高考数学竞赛 解三角形教案讲义（7）

用心 爱心 专心 第七章第七章 解三角形解三角形 一 基础知识 在本章中约定用 A B C 分别表示 ABC 的三个内角 a b c 分别表示它们所对的各 边长 2 cba p 为半周长 1 正弦定理 C c B b A a sinsinsin 2R R 为 ABC 外接圆半径 推论 1 ABC 的面积为 S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 BcaAbcCab 推论 2 在 ABC 中 有 bcosC ccosB a 推论 3 在 ABC 中 A B 解 a 满足 sin sina b a a 则 a A 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到 这里不再给出 下证推论 先证推论 1 由正弦函数定义 BC 边上的高为 bsinC 所以 S ABC Cabsin 2 1 再证推论 2 因为 B C A 所以 sin B C sinA 即 sinBcosC cosBsinC sinA 两边同乘以 2R 得 bcosC ccosB a 再证推论 3 由正弦定理 B b A a sinsin 所以 sin sin sin sin A a A a 即 sinasin A sin a sinA 等价于 2 1 cos A a cos A a 2 1 cos a A cos a A 等价于 cos A a cos a A 因为 0 A a a A 所 以只有 A a a A 所以 a A 得证 2 余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA bc acb A 2 cos 222 下面用余弦定理证明几个 常用的结论 1 斯特瓦特定理 在 ABC 中 D 是 BC 边上任意一点 BD p DC q 则 AD2 22 pq qp qcpb 1 证明 因为 c2 AB2 AD2 BD2 2AD BDcosADB 所以 c2 AD2 p2 2AD pcos ADB 同理 b2 AD2 q2 2AD qcosADC 因为 ADB ADC 所以 cos ADB cos ADC 0 所以 q p 得 qc2 pb2 p q AD2 pq p q 即 AD2 22 pq qp qcpb 注 在 1 式中 若 p q 则为中线长公式 2 22 222 acb AD 用心 爱心 专心 2 海伦公式 因为 4 1 2 ABC Sb2c2sin2A 4 1 b2c2 1 cos2A 4 1 b2c2 16 1 4 1 22 2222 cb acb b c 2 a2 a2 b c 2 p p a p b p c 这里 2 cba p 所以 S ABC cpbpapp 二 方法与例题 1 面积法 例 1 共线关系的张角公式 如图所示 从 O 点发出的三条射线满足 QORPOQ 另外 OP OQ OR 的长分别为 u w v 这里 0 则 P Q R 的共线的充要条件是 sin sinsin wvu 2 正弦定理的应用 例 2 ABC 内有一点 P 使得 BPC BAC CPA CBA APB ACB 求证 AP BC BP CA CP AB 例 3 ABC 的各边分别与两圆 O1 O2相切 直线 GF 与 DE 交于 P 求证 PA BC 3 一个常用的代换 在 ABC 中 记点 A B C 到内切圆的切线长分别为 x y z 则 a y z b z x c x y 例 4 在 ABC 中 求证 a2 b c a b2 c a b c2 a b c 3abc 4 三角换元 用心 爱心 专心 例 5 设 a b c R 且 abc a c b 试求 1 3 1 2 1 2 222 cba P的最大值 例 6 在 ABC 中 若 a b c 1 求证 a2 b2 c2 4abcb 是 sinA sinB 的 条件 6 在 ABC 中 sinA cosA 0 tanA sinA1 则 ABC 为 角三角形 11 三角形有一个角是 600 夹这个角的两边之比是 8 5 内切圆的面积是 12 求 这个三角形的面积 12 已知锐角 ABC 的外心为 D 过 A B D 三点作圆 分别与 AC BC 相交于 M N 两 点 求证 MNC 的外接圆半径等于 ABD 的外接圆半径 13 已知 ABC 中 sinC BA BA coscos sinsin 试判断其形状 四 高考水平训练题 1 在 ABC 中 若 tanA 2 1 tanB 3 1 且最长边长为 1 则最短边长为 2 已知 n N N 则以 3 5 n 为三边长的钝角三角形有 个 3 已知 p q R R p q 1 比较大小 psin2A qsin2B pqsin2C 用心 爱心 专心 4 在 ABC 中 若 sin2A sin2B sin2C 4sinAsinBsinC 则 ABC 为 角三 角形 5 若 A 为 ABC 的内角 比较大小 A A cot 8 cot 3 6 若 ABC 满足 acosA bcosB 则 ABC 的形状为 7 满足 A 600 a 6 b 4 的三角形有 个 8 设 为三角形最小内角 且 acos2 2 sin2 2 cos2 2 asin2 2 a 1 则 a 的取值范 围是 9 A B C 是一段笔直公路上的三点 分别在塔 D 的西南方向 正西方向 西偏北 300方向 且 AB BC 1km 求塔与公路 AC 段的最近距离 10 求方程xyxyyx 11的实数解 11 求证 20 7 20sin 3 1 0 五 联赛一试水平训练题 1 在 ABC 中 b2 ac 则 sinB cosB 的取值范围是 2 在 ABC 中 若 BA CA C B cos2cos cos2cos sin sin 则 ABC 的形状为 3 对任意的 ABC 2 cot 2 cot 2 cot CBA T cotA cotB cotC 则 T 的最大值 为 4 在 ABC 中 CB A sinsin 2 sin的最大值为 5 平面上有四个点 A B C D 其中 A B 为定点 AB 3 C D 为动点 且 AD DC BC 1 记 S ABD S S BCD T 则 S2 T2的取值范围是 6 在 ABC 中 AC BC 0 80 ACB O 为 ABC 的一点 0 10 OAB ABO 300 则 ACO 7 在 ABC 中 A B C 6 则乘积 2 cos 2 sin 2 cos CBA 的最大值为 最小值为 8 在 ABC 中 若 c a 等于 AC 边上的高 h 则 2 cos 2 sin CAAC 9 如图所示 M N 分别是 ABC 外接圆的弧AB AC 中点 P 为 BC 上的动点 PM 交 AB 于 Q PN 交 AC 于 R ABC 的内心为 I 求证 Q I R 三点共线 10 如图所示 P Q R 分别是 ABC 的边 BC CA AB 上一点 且 AQ AR BR BP CQ CP 求证 AB BC CA 2 PQ QR RP 11 在 ABC 外作三个等腰三角形 BFC ADC AEB 使 BF FC CD DA AE EB ADC 2 BAC AEB 2 ABC BFC 2 ACB 并且 AF BD CE 交于一点 试判断 ABC 的形状 用心 爱心 专心 六 联赛二试水平训练题六 联赛二试水平训练题 1 已知等腰 ABC AB AC 一半圆以 BC 的中点为圆心 且与两腰 AB 和 AC 分别相切 于点 D 和 G EF 与半圆相切 交 AB 于点 E 交 AC 于点 F 过 E 作 AB 的垂线 过 F 作 AC 的 垂线 两垂线相交于 P 作 PQ BC Q 为垂足 求证 sin2 EF PQ 此处 B 2 设四边形 ABCD 的对角线交于点 O 点 M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点 点 H1 H2 不重合 分别是 AOB 与 COD 的垂心 求证 H1H2 MN 3 已知 ABC 其中 BC 上有一点 M 且 ABM 与 ACM 的内切圆大小相等 求证 aPPAM 此处 2 1 P a b c a b c 分别为 ABC 对应三边之长 4 已知凸五边形 ABCDE 其中 ABC AED 900 BAC EAD BD 与 CE 交于点 O 求证 AO BE 5 已知等腰梯形 ABCD G 是对角线 BD 与 AC 的交点 过点 G 作 EF 与上 下底平行 点 E 和 F 分别在 AB 和 CD 上 求证 AFB 900的充要条件是 AD BC CD 6 AP AQ AR AS 是同一个圆中的四条弦 已知 PAQ QAR RAS 求证 AR AP AR AQ AQ AS 7 已知一凸四边形的边长依次为 a b c d 外接圆半径为 R 如果 a2 b2 c2 d2 8R2 试问对此四边形有何要求 8 设四边形 ABCD 内接于圆 BA 和 CD 延长后交于点 R AD 和 B