用空间向量解立体几何问题方法归纳(学生版)

用空间向量解立体几何题型与方法用空间向量解立体几何题型与方法 一 平行垂直问题基础知识一 平行垂直问题基础知识 直线 l 的方向向量为 a a1 b1 c1 平面 的法向量 u a3 b3 c3 v a4 b4 c4 1 线面平行 l a u a u 0 a1a3 b1b3 c1c3 0 2 线面垂直 l a u a ku a1 ka3 b1 kb3 c1 kc3 3 面面平行 u v u kv a3 ka4 b3 kb4 c3 kc4 4 面面垂直 u v u v 0 a3a4 b3b4 c3c4 0 例 1 如图所示 在底面是矩形的四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD E F 分别是 PC PD 的中点 PA AB 1 BC 2 1 求证 EF 平面 PAB 2 求证 平面 PAD 平面 PDC 使用空间向量方法证明线面平行时 既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的 方向向量平行 然后根据线面平行的判定定理得到线面平行 也可以证明直线的方向向量 与平面的法向量垂直 证明面面垂直既可以证明线线垂直 然后使用判定定理进行判定 也可以证明两个平面的法向量垂直 例 2 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ABC 90 BC 2 CC1 4 点 E 在线段 BB1上 且 EB1 1 D F G 分别为 CC1 C1B1 C1A1的中点 求证 1 B1D 平面 ABD 2 平面 EGF 平面 ABD 二 利用空间向量求空间角基础知识 1 向量法求异面直线所成的角 若异面直线 a b 的方向向量分别为 a b 异面直线所 成的角为 则 cos cos a b a b a b 2 向量法求线面所成的角 求出平面的法向量 n 直线的方向向量 a 设线面所成的角 为 则 sin cos n a n a n a 3 向量法求二面角 求出二面角 l 的两个半平面 与 的法向量 n1 n2 若二面角 l 所成的角 为锐角 则 cos cos n1 n2 n1 n2 n1 n2 若二面角 l 所成的角 为钝角 则 cos cos n1 n2 n1 n2 n1 n2 例 1 如图 在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中 AB AC AB AC 2 A1A 4 点 D 是 BC 的中点 1 求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值 2 求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值 例 2 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 证明 AB A1C 2 若平面 ABC 平面 AA1B1B AB CB 求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦 值 1 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤 建立恰当的空间直角坐标系 求出相关点的坐标 写出向量坐标 结合公式 进行论证 计算 转化为几何结论 2 求空间角应注意 两条异面直线所成的角 不一定是直线的方向向量的夹角 即 cos cos 两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角 有可能两法向量夹角的补角为所 求 例 3 如图 在四棱锥 S ABCD 中 AB AD AB CD CD 3AB 3 平面 SAD 平面 ABCD E 是线段 AD 上一点 AE ED SE AD 3 1 证明 平面 SBE 平面 SEC 2 若 SE 1 求直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值 例 4 如图是多面体 ABC A1B1C1和它的三视图 1 线段 CC1上是否存在一点 E 使 BE 平面 A1CC1 若不存在 请说明理由 若存在 请找出并证明 2 求平面 C1A1C 与平面 A1CA 夹角的余弦值 三 利用空间向量解决探索性问题 例 1 如图 1 正 ABC 的边长为 4 CD 是 AB 边上的高 E F 分别是 AC 和 BC 边 的中点 现将 ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A DC B 如图 2 1 试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系 并说明理由 2 求二面角 E DF C 的余弦值 3 在线段 BC 上是否存在一点 P 使 AP DE 如果存在 求出的值 如果不存在 BP BC 请说明理由 1 空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题 它无需进行复杂的作图 论证 推理 只需通过坐标运算进行判断 2 解题时 把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转 化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围内的解 等 所以为使问题的解决更简单 有 效 应善于运用这一方法 例 2 如图所示 在直三棱柱 ABC A1B 1C1中 ACB 90 AA1 BC 2AC 2 1 若 D 为 AA1中点 求证 平面 B1CD 平面 B1C1D 2 在 AA1上是否存在一点 D 使得二面角 B1 CD C1的大小为 60 四 空间直角坐标系建立的创新问题 空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性 能把 非运算 问题 运算 化 即 通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题 解决的关键环节之一就是建立空 间直角坐标系 因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点 一 经典例题领悟好 例 1 如图 四棱锥 P ABCD 中 PA 底面 ABCD BC CD 2 AC 4 ACB ACD F 为 PC 的中点 AF PB 3 1 求 PA 的长 2 求二面角 B AF D 的正弦值 建立空间直角坐标系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系 本题利用 AC BD 若图 中存在交于一点的三条直线两两垂直 则以该点为原点建立空间直角坐标系 在没有明显的 垂直关系时 要通过其他已知条件得到垂直关系 在此基础上选择一个合理的位置建立空 间直角坐标系 注意建立的空间直角坐标系是右手系 正确确定坐标轴的名称 例 2 如图 在空间几何体中 平面 ACD 平面 ABC AB BC CA DA DC BE 2 BE 与平面 ABC 所成的角为 60 且点 E 在平面 ABC 内的射影落在 ABC 的平分线上 1 求证 DE 平面 ABC 2 求二面角 E BC A 的余弦值 专题训练专题训练 1 如图所示 在多面体 ABCD A1B1C1D1中 上 下两个底面 A1B1C1D1和 ABCD 互相 平行 且都是正方形 DD1 底面 ABCD AB A1B1 AB 2A1B1 2DD1 2a 1 求异面直线 AB1与 DD1所成角的余弦值 2 已知 F 是 AD 的中点 求证 FB1 平面 BCC1B1 3 如图 1 四边形 ABCD 中 E 是 BC 的中点 DB 2 DC 1 BC AB AD 将图 1 沿直线 BD 折起 使得二面角 A BD C 为 52 60 如图 2 1 求证 AE 平面 BDC 2 求直线 AC 与平面 ABD 所成角的余弦值 4 如图所示 在矩形 ABCD 中 AB 3 AD 6 BD 是对角线 过点 A 作 5 AE BD 垂足为 O 交 CD 于 E 以 AE 为折痕将 ADE 向上折起 使点 D 到点 P 的位置 且 PB 41 1 求证 PO 平面 ABCE 2 求二面角 E AP B 的余弦值 5 如图 在四棱锥 P ABCD 中 侧面 PAD 底面 ABCD 侧棱 PA PD PA PD 底面 ABCD 为直角梯形 其中 2 BC AD AB AD AB BC 1 O 为 AD 中点 1 求直线 PB 与平面 POC 所成角的余弦值 2 求 B 点到平面 PCD 的距离 3 线段 PD 上是否存在一点 Q 使得二面角 Q AC D 的余弦值为 若存在 求出 6 3 的值 若不存在 请说明理由 PQ QD 6 如图 在四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 是直角梯形 侧棱 SA 底面 ABCD AB 垂直于 AD 和 BC SA AB BC 2 AD 1 M 是棱 SB 的中点 1 求证 AM 平面 SCD 2 求平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值 3 设点 N 是直线 CD 上的动点 MN 与平面 SAB 所成的角为 求 sin 的最大值 7 如图 四边形 ABEF 和四边形 ABCD 均是直角梯形 FAB DAB 90 AF AB BC 2 AD 1 FA CD 1 证明 在平面 BCE 上 一定存在过点 C 的直线 l 与直线 DF 平行 2 求二面角 F CD A 的余弦值 8 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD 四边形 ABCD 是菱形 AC 2 BD 2 E 是 PB 上任意一点 3 1 求证 AC DE 2 已知二面角 A PB D 的余弦值为 若 E 为 PB 的中点 求 EC 与平面 PAB 所成角的正 15 5 弦值 9 如图 1 A D 分别是矩形