平行四边形的性质和判定

1 平行四边形的性质和判定平行四边形的性质和判定 基础知识点基础知识点 知识点知识点 1 平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 记作 ABCD 知识点知识点 2 平行四边形的性质 边 对边平行且相等 角 对角相等 邻角互补 对角线 对角线互相平分 知识点知识点 3 平行四边形的判定 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 知识点知识点 4 两条平行线的距离 知识点知识点 5 三角形的中位线 定义 连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线 性质 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半 典型例题典型例题 例例 1 1 如图 是平行四边形的对角线上的点 猜想 与有怎样的位置关EF ABCDACCEAF BEDF 系和数量关系 并对你的猜想加以证明 A BC D A BC D E F 2 变式练习变式练习 已知 在 ABCD 中 点 E F 分别在 AD CB 的延长线上 且 1 2 DF 交 AB 于 G BE 交 CD 于 H 求证 EH FG 例例 2 2 已知如图 O 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点 EF 经过点 O 且与 AB 交于 E 与 CD 交于 F 求证 四边形 AECF 是平行四边形 例例 3 3 ABCD 中 BAD 的平分线交直线 BC 于点 E 线 DC 于点 F 1 求证 CE CF 2 若 ABC 120 FG CE FG CE 求 BDG 变式练习变式练习 1 1 如图 在ABCD 中 AE CF M N 分别 ED FB 的中点 求证 四边形 ENFM 是平行四边形 A G F B C D H E 2 1 A B F C M D N E 3 2 在 ABCD 中 ADC 的平分线交直线 BC 于点 E 交 AB 的延长线于点 F 连接 AC 1 如图 1 若 ADC 90 G 是 EF 的中点 连接 AG CG 求证 BE BF 请判断 AGC 的形状 并说明理由 2 如图 2 若 ADC 60 将线段 FB 绕点 F 顺时针旋转 60 至 FG 连接 AG CG 那么 AGC 又是怎样的 形状 例例 4 4 如图 点 E F G H 分别是四边形 ABCD 的四边中点 求证四边形 EFGH 是平行四边形 变式练习变式练习 1 在平行四边形 ABCD 中 AB 3cm BC 5cm 对角线 AC BD 相交于点 O 则 OA 的取值范围是 A 2cm OA 5cm B 2cm OA 8cm C 1cm OA 4cm D 3cm OA 8cm A B C D E F G H 4 2 如图 点 E F G H 分别是线段 AB BC CD AD 的中点 则四边形 EFGH 是什么图形 并说明理由 4 如图 四边形 ABCD 中 AC BD 是对角线 ABC 是等边三角形 ADC 30 AD 3 BD 5 则四边形 ABCD 的面积为 A B C D E F G H 5 例例 5 5 如图 在ABCD 中 AE BC 于点 E E 恰为 BC 的中点 tanB 2 1 求证 AD AE 2 如图 点 P 在线段 BE 上 作 EF DP 与点 F 连接 AF 求证 DF EF AF 3 当 P 为线段 EC 上任意一点 P 不与点 E 重合时 作 EF 直线 DP 垂足为点 F 连接 AF 线段 DF EF 与 AF 之间有怎样的数量关系 直接写出你的结论 思维误区思维误区 误区一 误区一 不能正确地理解平行四边形的判定方法 误区二 误区二 不注意分类 误区三 误区三 错误地运用条件 方法规律方法规律 概念规律概念规律关键关键 平行四边形的定义两组对边分别平行 平行四边形的性质合理运用到题中 选取正确快捷的方法 平行四边形的判定结合图形与条件 选择正确的判定方法 三角形的中位线注意构造和应用 巩固练习巩固练习 1 已知四边形 ABCD 中 AB DC 则可以添加条件 使四边形 ABCD 是平行四边形 图形中不再添加辅助线 6 2 ABCD 中 AC BD 相交于点 O 则的周长为 的面8 12 20ABACBD AOB AOB 积为 3 如图所示 在 ABCD 中 AB 5 AD 8 DE 平分 ADC 则 BE 4 从平行四边形的一个锐角的顶点做两条高线 如果这两条高线的夹角是 135 这个平行四边形的锐角的度 数是 5 如图 P 是四边形 ABCD 的 DC 边上的一个动点 当四边形 ABCD 满足条件 时 PBA 的面积 始终保持不变 注 只需填上你认为正确的一种条件即可 不必考虑所有可能的情形 6 如图 ABCD 中 AE BD EAD 60 AE 2cm AC BD 14cm 则 OBC 的周长是 cm 7 能判别一个四边形是平行四边形的条件是 A 一组对边相等 另一组对边平行 B 一组对边平行 一组对角互补 C 一组对角相等 一组邻角互补 D 一组对角互补 另一组对角相等 8 如图 平行四边形 ABCD 中 AE 平分 DAB B 100 则 DEA 等于 A 100 B 80 C 60 D 40 9 顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 10 如图 ABCD 中 EF 过对角线的交点 O AB 4 AD 3 OF 1 3 则四边形 BCEF 的周长为 A 8 3B 9 6C 12 6 D 13 6 7 ABF O CED 11 已知 如图 ABC BD 平分 ABC DE BC EF BC 求证 BE CF 12 已知 如图 平行四边形 ABCD 中 点 E F 分别在 CD AB 上 DF BE EF 交 BD 于点 O 求证 EO OF 13 如图 在四边形 ABCD 中 AD BC OE OF OA OC 求证 四边形 ABCD 是平行四边形 14 已知 ABCD 中 直线 MN AC 分别交 DA 延长线于 M DC 延长线于 N AB 于 P BC 于 Q 求证 PM QN 15 如图 在平行四边形 ABCD 中 AD 2AB M 是 AD 的中点 CE AB 于 E 如果 CEM 40 则 DME 的度数是 多少度 A B C D M N P Q 8 16 已知平行四边形 ABCD 对角线 AC 和 BD 相交于点 O 点 P 在边 AD 上 过点 P 作 PE AC PF BD 垂足分 别为 E F PE PF 1 如图 若 PE EO 1 求 EPF 的度数 3 2 若点 P 是 AD 的中点 点 F 是 DO 的中点 BF BC 3 4 求 BC 的长 2 17 如图 在四边形 ABCD 中 AB CD E F 分别是 BC AD 的中点 连接 EF 并延长 分别与 BA CD 的延长线 交于点 M N 则 BME CNE 不必证明 温馨提示 在图 1 中 连接 BD 取 BD 的中点 H 连接 HE HF 根据三角形中位线定理 证明 HE HF 从 而 1 2 再利用平行线的性质 可证明 BME CNE 1 如图 2 在四边形 ADBC 中 AB 与 CD 相交于点 O AB CD E F 分别是 BC AD 的中点 连接 EF 分别 交 CD BA 于点 M N 判断 OMN 的形状 请直接写出结论 2 如图 3 中 在 ABC 中 AC AB D 点在 AC 上 AB CD E F 分别是 BC AD 的中点 连接 EF 并延长 与 BA 的延长线交于点 G 若 EFC 60 连接 GD 判断 AGD 形状并证明 图 1 2 1 H N M F E D C A B N M E F O A B C D 图 2 EC B F A D G 图 3 9 18 如图 在菱形 ABCD 与菱形 BEFG 中 点 A B 在同一直线上 P 是线段 DF 的中点 连接 PG PC 若 ABC BEF 60 探究 PG 与 PC 的位置关系及 PG PC 的值 1 写出上面问题中 PG 与 PC 的位置关系及 PG PC