高中物理竞赛辅导：机械振动和机械波

用心 爱心 专心 机械振动和机械波机械振动和机械波 5 5 1 1 简谐振动简谐振动 5 5 1 1 1 1 简谐振动的动力学特点 简谐振动的动力学特点 如果一个物体受到的回复力 回 F 与它偏离平衡位置的位移x 大小成正比 方向相反 即 满足 xKF 回 的关系 那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律 物体 的加速度m K m F a 回 因此作简谐振动的物体 其加速度也和它偏离 平衡位置的位移大小成正比 方何相反 现有一劲度系数为 k 的轻质弹簧 上端固定在 P 点 下端固定一个 质量为 m 的物体 物体平衡时的位置记作 O 点 现把物体拉离 O 点后松 手 使其上下振动 如图 5 1 1 所示 当物体运动到离 O 点距离为 x 处时 有 mgxxkmgFF 0回 式中 0 x 为物体处于平衡位置时 弹簧伸长的长度 且有 mgkx 0 因此 kxF 回 说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移 x 成正比 因回复力指向平衡位置 O 而位移 x 总是背离平衡位置 所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反 竖直 方向的弹簧振子也是简谐振动 注意 物体离开平衡位置的位移 并不就是弹簧伸长的长度 5 5 1 1 2 2 简谐振动的方程 简谐振动的方程 由于简谐振动是变加速运动 讨论起来极不方便 为此 可 引入一个连续的匀速圆周运动 因为它在任一直径上的分运动为 简谐振动 以平衡位置 O 为圆心 以振幅 A 为半径作圆 这圆就 称为参考圆 如图 5 1 2 设有一质点在参考圆上以角速度 作 匀速圆周运动 它在开始时与 O 的连线跟x轴夹角为 0 那么在 时刻 t 参考圆上的质点与 O 的连线跟x的夹角就成为 0 t 它在x轴上的投影点的坐标 cos 0 tAx 2 这就是简谐振动方程 式中 0 是 t 0 时的相位 称为初相 0 t 是 t 时刻的相位 参考圆上的质点的线速度为 A 其方向与参考圆相切 这个线速度在x轴上的投影是 0 cos tAv 3 这也就是简谐振动的速度 参考圆上的质点的加速度为 2 A 其方向指向圆心 它在x轴上的投影是 0 2 cos tAa 4 这也就是简谐振动的加速度 由公式 2 4 可得 xa 2 由牛顿第二定律简谐振动的加速度为 x m k m F a 因此有 x P 图 5 1 1 x A O 0 图 5 1 2 用心 爱心 专心 m k 2 5 简谐振动的周期 T 也就是参考圆上质点的运动周期 所以 k m w T 2 2 5 5 1 3 3 简谐振动的判据 简谐振动的判据 物体的受力或运动 满足下列三条件之一者 其运动即为简谐运动 物体运动中所受回复力应满足 kxF 物体的运动加速度满足 xa 2 物体的运动方程可以表示为 cos 0 tAx 事实上 上述的三条并不是互相独立的 其中条件 是基本的 由它可以导出另外两个 条件 和 5 2 5 2 弹簧振子和单摆弹簧振子和单摆 简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆 下面分别加以讨论 5 5 2 2 1 1 弹簧振子 弹簧振子 弹簧在弹性范围内胡克定律成立 弹簧的弹力为一个线性回复力 因此弹簧振子的运动是简谐振动 振动周期 k m T 2 1 恒力对弹簧振子的作用 比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子 如果 m 和 k 都相同 如图 5 2 1 则它们的振动周期 T 是相同的 也就 是说 一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期 如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子 弹簧原长 0 l 振子的质量为 m 1 0kg 电梯静止 时弹簧伸长 l 0 10m 从 t 0 时 开始电梯以 g 2 的加速度加速下降st 然后又以 g 2 加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长 l 随时间 t 变化的图线 由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动 而电梯是一个有加速度的非惯性系 因此要考虑 弹簧振子所受到的惯性力 f 在匀速运动中 惯性力是一个恒力 不会改变振子的振动周期 振动周期 mkT 2 2 因为 lmgk 所以 2 02sglT 因此在电梯向下加速或减速运动的过程中 振动的次数都为 52 0 次 Ttn 当电梯向下加速运动时 振子受到向上的惯性力 mg 2 在此力和重力 mg 的共同作用下 振子的平衡位置在 2 2 1 1 lkmgl 的地方 同样 当电梯向下减速运动时 振子的平衡位置在 2 3 2 3 2 lkmgl 的地方 在电梯向下加速运动期间 振子 k m m k 图 5 2 1 O T l l 2 l 2 t 图 5 2 2 用心 爱心 专心 正好完成 5 次全振动 因此两个阶段内振子的振幅都是 2 l 弹簧的伸长随时间变化的规 律如图 5 2 2 所示 读者可以思考一下 如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从 5T 时刻而 是从 4 5T 时刻开始的 那么 tl 图线将是怎样的 2 弹簧的组合 设有几个劲度系数分别为1 k 2 k n k 的轻弹簧串联起来 组成 一个新弹簧组 当这个新弹簧组在 F 力作用下伸长时 各弹簧的伸长为1 x 那么总伸长 n i i xx 1 各弹簧受的拉力也是 F 所以有 ii kFx 故 n i i k Fx 1 1 根据劲度系数的定义 弹簧组的劲度系数 xFk 即得 n i i k k 1 1 1 如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组 那么各弹簧的 伸长是相同的 要使各弹簧都伸长x 需要的外力 n i i n i i kxxkF 11 根据劲度系数的定义 弹簧组的劲度系数 n i i k x F k 1 导出了弹簧串 并联的等效劲度系数后 在解题中要灵活地应用 如图 5 2 3 所示 的一个振动装置 两根弹簧到底是并联还是串联 这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征 串联的本质特征是每根弹簧受力相同 并联的本质特征是每根弹簧形变相同 由此可见图 5 2 3 中两根弹簧是串联 当 m 向下偏离平衡位置 x 时 弹簧组伸长了 2 x 增加的弹力为 21 21 22 kk kk xxkF m 受到的合外力 弹簧和动滑轮质量都忽略 x kk kk kk kk xF 21 21 21 21 4 22 所以 m 的振动周期 21 21 4 2 kk kkm T 21 21 kk kkm 再看如图 5 2 4 所示的装置 当弹簧 1 由平衡状态伸长 1 l 时 弹簧 2 由平衡位置伸长了2 l 那么 由杆的平衡条件一定 有 忽略杆的质量 blkalk 2211 m 图 5 2 3 m 1 k 2 k 1 2 b a 图 5 2 4 用心 爱心 专心 1 2 1 2 l b a k k l 由于弹簧 2 的伸长 使弹簧 1 悬点下降 1 2 2 2 1 2 l b a k k b a lx 因此物体 m 总的由平衡位置下降了 2 2 2 2 1 11 1l b a k k xlx 此时 m 所受的合外力 1 2 2 2 1 2 21 11 x bkak bkk lkF 所以系统的振动周期 2 21 2 2 2 1 2 bkk bkakm T 3 没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为A m 和B m 的两木块 A 和 B 用一根劲度系 数为 k 的轻弹簧联接起来 放在光滑的水平桌面上 图 5 2 5 现在让两木块将弹簧压缩后 由静止释放 求系统振动的周期 想象两端各用一个大小为 F 方向相反的力将弹簧压缩 假设某时刻 A B 各偏离了原来 的平衡位置A x 和B x 因为系统受的合力始终是零 所以应该有 BBAA xmxm A B 两物体受的力的大小 kxxFF BABA 由 两式可解得 A B BA A x m mm kF B B BA B x m mm kF 由此可见 A B 两物体都做简谐运动 周期都是 2 BA BA mmk mm T 此问题也可用另一种观点来解释 因为两物体质心处的弹簧是不动的 所以可以将弹簧 看成两段 如果弹簧总长为 0 l 左边一段原长为 0 l mm m BA B 劲度系数为 k m mm B BA 右边 一段原长为 0 l mm m BA A 劲度系数为 k m mm B BA 这样处理所得结果与上述结果是相同的 有兴趣的同学可以讨论 如果将弹簧压缩之后 不是同时释放两个物体 而是先释放一个 再释放另一个 这样两个物体将做什么运动 系统的质 心做什么运动 5 5 2 2 2 2 单摆 单摆 一个质量为 m 的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的 O 点 小球摆动 至与竖直方向夹 角 其受力情况如图 5 2 6 所示 其中回复力 即合力 AB 图 5 2 5 A B F O x mg 图 5 2 6 用心 爱心 专心 的切向分力为 sin mgF回 当 时 振体由于惯性 来不及改变运动 处 于静止状态 5 4 5 4 振动的合成振动的合成 若一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用 在一般情况下其中一个力的存在 不会对另外一个力产生影响 这时物体的振动就是它在各个策动力单独作用下产生的振动相 c x M R o ptHFcos 图 5 3 5 A O P 0 A 0 0 c 1 c 2 c 3 c 321 ccc 图 5 3 7 to x to x to x 瞬态振动 静态振动静态振动受迫振动 a b c 图 5 3 6 用心 爱心 专心 互叠加后的振动 由各策动力单独产生的振动来求它们叠加后的振动 叫振动的合成 5 5 4 4 1 1 同方向 同频率两简谐运动的合成同方向 同频率两简谐运动的合成 当一个物体同时参与同方向的两个振动时 它在某一时刻的位移应为同一时刻两个振动 的位移的代数和 当两振动的频率相同时 设此两振动的位移分别为 cos 111 tAx cos 222 tAx 则合振动的位移应为 21 xxx cos cos 2211 tAtA 22221111 sinsincoscossinsincoscos tAtAtAtA tAAtAA sin sinsin cos coscos 22112211 tAtA sinsincoscos cos tA 上式中 2 2211 2 2211 sinsin coscos AAAAA 2 21221 2 1 cos 2AAAA 2211 2211 coscos sinsin AA AA tg 根据以上结论 进一步可以看到 若 k20 12 或 k 为整数 则 1 cos 12 21 2 221 2 1 2AAAAAAA 即合振动的振幅达到最大值 此时合振动的初位相与分振动的初位相同 或相差 k2 若 12或 12 k 则 1 cos 12 21 2 221 2 1 2AAAAAAA 即合振动的振幅达到最小值 此时合振动的初位相取决于1 A 和2 A 的大小 即当 21 AA 时 合振动的初位相等于 2 11 k 当12 AA 时 合振动的初位相等于 2 22 k 或 当12 AA 时 则 A 0 物体不会发生振动 一般情况下 12 可以任意值 合振动的振幅 A 的取值范围为 21 AA A 21 AA 5 5 4 4 2 2 同方向 频率相近的两振动的合成同方向 频率相近的两振动的合成 设物体同时参与两个不同频率的简谐运动 例如 tAx 111 cos tAx 222 cos 为简单起见 我们已设 0 12 这只要适当地选取时间零点 是可以做到的 如果 再设 AAA 21 则合振动 cos cos 2121 ttAxxx ttA 2 cos 2 cos2 2121 用心 爱心 专心 由于1 和2 相差不多 则有 21 比 21 大很多 由此 上一合振动可 以看成是振幅为 tA 2 cos2 21 随时间变化 角 频率为2 21 的振动 这种振动称为 拍 拍的位 移时间图像大致如图 5 4 1 所示 由图可见 振幅的 变化周期 T 为 tA 2 cos2 21 变化周期的一半 即 2121 2 2 2 2 1 T 或拍频为 21 21 2 1 vv T v 21 5 5 4 4 3 3 同频率相互垂直的两个简谐振动的合成 同频率相互垂直的两个简谐振动的合成 当一物体同时参与相互垂直的振动时 cos 11 tAx cos 22 tAy 合振动的轨迹在直角坐标系中的方程为 sin cos 2 12 2 12 12 2 2 2 2 1 2 A xy A y A x 6 17 当 K2 12 时 2 1 0 K 0 2 12 2 2 2 2 1 2 A xy A y A x 得 x A A y 1 2 合成结果仍为简谐振动 沿斜率为 1 2 A A 的直线作简谐振动 当12 12 K 时 2 1 0 K 1 2 2 2 2 1 2 A y A x 可见 当 2 3 2 12 或 时 合振动均为椭圆振动 但两者旋转方向不同 5 5 5 5 机械波机械波 5 5 5 5 1 1 机械波 机械波 机械振动在介质中的传播形成机械波 波传递的是振动和能量 而介质本身并不迁移 自然界存在两种简单的波 质点振动方向与波的传播方向垂直时 称为横波 与传播方 向一致时 叫纵波 具有切变弹性的介质能传播横波 具有体变弹性的介质可传播纵波 固 体液体中可以同时有横波和纵波 而在气体中一般就只有纵波存在了 o t x T 图 5 4 1 用心 爱心 专心 在波动中 波上相邻两个同相位质点间的距离 叫做一个波长 也就是质点作一个全振 动时 振动传播的距离 由于波上任一个质点都在做受迫振动 因此它们的振动频率都与振 源的振动频率相等 也就是波的频率 在波动中 波长 频率 f 与传播速度v之间满足 T fv 1 注意 波速不同于振动质点的运动速度 波速与传播介质的密度及弹性性质有关 5 5 5 5 2 2 波动方程 波动方程 如图 5 5 1 所示 一列横波以速度v沿x轴正方向传 播 设波源 O 点的振动方程为 cos 0 tAy 在x轴上任意点 P 的振动比 O 点滞后时间v x tp 即 当 O 点相位为 0 t 时 P 点的相位为 0 v x t 由 f 2 fv T l f P 点振动方程为 0 cos v x tAy 2 2cos 0 x ftA 22 cos 0 x t T A 这就是波动方程 它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律 当波向x轴 负方向传播时 2 式只需改变v的正负号 由波动方程 可以 1 求某定点1 x 处的运动规律 将1 xx 代入式 6 14 得 2 2 cos 1 01 x t T Ay cos 1 tA 其中 1 01 2 x 为1 x 质点作简谐振动的初相位 2 求两点1 x 与2 x 的相位差 将2 xx 代入 2 式 得两点1 x 2 x 的相位差 12 21 2 xx 若 kkxx 2 2 12 为整数 则 k2 则该两点同相 它们的位移和速度都 相同 若 kkxx 2 12 12 为整数 则 12 k 则该两点相位相反 它们的 位移和速度大小相同 速度方向刚好相反 球面波的波动方程与平面波相比 略有不同 对于球面波 其振幅随传播距离的增加而 衰减 设离波源距离为1 r 处的振幅为1 A 离波源距离为2 r 处的振幅为2 A 则有 O P x y v 图 5 5 1 用心 爱心 专心 2211 rArA 即振幅与传播的距离成反比 球面简谐波的方程为 2 cos rt r A try 式中 A 是与波源的距离为一个单位长度处的振幅 3 波的叠加和干涉 当空间存在两个 或两个以上 振源发出的波时 空间任 一点的扰动是各个波在该点产生的扰动的矢量和 这叫做波的 叠加原理 当有频率相同 振动方向相同的两列波在空间叠加时 会 出现某些地方振动增强 某些地方振动减弱的现象 叫做波的 干涉 这样的两列波叫相干波 设有两列相干波自振源1 S 2 S 发出 两振源的位相相同 空间任一点 P 至1 S 的距离为1 r 至2 S 的距离为2 r 图 5 5 2 则两列波在 P 点产生的振动 的相位差为 12 2 rr 当 kk 2 为整数 即当波程差 2 2 12 krrr 时 P 点的合振动加强 当 12 k 即当波程差 2 12 12 krrr 时 P 点的合振动减弱 可见 P 点振动 的强弱由波程差12 rrr 决定 是 P 点位置的函数 总之 当某一点距离两同位相波源的波程差等于零或者是波长的 整数倍时 该点振动的合振幅最大 即其振动总是加强的 当某一点 距离两同位波源的波程差等于半波长或半波长的奇数倍时 该点振动 的合振幅最小 即其振动总是削弱的 4 波的反射 折射和衍射 当波在传播过程中遇到的两种介质的交界面时 一部 分返回原介质中 称为反射波 另一部分将透入第二种介 质继续传播 称为折射波 入射波的传播方向与交界面的 法线成i角 i叫入射角 反射波的传播方向与交界面的 法线成 i 角 i 叫反射角 折射波的传播方向与法线成 角 叫折射角 如图 5 5 3 则有 ii 2 1 sin sin c c r i 式中1 c 为波在入射介质中的传播速度 2 c 为波在折射 介质中的传播速度 1 式称为波的反射定律 2 式称 为波的折射定律 弦上的波在线密度不同的两种弦的连结点处要发生反射 反射的波形有所不同 1 S P 2 S d r 1 r 2 r 图 5 5 2 图 5 5 4 图 5 5 5 i i r 1 C 2 C 图 5 5 3 用心 爱心 专心 设弦上有一向上脉冲波 如图 5 5 4 传到自由端以后反射 自由端可看成新的振源 振动得以继续延续下去 故反身波仍为向上的脉冲波 只是波形左右颠倒 当弦上有向上脉 冲波经固定端反射时 固定端也可看成新的 振源 由牛顿第三定律 固定端对弦的作用 力方向与原脉冲对固定端的作用力方向相反 故反射脉冲向下 即波形不仅左 右颠倒 上 下也颠倒 这时反射波可看成入射波反向延伸的负值 如图 5 5 5 将周期波看成一系列连 续脉冲 周期波经自由端或固定端的反射也可由此得出 波在传播过程中遇到障碍物时 偏离原来的传播方向 传到障碍物 阴影 区域的现象 叫波的衍射 当障碍物或孔的尺寸比波长小 或者跟波长相差不多时 衍射现象比较明显 当障碍物或孔的尺寸比波长大的时候 衍射现象仍然存在 只是发生衍射的部分跟直进部分 相比 范围较小 强度很弱 不够明显而已 此外 在障碍物或小孔尺寸一定的情况下 波 长越长 衍射现象越明显 5 5 6 6 5 5 驻波 驻波 驻波是频率相同 振幅相同 振动方向一致 传播方向相反的两列简谐波叠加的结果 如图 6 5 6 设弦上传递的是连续的周期波 波源的振动方程为 tAy cos 0 向左传播的入射波表达式为 2 cos 1 xtAy 设波源到固定端的距离为 4 5 则入射波传到反射点时的相位为 2 5 4 5 22 ttxt 考虑到入射波和反射波在连接点的振动相位相反 即入射波在反射时产生了 的相位突 变 故反射波在反射点的相位为 2 7 2 5 tt 反射波在原点 P 的相位为 6 2 5 2 7 tt 因而 反射波的波动方程为 2 cos 2 6cos 2 xtAxtAy 合成波为 2 cos 2 cos 21 xtAxtAyyy txA cos 2 cos 2 合成波的振幅为 2 cos 2xA 与 x 有 关 振幅最大处为波腹 振幅最小处为波节 波 腹的位置为 kx 2 用心 爱心 专心 即2 kx 2 1 0 k 如图 5 6 6 中的 D E F 等处 波节的位置为 2 1 2 kx 即2 2 1 kx 2 1 0 k 如图 5 5 7 中的 O A B 等处 相邻两波节 或波腹 之间的 间距为2 不同时刻驻波的波形如图 5 6 7 所示 其中实线表示 0 t T 2T 时的波形 点线表示 Tt 2 1 T 2 3 时的波形 点划 线表示 Tt 8 1 T 8 9 时的波形 5 5 5 5 6 6 多普勒效应 多普勒效应 站在铁路旁边听到车的汽笛声 发现当列车迎面而来时音调较静止时为高 而列车迅速 离去时音调较静止时为低 此外 若声源静止而观察者运动 或者声源和观察者都运动 也 会发生收听频率和声源频率不一致的现象 这种现象称为多普勒效应 下面分别探讨各种情 况下多普勒频移的公式 1 波源静止观察者运动情形 如图 5 5 8 所示 静止点波源发出的球面波波面是 同心的 若观察者以速度D v 趋向或离开波源 则波动 相对于观察者的传播速度变为D vcc 或D vcc 于是观察者感受到的频率为 D vcc f 从而它与波源频率 f 之比为 c vc f f D 2 波源运动观察者静止情形 若波源以速度 S v 运动 它发出的球面波不再同 心 图 5 5 9 所示两圆分别是时间相隔一个周期 T 的 两个波面 它们中心之间的距离为 S v T 从而对于迎 面而来或背离而去的观察者来说 有效的波长为 TvcTv SS 观察者感受到的频率为 ABD E F O x y 图 5 5 6 2A 2 波节波节波腹 波腹 图 5 5 7 D v c D SD D v c c c c c c c 图 5 5 8 vsT vsT DD 图 5 5 9 用心 爱心 专心 SS vc cf Tvc cc f 因而它与波源频率 f 之比为 S vc c f f 3 波源和观察者都运动的情形 此处只考虑波的传播方向 波源速度 观察者速度三者共线的特殊情况 这时有效波速 和波长都发生了变化 观察者感受到的频率为 f vc vc Tvc vcc f S D S D 从而它与波源频率 f 之比为 S D vc vc f f 下举一个例 单行道上 有一支乐队 沿同一个方向前进 乐队后面有一坐在车上的旅行者向他 们靠近 此时 乐队正在奏出频率为 440HZ 的音调 在乐队前的街上有一固定话筒作现场转 播 旅行者从车上的收音机收听演奏 发现从前面乐队直接听到的声音和从广播听到的声音 混合后产生拍 并测出三秒钟有四拍 车速为 18km h 求乐队前进速度 声速 330m s 解 先考虑车上听到的频率 连续两次应用多普勒效应 有 01 f vc c f 乐 12 1 f c v f 车 2 f 为