高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第一章 第2课时命题及逻辑联结词

1 第 2 课 命题及逻辑联结词 考点导读 1 了解命题的逆命题 否命题与逆否命题的意义 会分析四种命题的相互关系 2 了解逻辑联结词 或 且 非 的含义 能用 或 且 非 表述相关的数学 内容 3 理解全称量词与存在量词的意义 能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容 理解 对含有一个量词的命题的否定的意义 能正确地对含有一个量词的命题进行否定 基础练习 1 下列语句中 你是高三的学生吗 2 30 x 3 15 536x 其中 不是命题的有 2 一般地若用p和q分别表示原命题的条件和结论 则它的逆命题可表示为若q则p 否 命题可表示为 逆否命题可表示为 原命题与逆否命题互为逆否pq 若则qp 若则 命题 否命题与逆命题互为逆否命题 3 有下列命题 对角线不垂直的平行四边形不是菱形 若 则 0 xy 0 xy 的逆命题 若 则 的否命题 若方程有两个不相等0 x 2 0 x 2 0axbxc 的实根 则 的逆否命题 其中真命题的序号有 0ac 4 有下列命题 2 2340 xRxx 1 0 1 210 xx 的约数 其中真命题的序号有 2 xNxx 使 29xNx 使为 5 对原命题及其逆命题 否命题 逆否命题这四个命题而言 假命题的个数是 0 或 2 或 4 6 命题 若 则a b至少有一个为零 的逆否命题是 0ab 范例解析 例 1 写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题并判断真假 1 平行四边形的对边相等 2 菱形的对角线互相垂直平分 3 设 若 则 a b c dR ab cd acbd 分析 先将原命题改为 若p则q 在写出其它三种命题 解 1 原命题 若一个四边形是平行四边形 则其两组对边相等 真命题 逆命题 若一个四边形的两组对边相等 则这个四边形是平行四边形 真命题 否命题 若一个四边形不是平行四边形 则其两组对边至少一组不相等 真命题 逆否命题 若一个四边形的两组对边至少一组不相等 则这个四边形不是平行四边形 真命 题 2 原命题 若一个四边形是菱形 则其对角线互相垂直平分 真命题 若且 则0a 0b 0ab 2 逆命题 若一个四边形的对角线互相垂直平分 则这个四边形是菱形 真命题 否命题 若一个四边形不是菱形 则其对角线不垂直或不平分 真命题 逆否命题 若一个四边形的对角线不垂直或不平分 则这个四边形不是菱形 真命题 3 原命题 设 若 则 真命题 a b c dR ab cd acbd 逆命题 设 若 则 假命题 a b c dR acbd ab cd 否命题 设 若或 则 假命题 a b c dR ab cd acbd 逆否命题 设 若 则或 真命题 a b c dR acbd ab cd 点评 已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成 若p则q 的形式 找出其条件 p和结论q 再根据四种命题的定义写出其它命题 对于含大前提的命题 在改写命题时大 前提不要动 在写命题p的否定即时 要注意对p中的关键词的否定 如 且 的否定p 为 或 或 的否定为 且 都是 的否定为 不都是 等 例 2 写出由下列各组命题构成的 p或q p且q 非p 形式的命题 并判断真假 1 p 2 是 4 的约数 q 2 是 6 的约数 2 p 矩形的对角线相等 q 矩形的对角线互相平分 3 p 方程的两实根的符号相同 q 方程的两实根的绝对值 2 10 xx 2 10 xx 相等 分析 先写出三种形式命题 根据真值表判断真假 解 1 p或q 2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数 真命题 p且q 2 是 4 的约数且 2 是 6 的约数 真命题 非p 2 不是 4 的约数 假命题 2 p或q 矩形的对角线相等或互相平分 真命题 p且q 矩形的对角线相等且互相平分 真命题 非p 矩形的对角线不相等 假命题 3 p或q 方程的两实根的符号相同或绝对值相等 假命题 2 10 xx p且q 方程的两实根的符号相同且绝对值相等 假命题 2 10 xx 非p 方程的两实根的符号不同 真命题 2 10 xx 点评 判断含有逻辑联结词 或 且 非 的命题的真假 先要把结构弄清楚 确定命 题构成的形式以及构成它们的命题p q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假 例 3 写出下列命题的否定 并判断真假 1 p 所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除 2 p 每一个非负数的平方都是正数 3 p 存在一个三角形 它的内角和大于 180 4 p 有的四边形没有外接圆 5 p 某些梯形的对角线互相平分 3 分析 全称命题 的否定是 特称命题 xM p x xMp x 的否定是 xM p x xMp x 解 1 存在末位数字是 0 或 5 的整数 但它不能被 5 整除 假命题 p 2 存在一个非负数的平方不是正数 真命题 p 3 任意一个三角形 它的内角和都不大于 180 真命题 p 4 所有四边形都有外接圆 假命题 p 5 任一梯形的对角线都不互相平分 真命题 p 点评 一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下 正面词语等于大于小于是都是 否定词语不等于不大于不小于不是不都是 正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的 否定词语至少有两个一个也没有某个某些 例 4 已知且 设函数在R上为减函数 不等式0c 1c p 21 x ycc q 的解集为R 若 或 为真命题 且 为假命题 求实数的取值 2 2 1xxc pqpqc 范围 分析 由 为真求出的取值范围 结合 或 为真命题 且 为假命题得pqcpqpq 出 一真一假 从而得出的取值范围 pqc 解 当为真时 p 函数在R上为减函数 21 x ycc 或得 210 1 c c 210 01 c c 1 1 2 c 当为真时 q 不等式的解集为R 即时 恒成立 2 2 1xxc xR 22 41 41 0 xcxc 得 22 41 4 41 0cc A 5 8 c 或 为真命题 且 为假命题 pqpq 4 当为真为假时 解得 pq 1 1 2 5 8 c c 15 28 c 当为假为真时 解得 pq 1 01 2 5 8 cc c 或 1c 综上所述 实数的取值范围是 c 1 5 1 2 8 点评 由条件分析得到 一真一假 学生多会先写命题的假命题 再求的取值范围 pqc 这样会增加计算量 而且容易出错 反馈演练 1 命题 若 则 的逆否命题是 aM bM 2 已知命题 则 p1sin xRx p sin1xRx 3 若命题m的否命题n 命题n的逆命题p 则p是m的 逆否命题 4 已知下列四个命题 若 则互为倒数 的逆命题 1xy x y 面积相等的三角形全等 的否命题 若 则方程有实根 的逆否命题 1m 2 20 xxm 若 则 的逆否命题 ABB AB 其中真命题的是 5 已知全集 若命题 则 UR AU 3pAB p 3 UU C AB A 6 命题 若 则 的否命题为 ba 122 ba 8 命题方程有两个不相等的实根 命题方程 p 2 10 xmx q 无实根 若为真 为假 则实数m的取值范围 2 44 2 10 xmx pq pq 10 分别写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断它们的真假 1 设 若 则或 a bR 0ab 0a 0b 2 设 若 则 a bR 0 0ab 0ab 解 1 逆命题 设 若或 则 真命题 a bR 0a 0b 0ab 否命题 设 若 则且 真命题 a bR 0ab 0a 0b 逆否命题 设 若且 则 真命题 a bR 0a 0b 0ab 2 逆命题 设 若 则 假命题 a bR 0ab 0 0ab 若 则bM aM 若 则ab 221 ab 2 1 2 3 5 否命题 设 若或 则 假命题 a bR 0a 0b 0ab 逆否命题 设 若 则或 真命题 a bR 0ab 0a 0b 11 设命题 函数是 R 上的减函数 命题q 在p 3 2 x f xa 2 43f xxx 上的值域为 若 或 为真命题 且 为假命题 求实数a的取值范 0 a 1 3 pqpq 围 解 由得 3 01 2 a 35 22 a 又 在上的值域为 得 22 43 2 1f xxxx 0 a 1 3 24a 又 或 为真命题 且 为假命题 pqpq 当为真为假时 解得 pq 3 2 2 a 当为假为真时 解得