2011年高考数学 不等式单元测试卷

1 不等式单元测试卷不等式单元测试卷 满分 150 分 时间 120 分钟 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 已知集合 M x x2 4 N x x2 2x 3 0 则集合 M N 等于 A x x3 C x 1 x 2 D x 2 x 3 答案 C 解析 M x 2 x 2 N x 1 x 3 则 M N x 1 x 2 故选 C 2 2009 成都市第一次诊断性检测 下列四个命题中正确的是 A 若 a b R 则 a b a b B 若 a b R 则 a b a b C 若实数 a b 满足 a b a b 则 ab 0 D 若实数 a b 满足 a b a b 则 ab 则函数 y 4x 的最小值为 5 4 1 4x 5 A 3 B 2 C 5 D 7 答案 D 解析 y 4x 4x 5 5 2 5 7 当且仅当 4x 5 即 x 时 1 4x 5 1 4x 5 1 4x 5 3 2 取等号 故选 D 4 若 x y 是正数 则 x 2 y 2的最小值是 1 2y 1 2x A 3 B 7 2 C 4 D 9 2 答案 C 解析 x 2 y 2 1 2y 1 2x x2 y2 x y 1 4y2 y x 1 4x2 x2 y2 1 4x2 x y y x 1 4y2 1 2 1 4 当且仅当 x y 时 取等号 故选 C 2 2 5 设实数 x1 x2满足 x1 x2 a 0 y1 y2 则 x1x2与 y1y2的 x1 1 a ax2 1 a ax1 1 a x2 1 a 大小关系为 A x1x2 y1y2 B x1x2 y1y2 C x1x20 x1 x2 2 1 a 2 y1y2 x1x2 0 故选 C a x1 x2 2 1 a 2 6 2008 青岛调研 今有一台坏天平 两臂长不等 其余均精确 有人要用它称物体的 重量 他将物体放在左右托盘各称一次 取两次称量结果分别为 a b 设物体的真实重量为 G 则 A G B G a b 2 a b 2 C G D 故选 C a b 2ab 7 设函数 f x Error Error 若 f x0 1 则 x0的取值范围是 A 0 2 3 B 3 C 0 1 2 D 0 2 答案 A 解析 当 x01 得 x0 0 0 x01 得 x0 3 2x0 x0 3 0 x03 故选 A 8 设 x y z R 且 xyz x y z 1 则 x y y z 的最小值是 A 1 B 2 C 4 D 不存在 答案 B 解析 xyz x y z 1 y x y z 1 xz xy y2 yz 1 xz 又 x y y z xy y2 yz xz xz 2 故选 B 1 xz 9 2009 武汉 5 月 下列命题中 若 a b m 都是正数 且 则 b a 已知 a b 都为实数 若 a m b m a b a b a b 则 ab2 ab bc ca 若 a b c 则 0 其中正确命题的个数为 1 a b 1 b c 1 c a A 1 B 2 3 C 3 D 4 答案 C 解析 本题考查不等式的性质及重要不等式 由 0 又 a m b m a b a m b m a b b a m b b m a b m 均为正值 故有 b a 0 b a 因此 正确 由绝对值不等式可知等号取不到的条 件为 a b 异号 即 ab 0 故 正确 由三角形中余弦定理可得 a2 b2 c2 2abcosC c2 b2 a2 2cbcosA a2 c2 b2 2acosB 故有 a2 b2 c2 c2 b2 a2 a2 c2 b2 2abcosC 2cbcosA 2acosB 整理得 a2 b2 c2 2abcosC 2cbcosA 2accosB 又易知 2abcosC 2cbcosA 2accosB 2ab 2bc 2ac 故 a2 b2 c20 故 正确 故有 3 个命题正确 故选 C 1 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a 10 一批救灾物资随 26 辆汽车从某市以 v km h 的速度匀速直达 400 km 外的灾区 为了 安全起见 两辆汽车的间距不得小于 2 km 问这批物资全部运送到灾区最少需 v 20 A 5 h B 10 h C 15 h D 20 h 答案 B 解析 最后一辆汽车等待出发的时间为 25 f v 20 2 v 25v 400 最后一辆汽车行驶全程用时 400 v t 2 10 当且仅当 即 v 80 km h 时等号成立 25v 400 400 v 25v 400 400 v 25v 400 400 v tmin 10 h 故选 B 11 函数 f x Error Error 则不等式 xf x x 2 的解集为 A 2 2 B 1 2 C 1 2 D 2 1 1 2 答案 B 解析 当 x 1 时 原不等式为 x2 x 2 所以 10 m 0 符合题意 若 m 0 在 x0 在 x 0 时 g x 0 需要 f x 2x2 4 m x 4 m 0 在 0 上恒成立 0 m 4 m 4 4 m0 在 x 0 时 g x 0 在 x 0 时 g x 0 需使 f x 2x2 4 m x 4 m 0 在 0 上恒成立 Error Error 或 Error Error 0 m 4 综上可知 m 4 故选 C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 若方程 x2 2ax 4 0 在区间 1 2 上有且仅有一个根 则实数 a 的取值范围是 答案 2 5 2 解析 设 f x x2 2ax 4 若满足题意应有Error Error 或 f 1 f 2 0 或Error Error 解得 2 a0 对 x R 恒成立 则关于 t 的不等式 a2t 10 对 x R 恒成立得 4a2 4a 0 即 0 at2 2t 3 解得 2 t2x x R a5 b5 a3b2 a2b3 a b R a2 b2 2 a b 1 其中正确的序号是 答案 解析 x2 3 2x x 1 2 2 0 故 成立 取 a b 1 则 a5 b5 2 a3b2 a2b3 2 故 不成立 a2 b2 2 a b 1 a 1 2 b 1 2 0 故 成立 16 2008 中山调研 对于 0 m 4 的 m 不等式 x2 mx 4x m 3 恒成立 则 x 的取值 范围是 答案 x3 解析 x2 4x 3 m x 1 0 即 x 1 x 3 m 0 对 0 m 4 恒成立 Error Error 或Error Error x3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 本小题满分 10 分 2008 石家庄模拟 已知 a 1 x b x2 x x m 为常数 且 m 2 求使不等式 a b 2 m 1 成立的 x 的范围 2 a b 解 a 1 x b x2 x x a b x2 x x2 x 由 a b 2 m 1 2 a b x 2 m 1 x 2 m 0 2 x x 2 x x x 2 x m 0 m 2 当 m 2 时 原不等式 x x 2 2 0 x 0 5 当 m 2 时 原不等式 m x0 综上 得 m 2 时 x 的取值范围是 0 m0 yy 4 y 16 x 20 4 20 24 yy xmin 24 ymin 16 即在双方均无失败风险的情况下 甲公司至少要投入 24 万元 乙公司至少要投入 16 万 元 19 本小题满分 12 分 函数 f x 对一切实数 x y 均有 f x y f y x 2y 1 x 成立 且 f 1 0 1 求 f 0 2 求 f x 3 不等式 f x ax 5 当 0 xax 5 化为 x2 x 2 ax 5 ax x2 x 3 x 0 2 a 1 x x2 x 3 x 3 x 当 x 0 2 时 1 x 1 2 3 x3 当且仅当 x 即 x 时取等号 3 x3 由 0 2 得 1 x min 1 2 3 3 x3 a 1 2 3 20 本小题满分 12 分 设 f x 是定义域为 0 0 上的奇函数且在 0 上为增函数 6 1 若 m n0 解 1 证明 m n0 n 0 则 n m 0 取 n m 0 函数 f x 在 0 上为增函数 则 f n f m 取 n m 0 同理 f n 0 或Error Error 解得 x 3 或 x 1 或Error Error 不等式的解集为 1 1 1 1 1 3 3223 21 本小题满分 12 分 某厂家拟在 2008 年举行促销活动 经调查测算 该产品的年销 售量 即该厂的年产量 x 万件与年促销费用 m 万元 m 0 满足 x 3 k 为常数 如果 k m 1 不搞促销活动 则该产品的年销售量只能是 1 万件 已知 2008 年生产该产品的固定投入为 8 万元 每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元 厂家将每件产品的销售价格定为每件产 品年平均成本的 1 5 倍 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金 1 将 2008 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数 2 该厂家 2008 年的促销费用投入多少万元时 厂家的利润最大 解 1 由题意可知当 m 0 时 x 1 万件 1 3 k k 2 x 3 2 m 1 每件产品的销售价格为 1 5 元 8 16x x 2008 年的利润 y x 1 5 8 16x m 8 16x x 4 8x m 4 8 3 m 2 m 1 m 1 29 m 0 16 m 1 2 m 0 时 m 1 2 8 16 m 116 y 8 29 21 当且仅当 m 1 m 3 万元 时 ymax 21 万元 16 m 1 22 本小题满分 12 分 已知点 M x1 f x1 是函数 f x x 0 图象 C 上的一点 1 x 记曲线 C 在点 M 处的切线为 l 1 求切线 l 的方程 2 设 l 与 x 轴 y 轴的交点分别为 A B 求 AOB 周长的最小值 7 解 1 f x k f x1 1 x2 1 x2 1 切线方程为 y x x1 1 x