第六章　不等式阶段质量检测

1 第六章第六章 不不 等等 式式 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合 A Error B 则 A B x 0 x 3 A B x 1 x 3 x 0 x 3 C D x 0 x 1 解析 由 0 x x 1 0 0 x 1 x x 1 B A B x 0 x 3 x 0 x 1 答案 C 2 若 0 则下列不等式 a b b a2 中正确的是 1 a 1 b b a a b A B C D 解析 由 0 可知 b a0 显然有 a b a 且由均值不等式 1 a 1 b 有 2 2 b a a b b a a b 答案 C 3 在下列函数中 最小值为 2 的是 A y B y x 0 x 2 2 x x 2 x 1 C y sinx x 0 D y 7x 7 x 1 sinx 2 解析 7x 7 x 7x 2 2 1 7x 7x 1 7x 当且仅当 7x 即 x 0 时 成立 1 7x 2 答案 D 4 设奇函数 f x 在 0 上为增函数 且 f 1 0 则不等式 0 的解集 f x f x x 为 A 1 0 1 B 1 0 1 C 1 1 D 1 0 0 1 解析 由函数 f x 为奇函数可知 0 时 f x 0 f 1 当 x0 f 1 又 f x 在 0 上为增函数 则奇函数 f x 在 0 上也为增函数 所以 0 x 1 或 1 x 0 答案 D 5 设 a b R 则 a b 1 是 4ab 1 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 若 a b 1 则 4ab 4a 1 a 4 a 2 1 1 若 4ab 1 取 a 1 2 4 b 1 a b 3 即 a b 1 不成立 则 a b 1 是 4ab 1 的 充分不必要条件 答案 A 6 已知不等式 x2 ax 4 0 的解集不是空集 则实数 a 的取值范围是 A 4 a 4 B 4 a 4 C a 4 或 a 4 D a4 解析 不等式 x2 ax 40 a4 答案 D 7 已知 a1 a2 a3 0 侧使得 1 aix 2 1 i 1 2 3 都成立的 x 的取值范围是 A 0 B 0 1 a1 2 a1 C 0 D 0 2 a2 2 a3 解析 1 aix 2 1 a x2 2aix 0 a x x 0 所以不等式的解集为 0 又 4x p 3 当 0 p 4 时恒成立 则 x 的取值范围是 A 1 3 B 1 C 3 D 1 3 解析 原不等式等价于 x 1 p x2 4x 3 0 令 f p x 1 p x2 4x 3 因为 f p 是 p 的一次函数或常数函数 由 f p 图象的性质知 问题等价于Error 即 Error 解得 x 3 或 x0 a 1 的图象恒过定点 A 若 A 在直线 mx ny 1 0 上 其中 m n 均为正数 则 的最小值为 1 m 2 n A 2 B 4 C 6 D 8 解析 函数 y loga x 3 1 的图象恒过定点 A 2 1 2m n 1 0 即 2m n 1 令 u 2m n 4 8 1 m 2 n 1 m 2 n n m 4m n 答案 D 11 已知函数 f x Error 则不等式 x x 2 f x 2 4 的解集是 A B x 2 x 1 x x 1 C D x x 1 x x 2 解析 当 x 2 0 即 x 2 时 不等式 x x 2 f x 2 4 化为 x x 2 1 4 即 x 1 故 2 x 1 当 x 2 0 即 x0 2 对 任意的 x1 x2 0 1 恒有 2 则关于函数 f x 有 对任意的 f x1 f x2 f 1 x1 f 1 x2 x 0 1 都有 f x f 1 x 对任意的 x 0 1 都有 f x f 1 x 对任意的 x 0 1 都有 f x f 1 x 对任意的 x 0 1 恒有 f x 0 上述命题中正确 的有 A B C D 解析 设 x2 1 x1 得 2 另外可知 2 则 f x1 f 1 x1 f 1 x1 f x1 f x1 f 1 x1 f 1 x1 f x1 2 所以 f x1 f 1 x1 2 0 即 f x1 f 1 x1 f x1 f 1 x1 f 1 x1 f x1 故 f x f 1 x x 0 1 故 错 正确 在题设中 取 x x1 0 1 x2 1 2 得 f x f 1 x 2f 又 f x f 1 x 1 2 则 f x f 对任意的 x 0 1 成立 1 2 另取 x1 x2 x 0 1 得 f x f 对任意的 x 0 1 成立 故 f x f 对任意 1 2 1 2 1 2 的 x 0 1 成立 所以 f x 0 故 正确 答案 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 将答案填在题中的横线上 13 已知向量 a 1 1 b 5 k 若 a b 不超过 5 则 k 的取值范围是 解析 根据题意 a b 5 16 k 1 2 得 k 1 2 9 解得 4 k 2 答案 4 2 14 在 R 上定义运算 x y x 2 y 若不等式 x m x 1 对一切实数 x 恒成立 则实数 m 的取值范围是 5 解析 由题意得不等式 x m 2 x 0 对任意 x R 恒成立 因此 m 2 2 4 1 2m 0 即 m2 4m 0 解得 4 m0 则 y 3 2x 的最大值等于 1 x 解析 x 0 则 2x 2 1 x2 所以 2x 2 2x 时 x 时等号成立 则 y 3 2x 3 1 x2 1 x 2 2 1 x 2 即 ymax 3 2 22 答案 3 2 2 16 已知 a b c 且 恒成立 则 k 的取值范围是 1 a b 1 b c k a c 解析 依题意 k a c 1 a b 1 b c a b b c 2 恒成立 又 2 4 1 a b 1 b c a b b c b c a b a b b c b c a b 当且仅当 a b b c 时取 号 故 k 4 答案 4 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题满分 10 分 设 x y 0 试比较 x2 y2 x y 与 x2 y2 x y 的大小 解 x2 y2 x y x2 y2 x y x y x2 y2 x y 2 2xy x y x y 0 xy 0 x y 0 2xy x y 0 x2 y2 x y x2 y2 x y 18 本小题满分 12 分 解下列问题 1 已知 a 0 b 0 且 4a b 1 求 ab 的最大值 2 已知 x 2 求 x 的最小值 4 x 2 3 已知 x 0 y 0 且 x y 1 求 的最小值 4 x 9 y 解 1 法一 a 0 b 0 4a b 1 1 4a b 2 4 4abab 6 当且仅当 4a b 即 a b 时 等号成立 1 2 1 8 1 2 ab 所以 ab 的最大值为 ab 1 4 1 16 1 16 法二 a 0 b 0 4a b 1 ab 4a b 2 1 4 1 4 4a b 2 1 16 当且仅当 4a b 即 a b 时 等号成立 1 2 1 8 1 2 所以 ab 的最大值为 1 16 2 x 2 x 2 0 x x 2 2 2 2 6 4 x 2 4 x 2 x 2 4 x 2 当且仅当 x 2 即 x 4 时 等号成立 4 x 2 所以 x 的最小值为 6 4 x 2 3 x 0 y 0 x y 1 x y 13 4 x 9 y 4 x 9 y 4y x 9x y 13 2 25 4y x 9x y 当且仅当 时等号成立 由Error 得Error 4y x 9x y 当 x y 时取等号 所以 的最小值为 25 2 5 3 5 4 x 9 y 19 本小题满分 12 分 已知函数 f x ax2 4 a 为非零实数 设函数 F x Error 1 若 f 2 0 求 F x 的表达式 2 mn0 试判断 F m F n 能否大于 0 解 1 由 f 2 0 4a 4 0 a 1 F x Error 2 Error m n 一正一负 不妨设 m 0 且 n n 0 7 F m F n f m f n am2 4 an2 4 a m2 n2 当 a 0 时 F m F n 能大于 0 当 a 0 时 F m F n 不能大于 0 20 本小题满分 12 分 解关于 x 的不等式 1 ax 2 1 解 由 1 ax 2 1 得 a2x2 2ax 1 1 即 ax ax 2 0 1 当 a 0 时 不等式转化为 0 0 故 x 无解 2 当 a0 即 x x 0 2 a 0 不等式的解集为 2 a x 2 a x 0 时 不等式转化为 x ax 2 0 不等式的解集为 2 a x 0 x 2 a 综上所述 当 a 0 时 不等式解集为空集 当 a 0 时 不等式解集为 x 2 a x 0 时 不等式解集为 x 0 x 0 c 0 当 x 0 时 1 a c x 函数 f x 在 x 2 处取得最小值 1 1 求函数 f x 的解析式 2 设 k 0 解关于 x 的不等式 3k 1 4f x 2k k 1 4 x 解 1 a 0 c 0 当 x 0 时 f x x 2 1 a c x 1 ac 当 x 即 x 时 函数 f x 取得最小值 c xc 2 c a 由题意