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1 函数的连续性的例题与习题函数的连续性的例题与习题 函数连续性函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目 大致有 3 大类 第一类是计算或证明连续性 第 二类是对间断点 或区间 的判断 包括间断点的类型 第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质 最值性质 零点存在性质 进行理论分析 下面就这三大类问题 提供若干例题和习题 还是那句老话 看到题目不要看解答 而是先思考先 试着做 这是与看文学小说的最大区别 要提醒的是 例题里有不少是 函数连续性 一 二 中没有给出解答的例题 你事先独立做了 吗 如果没有做 是不会做好是根本不想做 还是没有时间 一 函数的连续 例 1 1 例 1 20 一 这个序号值的是 函数连续性 一 中的例题号 请对照 设满足 且在连续 证明 在任意点处连续 f x f xyf xf y f x0 x f xx 分析 证明题是我们很多同学的软肋 不知道从何下手 其实 如果你的基本概念比较清晰 证明题要 比计算题号做 因为它有明确的方向 不像计算题 不知道正确的答案是什么 在本题里 要证的是 在任意点处连续 那么我们就先固定一个点 用函数连续的定义来证 f xxx 明在处连续 你可能要问 函数连续的定义有好几个 用哪一个 这要看已知条件 哪个容易用 就x 用那一个 在本题中 提供了条件 也就是 你的脑 f xyf xf y f xyf xf y 海里就要想到 如果设 那么就有 这个时候 你应该立即yx yf xxf xfx 闪过 要用题目给的第二个条件了 在连续 它意味着 f x0 x 0 lim 0 0 x fxf 证明的思路就此产生 证明 因为 取 则有 所以 f xyf xf y 0y 0 f xf xf 0 0f 对于固定的 任意的 若取 有 xyx yf xxf xfx 在 式两边取的极限 那么0 x C D 0 0ab 0 0ab 0 0ab 0 0ab 练习题 5 1995 年考研题数二 设和在上有定义 为连续函数 且 f x g x f x 0f x 有间断点 则 g x A 必定有间断点 B 必定有间断点 g f x 2 g x B 必定有间断点 D 必定有间断点 f g x g x f x 请你举出例子来验证你的结论 练习题 6 1998 年考研题数四 设函数 讨论的间断点 结论为 2 1 lim 1 n n x
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