一维谐振子的本征值问题

一维谐振子的本征值问题一维谐振子的本征值问题 姜罗罗姜罗罗 赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业 20002000 级 级 2 2 班 班 摘要 一维谐振子的本征值问题属于定态问题 本文首先给出了一维谐摘要 一维谐振子的本征值问题属于定态问题 本文首先给出了一维谐 振子本征值问题的振子本征值问题的 HeisenbergHeisenberg 矩阵力学解法 矩阵力学解法 DiracDirac 算子代数解法和算子代数解法和 SchrSchr dingerdinger 波动力学解法 在此基础上 给出了一维半壁谐振子势阱 垒 波动力学解法 在此基础上 给出了一维半壁谐振子势阱 垒 问题的解法 然后讨论了相干态和压缩态 它们是非经典量子效应 在超标问题的解法 然后讨论了相干态和压缩态 它们是非经典量子效应 在超标 准量子极限的高精度光学测量 超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应准量子极限的高精度光学测量 超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应 用前景 是物理学研究前沿课题之一 最后从用前景 是物理学研究前沿课题之一 最后从 DiracDirac 算子代数中求解出算子代数中求解出 的本的本 a 征态即谐振子的相干态 并由降算符征态即谐振子的相干态 并由降算符 与升算符与升算符 光子数 光子数 与相位与相位 的最小的最小 a a n 不确定关系得出相干态和压缩态 不确定关系得出相干态和压缩态 关键词 量子力学 一维谐振子 关键词 量子力学 一维谐振子 HeisenbergHeisenberg 矩阵力学 算子代数解法 矩阵力学 算子代数解法 SchrSchr dingerdinger 波动力学 一维半壁谐振子势阱 垒 波动力学 一维半壁谐振子势阱 垒 相干态 压缩态 相干态 压缩态 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的 例子 而且任何体系在平衡位置附近的小振动 例如例子 而且任何体系在平衡位置附近的小振动 例如 分子的振动 原子核辐分子的振动 原子核辐 射场及其他玻色场的振动等 在选择恰当的坐标后 常常可以分解为若干彼射场及其他玻色场的振动等 在选择恰当的坐标后 常常可以分解为若干彼 此独立的一维谐振子振动此独立的一维谐振子振动 1925 1925 年年 HeisenbergHeisenberg 发现矩阵力学 发现矩阵力学 19261926 年年 1 SchrSchr dingerdinger 创立波动力学 同时 创立波动力学 同时 DiracDirac 创立在数学上更为一般的理论创立在数学上更为一般的理论 可可 包括矩阵及波动两种形式包括矩阵及波动两种形式 一维谐振子的能力本征值问题 在历史上首先为一维谐振子的能力本征值问题 在历史上首先为 2 HeisenbergHeisenberg 的矩阵力学解决 后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解 一的矩阵力学解决 后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解 一 般的教材只给定了波动力学的解法般的教材只给定了波动力学的解法 自自 19631963 年 年 GlauberGlauber等人提出谐振子等人提出谐振子 3 4 相干态以后 相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们相干态以后 相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们 的关注 被广泛应用于量子光学等领域的关注 被广泛应用于量子光学等领域 135 一维谐振子的本征值问题属于定态问题 本文首先给出了一维谐振子本一维谐振子的本征值问题属于定态问题 本文首先给出了一维谐振子本 征值问题的征值问题的 HeisenbergHeisenberg 矩阵力学解法 矩阵力学解法 DiracDirac 算子代数解法和算子代数解法和 SchrSchr dingerdinger 波动力学解法 在此基础上 给出了一维半壁谐振子势阱 垒 问题的解法 波动力学解法 在此基础上 给出了一维半壁谐振子势阱 垒 问题的解法 然后讨论了相干态和压缩态 它们是非经典量子效应 在超标准量子极限的然后讨论了相干态和压缩态 它们是非经典量子效应 在超标准量子极限的 高精度光学测量 超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景 是物高精度光学测量 超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景 是物 理学研究前沿课题之一 最后从理学研究前沿课题之一 最后从 DiracDirac 算子代数中求解出算子代数中求解出 的本征态即谐振子的本征态即谐振子 a 的相干态 并由降算符的相干态 并由降算符 与升算符与升算符 光子数 光子数 与相位与相位 的最小不确定关系得的最小不确定关系得 a a n 出相干态和压缩态 出相干态和压缩态 1 1 矩阵力学解法矩阵力学解法 取自然平衡位置为坐标原点 并选原点为势能零点 则一维谐振子势取自然平衡位置为坐标原点 并选原点为势能零点 则一维谐振子势 V V 可表成可表成 2 2 1 kxVx k k 为刻画简谐作用力强度的参数为刻画简谐作用力强度的参数 设谐振子质量为设谐振子质量为 令 令 k 它是经典谐振子的自然频率 则一维谐振子的它是经典谐振子的自然频率 则一维谐振子的 HamiltonHamilton 量可表为量可表为 图图 一维谐振子势 一维谐振子势 3 3 22 2 2 1 2 x p H 在能量在能量表象中 由于表象中 由于H 4a 4a pxf i x xf 4b 4b xpf i x pf 因此有因此有 2 HPPH i x x H 5a 5a 5b 5b HXXH ip p H 取取表象的矩阵元表象的矩阵元 由于 由于H ij ijijij EH 6 6 故有故有 7a 7a ijjiij pEE i x 2 7b 7b ijji ij xEE i p 由于由于矩阵的对角性 矩阵的对角性 7a 7a 7b 7b 两式中的矩阵乘法的取和消失了 且只两式中的矩阵乘法的取和消失了 且只H 是是和和 两个未知量的方程 与两个未知量的方程 与 x x p p 的其它矩阵元无关 这是谐振子特性的其它矩阵元无关 这是谐振子特性 ij ij p 的体现 从而使得求解矩阵元大为简化 得的体现 从而使得求解矩阵元大为简化 得 8 8 ji EE 则有则有 9 9 iEi 2 1 0 i10 不为零的矩阵元为不为零的矩阵元为 10a 10a 1 1 ijijijij pp 10b 10b 1 1 ijijijij xx 由由 6 6 式得式得 11 11 2 1 2 1 ipp iiii 此式的解为此式的解为 12 12 2 1 1 icp ii 由由 10b 10b 式可知式可知 为满足此条件应有 为满足此条件应有0 i 即即 0 0 1 p0 2 1 1 c 得得 2 1 13 13 则则 1 1 2 2 2 1 iEii 14 14 2 2 DiracDirac 算符算子代数解法算符算子代数解法 2 12 1 求解一维谐振子能量本征值求解一维谐振子能量本征值 由由 3 3 式 采用自然单位式 采用自然单位 则 则1 15 15 2 1 22 pxH 因此因此 H H 具有相空中的旋转不变性 令具有相空中的旋转不变性 令 16a 16a 2 1 2 1 xd d xp ixa 16b 16b 2 1 2 1 xd d xp ixa 利用利用 容易得 容易得 ipx 17 17 1 pxiaa 对对 H H 进行因式分解进行因式分解 18 18 2 1 2 1 1 2 1 Naax xd d x xd d H 式中式中 19 19 aaN 则则 0 0 H N 20 20 因为因为 21 21 0 2 aaaN 22 22 NaaaaN 所以所以为正定为正定 HermiteHermite 算符 算符 亦为正定亦为正定 HermiteHermite 算符算符 N H 设设 23 23 nnnN n n 为正数 为正数 表示表示的一个本征态 由的一个本征态 由 17 18 17 18 式得式得nN 24a 24a aaN 24b 24b aaN 25a 25a nannNaaNnaN 1 25b 25b nannNaaNnaN 1 因此可知 若因此可知 若为为的本征态 且本征值为的本征态 且本征值为 n n 则 则与与也是也是的本征态 的本征态 nN n a na N 且本征值为且本征值为 n 1n 1 n 1n 1 由由 25a 25a 式可知式可知是是的本征态 从的本征态 从的某个本征态的某个本征态出发 逐次用降出发 逐次用降n a N N n 算符算符 运算可得运算可得的一系列本征态 的一系列本征态 a N 26 26 nn a 2 a n 相应的本征值为相应的本征值为 n n n 1n 1 n 2n 2 27 27 因为因为为正定为正定 HermiteHermite 算符 它的所有本征值必须算符 它的所有本征值必须 设 设的最小本征值为的最小本征值为N 0 N 本征态为 本征态为 故它的必须满足 故它的必须满足 0 n 0 n 28 28 0 0 na 由此可得由此可得 29 29 0 00 naanN 即即是是的本征值 对应本征值为的本征值 对应本征值为 0 0 因此 因此可记为可记为 0 nN 0 n 0 n0 由由 25b 25b 式可知 式可知 也是也是的本征态 从的本征态 从 的最小本征值的最小本征值 0 0 对应的对应的na N N 0 n 本征态本征态出发 逐次运用算符出发 逐次运用算符可得可得的全部本征态的全部本征态0 a N 0 a 0 2 a0 30 30 相应本征值为相应本征值为 0 0 1 1 2 2 31 31 可以得可以得 的归一化本征态的归一化本征态N 32 32 0 1 n a n n 它是它是的本征态的本征态H 0 n EnH 33 33 n 0n 0 1 1 2 2 2 1 nEn 34 34 添上能量单位 添上能量单位 n 0n 0 1 1 2 2 2 1 nEn 35 35 2 22 2 求解波函数求解波函数 由由 28 28 式式 0 0 即即得 得 a 000 2 1 px 36 36 0 2 1 0 x xd d x 解得解得 2 00 22 x eNx 37 37 由归一化条件由归一化条件得 得 1 2 dxx n 38 38 2 1 0 2 N 由由 32 32 式得式得 即 即0 1 n a n n 39 39 1 0 xa n x n n 22 1 22 2 x n n e dx d x nn 令令 则 则 36 36 式可写成式可写成 x 22 1 22 2 x n n n e d d nn 2 2 eHN nn 40 40 41 41 n N 2 1 2 nn n 42 42 22 1 e d d eH nn n 易得易得 即即 n n 的奇偶性决定谐振子波函数的奇偶性 的奇偶性决定谐振子波函数的奇偶性 x n n 1 x n 2 32 3 HermiteHermite 多项式的递推关系多项式的递推关系 43 43 1 2 1 nnn xd d xna 44 44 11 2 1 nnn xd d xna 因此因此 45 45 2 11 2 22 2 1 eHNneHN d d nnnn 46 46 2 11 2 22 1 2 1 eHNneHN d d nnnn 由由 45 46 45 46 两式得两式得 47 47 1 2 1 2 1 n n n n n 即即 2 11 2 11 2 222 2 2 1 eHN n eHN n eHN nnnnnn 得得 2 1 2 1 22 2 2 1 22 1 eHNn n eH n Nn nnn n 48 48 2 2 11 nnn nHHH 由由 43 43 得得 2 2 2 1 eHN d d nn 2 2 2 1 eHN d d nn 2 11 2 eHNn nn 49 49 而而 n N N n n 2 1 50 50 由由 49 50 49 50 两式得两式得 51 51 2 1 nn nHH d d 2 42 4 相干态与压缩态相干态与压缩态 2 4 12 4 1 相干态相干态 由由 24 24 式式0 0 不对易 又由不对易 又由 43 43 式式 所以除 所以除aaN N a 1 nnna n 0n 0 以外 一般以外 一般 不是不是的本征态 而且设的本征态 而且设的本征态为的本征态为则则必须包含必须包含nN N 所有的所有的 设 设n nC n n 0 52 52 满足方程满足方程 a 53 53 为本征值 利用式为本征值 利用式 43 43 得 得 54 54 nC n n 0 nCa n n 0 1 0 nnC n n 即得即得 55 55 1 00 nnCnC n n n n 以以左乘上式 得左乘上式 得1 n 56 56 111 00 nnnCnnC n n n n 利用正交归一条件利用正交归一条件 得 得 nn nn 57 57 1 nn C n C 依次递推 即得依次递推 即得 0 C n C n n 58 58 为归一化常数 归一化条件为为归一化常数 归一化条件为 0 C 1 1 59 59 2 0 n n C n n n n C 0 2 2 0 由于由于 2 0 e n n n n 60 60 所以所以 61 61 21 2 0 i Cee 通常可以取通常可以取为正实数 即取为正实数 即取 0 0 这时 这时 0 C nC n n 0 n n e n 0 2 2 1 2 62 62 此即为谐振子的相干态 此即为谐振子的相干态 在光学中 光子的产生和湮灭算符满足玻色对易关系在光学中 光子的产生和湮灭算符满足玻色对易关系 1 aa 63 63 2 1 aa 64 64 引入正交振幅分量算符引入正交振幅分量算符 aaX 65a 65a aaX 65b 65b 和和分别对应于电磁场的正交振幅和相位分量 其不确定性为分别对应于电磁场的正交振幅和相位分量 其不确定性为 X X iXX2 66 66 1 XX 67 67 这种由这种由 HeisenbergHeisenberg 不确定性所限定的正交分量起伏称之为电磁场的量子噪不确定性所限定的正交分量起伏称之为电磁场的量子噪 声 当声 当时是最小测不准态 时是最小测不准态 量值量值时 该态称为相干态 时 该态称为相干态 1 XX XX 理想的无量子噪声的经典光波在相空间中是一个点 它给出的迹是一个理想的无量子噪声的经典光波在相空间中是一个点 它给出的迹是一个 理想正弦电场 没有任何不确定性 而相干态在理想正弦电场 没有任何不确定性 而相干态在 x px p 相空间起伏范围是以相相空间起伏范围是以相 位矢量末端为圆心的一个圆 起伏圆中的点位矢量末端为圆心的一个圆 起伏圆中的点 x x p p 描绘出电场具有不依赖于描绘出电场具有不依赖于 时间的起伏 时间的起伏 2 4 22 4 2 压缩态压缩态 电磁场另外两个共扼参量 光子数电磁场另外两个共扼参量 光子数 和相位和相位满足以下不确定性关系满足以下不确定性关系 n 1 n 68 68 相干光的光子数起伏的平方等于平均光子数相干光的光子数起伏的平方等于平均光子数 nn 69 69 若若 则为强度压缩态 若则为强度压缩态 若 则为相位压缩态 则为相位压缩态 n n n 1 对于相干态 由于量子起伏的无规性 其强度差噪声与强度的噪声相等 对于相干态 由于量子起伏的无规性 其强度差噪声与强度的噪声相等 即即 70 70 2121 IIII 对于具有强度量子关联的生光束 若有对于具有强度量子关联的生光束 若有 71 71 21 II 21 II 则称为强度差压缩 则称为强度差压缩 以上三种压缩性质完全不同 但又相互联系 从不同角度反映电磁场的以上三种压缩性质完全不同 但又相互联系 从不同角度反映电磁场的 非经典性 非经典性 3 3 波动方程解法波动方程解法 由由 3 3 式 式 SchrSchr dingerdinger 方程为方程为 72 72 2 1 2 22 2 22 xExx dx d 为简单起见 引进无量纲参数为简单起见 引进无量纲参数 x 73 73 E2 74 74 则方程则方程 72 72 变成变成 75 75 0 2 2 2 d d 严格的谐振子势是一个无限深阱严格的谐振子势是一个无限深阱 如图如图 1 1 粒子只存在束缚态 即粒子只存在束缚态 即 76 76 0 x 任何有限的任何有限的 都是微分方程的常点 而都是微分方程的常点 而是方程的非正则奇点 当是方程的非正则奇点 当 x x 时 方程时 方程 72 72 可近似表成可近似表成 77 77 0 2 2 2 d d 此时 波函数的渐近行为是此时 波函数的渐近行为是 78 78 2 1 exp 2 其中其中不满足边条件不满足边条件 76 76 式 弃之 因此令方程的一般解为式 弃之 因此令方程的一般解为 2 1 exp 2 79 79 2 1 exp 2 u 代入代入 75 75 式得式得 80 80 0 1 2 2 u d du d ud 此即此即 HermiteHermite 方程 由于方程 由于是方程是方程 75 75 的常点 在的常点 在的邻域的邻域 0 x 0 87a 87a xV 22 2 1 x x x 0 0 87b 87b 图 半壁谐图 半壁谐 xV 振子势阱振子势阱 我们称之为半壁谐振子势阱 如图 我们称之为半壁谐振子势阱 如图 利用类似求解谐振子方法 先求出势 利用类似求解谐振子方法 先求出势 阱中粒子的波函数为束缚态阱中粒子的波函数为束缚态 x x 0 0 88a 88a 0 x x x 0 x 0 88b 88b 2 1 exp 22x xHNx nnn 由由 48 48 式式的递推关系的递推关系可得可得 n H0 2 2 11 nnn nHHH 89 89 0 2 0 11 nn nHH 又由又由 73 73 式式 1 1 可知可知 0 H 0 0 0 0 0 0 0 2 H 0 4 H 0 2l H 90 90 不满足波函数不满足波函数 88a 88a 式 式 由由 73 73 式式 0 0 又由于又由于 89 89 式式 则则 0 1 H 0 0 0 1 H 0 3 H 0 5 H 0 12 l H 91 91 满足波函数满足波函数 88a 88a 式式 故仅当故仅当 n 2n 2 1 1 0 0 1 1 2 2 才满足波函数束缚条件所才满足波函数束缚条件所ll 以波函数以波函数 0 0 92a 92a 2 1 exp 22x xHNx nnn x 0 0 0 0 x n x 92b 92b 能量本征值能量本征值 0 0 1 1 2 2 93 93 12 2 1 lnEnl 4 24 2 半壁谐振子势垒半壁谐振子势垒 设一维势场设一维势场的形式的形式 15 0 0 94a 94a xV 22 2 1 x x 0 0 0 0 94b 94b xVx 我们称之为半壁谐振子势垒我们称之为半壁谐振子势垒 如图如图 3 3 图 半图 半 壁谐振子势垒壁谐振子势垒 把把 94a 94a 94b 94b 两式代入两式代入 schrschr dingerdinger 方程得方程得 95a 95a 0 2 1 2 22 22 2 xE dx d 0 2 22 2 E dx d 95b 95b 得得 96a 96a 2 1 exp 22x xHNx nnn x n sin cos kxBkxA 96b 96b 在在 0 0 处处连续得连续得x x n xHNA nn 97 97 在在 0 0 处处连续 由于连续 由于 51 51 式式得得x x n 2 1 nn nHH d d 98 98 k xHxHnN B nnn 2 1 因此波函数为因此波函数为 0 0 99a 99a 2 1 exp 22x xHNx nnn x 0 0 99b 99b x n xHN nn cos kx k xHxHnN nnn 2 1 sin kxx 能量本征值为能量本征值为 2 1 nEnn 100 100 5 5 讨论讨论 通过以上演算 我们认识到采用坐标表象中求解定态通过以上演算 我们认识到采用坐标表象中求解定态 SchrSchr dingerdinger 方程方程 的方法 繁复而冗长 采用的方法 繁复而冗长 采用 HeisenbergHeisenberg 矩阵力学解法 在定态情况下 只需矩阵力学解法 在定态情况下 只需 要知道一个体系的要知道一个体系的 HamiltonHamilton 量和对易关系量和对易关系便可确定它的全部性质 便可确定它的全部性质 ijji ipx 但在实际问题的处理和计算中 但在实际问题的处理和计算中 SchrSchr dingerdinger 波动力学远比波动力学远比 HeisenbergHeisenberg 矩矩 阵力学便易 特别是在处理半壁谐振子势情况下 而算符算子代数运算则集阵力学便易 特别是在处理半壁谐振子势情况下 而算符算子代数运算则集 中了两者的优点 不仅给出了一维谐振子比较漂亮的解 而且极便捷地推导中了两者的优点 不仅给出了一维谐振子比较漂亮的解 而且极便捷地推导 出谐振子的波函数出谐振子的波函数 HermiteHermite 多项式递推关系 多项式递推关系 参考文献参考文献 曾谨言曾谨言 量子力学量子力学 卷卷 I I 第三版第三版 M M 北京北京 科学出版社 科学出版社 20002000 109109 730 734730 734 453 453 吴大猷吴大猷 量子力学量子力学 甲部甲部 M M 北京北京 科学出版社科学出版社 1984 1984 4 4 25 25 周世勋周世勋 量子力学教程量子力学教程 M M 北京北京 高等教育出版社高等教育出版社 1992 38 4 1992 38 4 GlauberGlauber R R J J The The QuantumQuantum TheoryTheory ofof OpticalOptical Coherence Coherence Phys Rev Phys Rev 1963 130 2529 2530 1963 130 2529 2530 StolerStoler D D Equivalence Equivalence classesclasses ofof minimumminimum uncertaintyuncertainty packts packts Phys Rev 1970 D12 12 3217 3219 Phys Rev 1970 D12 12 3217 3219 倪致祥倪致祥 非简谐振子广义相干态的叠加态 非简谐振子广义相干态的叠加态 J J 物理学报 物理学报 19971997 46 6 46 6 1687 1689 1687 1689 夏云杰 李洪珍 郭光灿夏云杰 李洪珍 郭光灿 奇偶相干态的高阶压缩及其准概率分布函数奇偶相干态的高阶压缩及其准概率分布函数 J J 物理学报 物理学报 19911991 4040 5 5 386 389 386 389 于肇贤 王继锁 刘业厚于肇贤 王继锁 刘业厚 非简谐振子的广义相干态的高阶压缩效应及非简谐振子的广义相干态的高阶压缩效应及 反聚束效应 反聚束效应 J J 物理学报 物理学报 19971997 46 6 1693 1696 46 6 1693 1696 于祖荣于祖荣 量子光学中的非经典态 量子光学中的非经典态 J J 物理学进展 物理学进展 19991999 19 5 72 19 5 72 74 74 杨志勇 侯洵杨志勇 侯洵 量子光学领若干重大进展 量子光学领若干重大进展 A A 新世纪科论坛新世纪科论坛 C C 西安 陕西科学技术出版社 西安 陕西科学技术出版社 1999 125 139 1999 125 139 路洪路洪 光子数迭加的位相特性光子数迭加的位相特性 J J 量子光学学报量子光学学报 1996 1996 2 2 2 2 114 118 114 118 董传奇董传奇 奇偶相干中测量相位算符涨落及压缩奇偶相干中测量相位算符涨落及压缩 J J 光子学报光子学报 1998 18 11 1998 18 11 1491 1493 1491 1493 朱从旭 汪发伯 匡乐满朱从旭 汪发伯 匡乐满 关于奇偶相干态的经典特性关于奇偶相干态的经典特性 J J 物理学物理学 报报 1994 1994 4343 8 8 1263 1267 1263 1267 马涛 倪致祥 张德明马涛 倪致祥 张德明 研究生量子力学入学试题选解研究生量子力学入学试题选解 M M 福州福州 福福 建科学技术出版社 建科学技术出版社 1986 83 1986 83 关洪关洪 量子力学量子力学 M M 北京北京 高等教育出版社高等教育出版社 1999 1999 57 57 ProblemsProblems ofof One dimensionalOne dimensional HarmonicHarmonic OscillatorOscillator s s EnergyEnergy EigernvalueEigernvalue Jiang LuoluoJiang Luoluo ClassClass twotwo ofof 2000 2000 specialtyspecialty ofof physicsphysics inin TheThe DepartmentDepartment ofof PhysicsPhysics andand ElectronicElectronic InformationInformation Science Science GannanGannan TeacherTeacher s s CollegeCollege Abstract Abstract One dimensionalOne dimensional harmonicharmonic oscillatoroscillator s s energyenergy eigernvalueeigernvalue isis solvedsolved byby thethe wayway ofof HeisenbergHeisenberg s s matrixmatrix mechanicsmechanics algebraalgebra solutionsolution ofof thethe operatoroperator andand SchrSchr dingerdinger s s wavewave mechanics mechanics OnOn thisthis basis basis solvingsolving ofof problemsproblems inin halfhalf potentialpotential wellswells build build ofof oneone dimensiondimension harmonicharmonic oscillatoroscillator isis given given CoherentCoherent statestate andand squeezedsqueezed statestate thatthat areare oneone ofof thethe frontfront subjectssubjects inin physicsphysics areare resultsresults ofof thethe non non classicalclassical quantumquantum effect effect ThereThere areare extensiveextensive applicationapplication