高中数学 4.1三角函数的概念-教案 新人教A版必修4

专心 爱心 用心1 4 14 1 三角函数的概念三角函数的概念 一 知识与能力目标一 知识与能力目标 1 1 掌握角的概念的推广 终边相同的角的表示 2 2 掌握弧度与角度的转化关系 扇形面积及弧长公式 3 3 任意角的三角函数的定义 三角函数线及其应用 二 主要知识二 主要知识 1 1 角的概念的推广 1 角的分类 正角 逆转 负角 顺转 零角 不转 2 直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角 象限角 轴线角 与 角终边相同的角为2 kkZ 2 2 特殊角的集合与弧度制 1 与 0 360 终边相同的角的集合 角 与角 的终边重合 Zkk 360 终边在x轴上的角的集合 Zkk 180 终边在y轴上的角的集合 Zkk 90180 终边在坐标轴上的角的集合 Zkk 90 终边在y x轴上的角的集合 Zkk 45180 终边在xy 轴上的角的集合 Zkk 45180 若角 与角 的终边关于x轴对称 则角 与角 的关系 k 360 若角 与角 的终边关于y轴对称 则角 与角 的关系 180360 k 若角 与角 的终边在一条直线上 则角 与角 的关系 k 180 角 与角 的终边互相垂直 则角 与角 的关系 90360 k 2 角度与弧度的互换关系 360 2 180 1 0 01745 1 57 30 57 18 注意 正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为零 3 弧度与角度互换公式 专心 爱心 用心2 1rad 180 57 30 57 18 1 180 0 01745 rad 3 3 弧长公式 rl 扇形面积公式 2 11 22 slrr 扇形 4 4 三角函数 设 是一个任意角 在 的终边上任取 异 于原点的 一点 P x y P 与原点的距离为 r 则 r y sin r x cos x y tan y x cot x r sec y r csc 5 5 三角函数在各象限的符号 一全二正弦 三切四余弦 oo o x y x y x y 6 6 三角函数线 正弦线 MP 余弦线 OM 正切线 AT 三 例题分析三 例题分析 题型一 终边相同角概念的问题题型一 终边相同角概念的问题 例例 1 1 已知角 45 1 在区间 0 720 内找出所有与角 有相同 终边的角 2 集合 Zk k xxM 45180 2 Zk k xxN 45180 4 那么两集合的关系是什么 解 解 1 所有与角 有相同终边的角可表示为 36045Zkk 则令 036045720k 得 45360765k 解得 360 45 360 765 k 从而2 k或1 k 代回 675 或 315 r o x y a的 的 的 P x y T M A O P x y 3 个 o x 2 个 sinx x cosx cosx sinx cosx sinx sinx cosx sinx cosx cosx sinx 16 个 个 个 个 个 个 O O x y x y 专心 爱心 用心3 2 因为 ZkkxxM 45 12 表示的是终边落在四个象限的平分线上的角 的集合 而集合 ZkkxxN 45 1 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线 上的角的集合 从而 MN wxckt wxckt 跟踪练习跟踪练习 1 1 wxckt wxckt 已知角 2005 1 将它表示成 20 2 Zkk的形式 2 在区间 0 2 上找出与它终边相同的角 题型二 象限角的问题题型二 象限角的问题 例例 2 2 已知 是第三象限角 则 3 是第几象限角 解法一 解法一 因为 是第三象限角 所以 Zkkk 2 3 22 Zk kk 23 2 333 2 当 k 3m m Z 时 3 为第一象限角 当 k 3m 1 m Z 时 3 为第三象限角 当 k 3m 2 m Z 时 3 为第四象限角 故 3 为第一 三 四象限角 wxckt wxckt 解法二 解法二 把各象限均分 3 等份 再从 x 轴的正向的上方起 wxckt wxckt 依次将各区域标上 I 并依次循环一周 则 原来是第 象限的符号所表示的区域即为 3 的终 边所在的区域 wxckt wxckt 由图可知 3 是第一 三 四象限角 wxckt wxckt 跟踪练习跟踪练习 2 2 若角 是第二象限角 则 1 2 是哪个象限角 2 2是哪个象限角 题型三 弧长公式与扇形公式的应用题型三 弧长公式与扇形公式的应用 例例 3 3 一个半径为r的扇形 若它的周长等于弧所在的半圆的长 则扇形的圆心角是多少 弧度 多少度 扇形的面积是多少 解 解 设扇形的圆心角是rad 因为扇形的弧长 r 所以扇形的周长是 rr 2 依题意知 rrr 2 解得rad2 专心 爱心 用心4 转化为角度度制为 rad2 180 2 1965 它的面积为 22 2 2 1 2 1 rrS 跟踪练习跟踪练习 3 3 已知一扇形的中心角是 所在圆的半径是 R 1 若 10 60cmR 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 2 若扇形的周长是一定值 C C 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 题型四 三角函数的定义题型四 三角函数的定义 例例 4 4 已知角 的终边上一点 3 Pm 且 2 sin 4 m 求cos sin 的值 解 解 由题设知3x ym 所以 2222 3 rOPm 得 2 3rm 从而 2 sin 4 m 2 3 mm r m 解得0m 或 2 16625mm 当0m 时 3 3rx cos1 tan0 xy rx 当5m 时 2 2 3rx 615 cos tan 43 xy rx 当5m 时 2 2 3rx 615 cos tan 43 xy rx 跟踪练习跟踪练习 4 4 1 角 的终边过点P 8m 6cos60 且 cos 5 4 则m的值是 A 2 1 B 2 1 C 2 3 D 2 3 2 设 cos t 则 tan 等于 A t t 2 1 B t t 2 1 C t t 2 1 D 2 1t t 题型五 三角函数式符号的判定题型五 三角函数式符号的判定 例例 5 5 确定下列三角函数值的符号 1 cos260 2 sin 3 3 tan 670 4 11 tan 3 解 解 1 因为260 是第三象限的角 所以cos2600 专心 爱心 用心5 2 因为 3 是第四象限的角 所以sin 0 3 3 670502 360 所以670 是第一象限的角 故tan 670 0 4 115 2 33 所以 11 3 是第四象限的角 所以 11 tan0 3 跟踪练习跟踪练习 5 5 1 1 2001 春季北京 安徽 8 若A B是锐角ABC 的两个内角 则点 cossin sincos PBABA 在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 2008 四川卷 若02 sin3cos 则 的取值范围是 3 2 3 4 33 3 32 四 随堂练习四 随堂练习 1 wxckt wxckt 在下列各组角中 终边不相同的一组是 A wxckt wxckt 60与 300 B wxckt wxckt 230与 950 C wxckt wxckt 1050与 300 D wxckt wxckt 1000与 80 2 wxckt wxckt 下列各命题中 真命题是 A wxckt wxckt 每一象限角是锐角 B wxckt wxckt 直角不是任何象限角 C wxckt wxckt 第二象限角比第一象限角大 D wxckt wxckt 三角形的内角一定是第一或第二象限角 3 wxckt wxckt 若角 是第三象角 则角 2 是 的角 A wxckt wxckt 第一象限或第三象限 B wxckt wxckt 第二象限或第三象限 C wxckt wxckt 第二象限或第四象限 D wxckt wxckt 第一象限或第四象限 4 wxckt wxckt 角的终边在第一象限和第三象限的平分线上的角的集合为 A wxckt wxckt 225 45 B wxckt wxckt 4 Zkk C wxckt wxckt 4 2 Zkk D wxckt wxckt 4 Zkk 5 wxckt wxckt 若 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2 则这个圆心角的所夹扇形的面积为 A wxckt wxckt 2sin 1 B wxckt wxckt 2sin 1 2 C wxckt wxckt 1sin 1 2 D wxckt wxckt 1tan 6 wxckt wxckt 若 rad3 则它是 A wxckt wxckt 第一象限角 B wxckt wxckt 第二象限角 C wxckt wxckt 第三象限角 D wxckt wxckt 第四象限角 7 wxckt wxckt 在不等的圆中 1 弧度的圆心角所对的 A wxckt wxckt 弦长相等 B wxckt wxckt 弧长相等 专心 爱心 用心6 C wxckt wxckt 弦长等于所在圆的半径 D wxckt wxckt 弧长等于所在圆的半径 8 wxckt wxckt 角 3 16 化为 20 2 Zkk的形式是 A wxckt wxckt 3 5 B wxckt wxckt 3 4 4 C wxckt wxckt 3 2 6 D wxckt wxckt 3 7 3 9 wxckt wxckt 一个半径为 R 的扇形 它的周长为 R4 则这个扇形所含弓形的面积为 A wxckt wxckt 2 1cos1sin2 2 1 R B wxckt wxckt 2 1cos1sin 2 1 R C wxckt wxckt 2 2 1 R D wxckt wxckt 2 1cos1sin1 R 10 wxckt wxckt 已知集合 ZkkkM 12 2 66 N 则 NM A wxckt wxckt B wxckt wxckt 260 或 C wxckt wxckt 0 D wxckt wxckt 60 或 11 wxckt wxckt 第三象限角的集合为 12 wxckt wxckt 在区间 360 720 上且与角 125终边相同的角是 13 wxckt wxckt 在扇形中 圆心角所对弦长等于半径 则这个圆心角的角度数为 14 wxckt wxckt 若 22 则角 的取值范围是 15 对于角 3600 若它的终边与角 7的终边相同 则求角 的值 16 wxckt wxckt 已知扇形的周长为 20 当扇形的圆心角 为何值时 扇形的面积 S 最大 并求出 S 的最 大值 参考答案 跟踪练习答案 练习 1 1 36 41 10 2 36 31 练习 2 1 2 是第一象限角或第三象限角 2 360360221803602kk 可知角 2的终边应在第三象限或第四象限或 Y 轴的负半轴上 练习 3 解 1 弧长为 L 弓形面积为 S弓 因为 10 60cmR 所以cml 3 10 2 3 3 5060sin10 2 1 10 3 10 2 1 22 cmSSS 扇弓 2 因为扇形周长 2 22 C RRRlRC所以 专心 爱心 用心7 所以 16 4 44 1 2444 1 2 2 2 1 2 1 22 2 2 22 CCCC RS 扇 练习 4 1 A 2 C 练习 5 解解 A B是锐角三角形的两个内角 90AB 90BA cossinBA sincosBA 故选 B 随堂练习答案 1 wxckt wxckt C 2 wxckt wxckt B 3 wxckt wxckt C 4 wxckt wxckt B 5