 的方程 考点 椭圆的简单性质 分析 1 直线 OB 的方程为 y x 即 3x 2y 0 设经过点 C 且平行于直 线 OB 的直线 l 方程为 y x b 则当 l 与椭圆只有一个公共点时 OBC 的面 积最大 此时直线与椭圆相切 2 直线 l 与 y 轴不垂直 设直线 l 的方程为 x my n 与椭圆方程联立化为 3m2 4 y2 6mny 3n2 12 0 利用根与系数的关系及其 3y1 y2 0 可得 n2 则 S OBC y1 y2 2 n y1 进而得出结论 解答 解 1 直线 OB 的方程为 y x 即 3x 2y 0 设经过点 C 且平行 于直线 OB 的直线 l 方程为 y x b 则当 l 与椭圆只有一个公共点时 OBC 的面积最大 联立 化为 3x2 3bx b2 3 0 由 9b2 12 b2 3 0 解得 b 当 b 2时 C 当 b 2 时 C S OBC 2 直线 l 与 y 轴不垂直 设直线 l 的方程为 x my n 联立 化 为 3m2 4 y2 6mny 3n2 12 0 y1 y2 y1 y2 3y1 y2 0 y1 n2 S OBC y1 y2 2 n y1 B 在第一象限 x1 my1 n n 0 n 0 y1 0 m 0 S OBC 当且仅当 m 时取等号 此时 n 此时直线 l 的方程为 x y 即 2x y 0 点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质 直线与椭圆相交弦长问题 直 线与椭圆相切问题 三角形面积计算公式 基本不等式的性质 考查了推理能 力与计算能力 属于难题 19 16 分 2016 秋 无锡期末 数列 an 的前 n 项和为 Sn 1 求 r 的值及数列 an 的通项公式 2 设 记 bn 的前 n 项和为 Tn 当 n N 时 T2n Tn恒成立 求实数 的取值范围 求证 存在关于 n 的整式 g n 使得对一切 n 2 n N 都成立 考点 数列的求和 数列与不等式的综合 分析 1 n 1 时 S1 a1 a1 解得 r 可得 Sn an 利用递推关 系可得 n 2 利用 累乘求积 方法可得 an 2 bn Tn T2n 作差可得数列 T2n Tn 的单调性 利用当 n N 时 T2n Tn恒成立 可得 的求值范围 由 可得 n 2 时 Tn Tn 1 即 n 1 Tn nTn 1 Tn 1 1 n 2 时 可得 n 1 Tn 1 即可得出 解答 1 解 n 1 时 S1 a1 a1 解得 r Sn an n 2 时 Sn 1 an 1 两式相减可得 an an an 1 n 2 an 2 n n 1 n 1 时也适合 an n n 1 2 解 bn Tn T2n T2n Tn 令 Bn T2n Tn 则 Bn 1 Bn 0 因此数列 Bn 单调递增 Bn min 当 n N 时 T2n Tn恒成立 证明 由 可得 n 2 时 Tn Tn 1 即 n 1 Tn nTn 1 Tn 1 1 n 2 时 3T2 2T1 4T3 3T2 n 1 Tn nTn 1 n 1 Tn 2T1 n 1 Tn 1 存在关于 n 的整式 g n n 1 使得对一切 n 2 n N 都成立 点评 本题考查了数列的递推关系 累乘求积 方法 累加求和 方法 作 差法 考查了推理能力与计算能力 属于难题 20 16 分 2016 秋 无锡期末 已知 f x x2 mx 1 m R g x ex 1 当 x 0 2 时 F x f x g x 为增函数 求实数 m 的取值范围 2 若 m 1 0 设函数 求证 对任意 x1 x2 1 1 m G x1 H x2 恒成立 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 分析 1 求出函数 F x 的导数 分离参数 问题转化为 m ex 2x 在 0 2 恒成立 令 h x ex 2x x 0 2 根据函数的单调性求出 m 的范围 即可 2 问题转化为证 G x max H x min 根据函数的单调性分别求出 G x 的最大值和 H x 的最小值 从而证出结论 解答 解 1 F x x2 mx 1 ex F x 2x m ex x 0 2 时 F x 是增函数 F x 0 即 2x m ex 0 在 0 2 上恒成立 即 m ex 2x 在 0 2 恒成立 令 h x ex 2x x 0 2 则 h x ex 2 令 h x 0 解得 x ln2 h x 在 0 ln2 递减 在 ln2 2 递增 h 0 1 h 2 e2 4 1 h x max h 2 e2 4 2 G x 则 G x 对任意 x1 x2 1 1 m G x1 H x2 恒成立 即证 G x max H x min x 1 1 m G x 在 1 1 m 递增 G x max G 1 m H x 在 1 1 m 递减 H x min H 1 m 1 m 要证 G x max H x min 即证 1 m 即证 4 2 m e1 m 5 1 m 令 1 m t 则 t 1 2 设 r x ex 5 x 4 x 1 x 1 2 即 r x 5ex xex 4x 4 r x 4 x ex 4 2ex 4 0 r x 在 1 2 递增 r 1 4e 8 0 ex 5 x 4 x 1 从而有 1 m 即当 x 1 1 m G x1 H x2 恒成立 点评 本题考查了函数的单调性 最值问题 考查导数的应用以及分类讨论 思想 是一道中档题 加试题说明 解答时 应写出文字说明 证明过程或演算步骤加试题说明 解答时 应写出文字说明 证明过程或演算步骤 选修选修 4 4 坐标 坐标 系与参数方程系与参数方程 21 2016 秋 无锡期末 设极坐标系的极点为直角坐标系的原点 极轴为 x 轴的正半轴 已知曲线 C 的极坐标方程为 8sin 1 求曲线 C 的直角坐标方程 2 设直线 t 为参数 与曲线 C 交于 A B 两点 求 AB 的长 考点 参数方程化成普通方程 分析 1 曲线 C 的极坐标方程为 8sin 即 2 8 sin 利用互化公式可 得曲线 C 的直角坐标方程 2 设直线 t 为参数 的直角坐标方程为 y x 2 x2 y2 8y 配方为 x2 y 4 2 16 可得圆心 C 0 4 半径 r 4 求出圆心 C 到直线的距离 d 可得 AB 2 解答 解 1 曲线 C 的极坐标方程为 8sin 即 2 8 sin 曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 8y 2 设直线 t 为参数 的直角坐标方程为 y x 2 x2 y2 8y 配方为 x2 y 4 2 16 可得圆心 C 0 4 半径 r 4 圆心 C 到直线的距离 d AB 2 2 点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程 点到直线的距离公式公式 直线与圆直角弦长问题 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 选修选修 4 2 矩阵与变换 矩阵与变换 22 2016 秋 无锡期末 已知变换 T 将平面上的点分别变换 为点 设变换 T 对应的矩阵为 M 1 求矩阵 M 2 求矩阵 M 的特征值 考点 特征向量的意义 几种特殊的矩阵变换 分析 1 设 M 由矩阵变换可得方程组 解方程即可得到所求 2 设矩阵 M 的特征多项式为 f 可得特征多项式 解方程可得特征 值 解答 解 1 设 M 则 即为 即 a 3 b c 4 d 4 则 M 2 设矩阵 M 的特征多项式为 f 可得 f 3 4 6 2 7 6 令 f 0 可得 1 或 6 点评 本题考查矩阵变换和特征值的求法 注意运用待定系数法 考查方程 思想的运用 属于基础题 23 2016 秋 无锡期末 某小区停车场的收费标准为 每车每次停车时间不 超过 2 小时免费 超过 2 小时的部分每小时收费 1 元 不足 1 小时的部分按 1 小时计算 现有甲乙两人独立来停车场停车 各停车