高一数学必修一函数讲义

精品文档 11欢迎下载 第二章 函数第二章 函数 第一节 函数 一 函数 1 函数的定义 设集合 A 是一个非空的数集 对 A 中的任意数 x 按照确定的法则 f 都有唯一 确定的数 y 与它对应 这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数 记作 其中 x yf x xA 叫做自变量 自变量的取值范围叫做函数的定义域 所有函数值构成的集合 即 叫做这个函数的值域 y yf xxA 2 检验两个给定的变量之间是否具有函数关系 需检验 1 定义域和对应法则是否给出 2 根据给出的对应法则 自变量 x 在其定义域中的每一个值 是否都能确定唯一的函数值 y 例 1 下列图形中 能表示 y 是 x 的函数的是 例 2 下列等式中 能表示 y 是 x 的函数的是 A B C D yx 2 1yx 2 1yx 2 1yx 3 如何判断函数的定义域 1 分式的分母不能为零 2 开偶次方根的被开方数要不小于零 3 多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集 4 函数中不为零 0 xx 例 3 求下列函数的定义域 1 2 32 32 x f x x 21f xx A x BCD x x x y y y y oo oo 精品文档 22欢迎下载 3 4 20 4 f xx 2 1 4 2 f xx x 例 4 求下列函数值域 1 2 21 1 2 3 4f xxx 2 21 0 3f xxxx 3 4 1 1 x x xf 21 1 1 x f xx x 4 函数的 3 要素 定义域 值域和对应法则 判断两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同 注 在函数关系式的表述中 函数的定义域有时可以省略 这时就约定这个函数的定义域就是 使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合 例 5 下列各对函数中 是相同函数的是 A B 2 f xxg xx 2 f xxg xx C D 2 f xxg xx 2 f xxg xx 5 区间 设 a bR 且 a b 满足 a x b 的全体实数 x 的集合 叫做闭区间 记作 a b 满足 a x b 的全体实数 x 的集合 叫做开区间 记作 a b 满足 a x b 或 a x b 的全体实数 x 的集合 都叫做半开半闭区间 分别记作 a b 或 a b 分别满足 x a x a x a x a 的全体实数的集合分别记作 a a a a 6 映射 设 A B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系 f 使对于集合A中的任意 一个元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 那么就称对应 f A B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射 其中 x 叫做原象 y 叫做象 注 映射可以是多对一 不可以一对多 即 A 中元素不可剩余 B 中元素可以剩余 特 别的 集合 B 中的任意元素在集合 A 中有且只有一个原象的映射 叫做一一映射 7 映射个数的确定 若集合 A 有 m 个元素 集合 B 中有 n 个元素 则 A 到 B 的映射有个 m n 例 6 已知集合 问 3 2 1 baBA 1 到 的不同映射 有多少个 BA 精品文档 33欢迎下载 2 到 的不同映射 有多少个 AB 8 映射与函数的关系 函数是特殊的映射 9 复合函数 二 函数的表示方法 1 列表法 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系 2 图像法 用图像表示函数关系 3 解析法 公式法 用代数式表示函数关系 三 分段函数 在函数的定义域内 对于自变量 x 的不同取值区间 有着不同的对应法则 这样的 函数叫做分段函数 例 7 已知函数 22 2 1 x xx xf 1 用分段函数的形式表示该函数 2 画出该函数的图像 3 写出该函数的值域 四 函数的单调性 1 增函数和减函数的定义 设函数的定义域为 如果对于定义域内的某个区间 xfy II 内的任意两个自变量 当时 都有 那么就说在区间上是D 21 x x 21 xx 21 xfxf xfD 增函数 区间称为的单调增区间 如果对于区间上的任意两个自变量的值 当D xfy D 21 x x 时 都有 那么就说在这个区间上是减函数 区间称为的 21 xx 21 xfxf xfD xfy 单调减区间 2 图像特点 精品文档 44欢迎下载 增函数 自左向右图象是上升的 减函数 自左向右图象是下降的 3 函数单调性的判定方法 1 定义法 任取 且 判断的符号 若 0 Dxx 21 21 xx 21 yf xf x y 在 D 上单调递增 若 0 在 D 上单调递减 f xy f x 2 图像法 根据图像直观地判断函数的单调性 3 直接法 根据一些特殊函数的性质 直接得出函数的单调性 如一次函数中的 k 0 直 接得出函数为增函数 4 结论 具有相反的单调性 与 c 为常数 具有相 f xf x与 f x f xc 同的单调性 a 0 时 与具有相同的单调性 a 0 时 与具有相反的单 af x f x af x f x 调性 若 则具有相反的单调性 时 与具有相 0f x 1 f x f x 与 0f x f x f x 同的单调性 若与具有相同的单调性 则与和都具有相同的 f x g x f xg x f x g x 单调性 例 8 讨论下列函数的单调性 1 2 3 4 3 xy 1 xy 0 1 x x y 2 23yxx 例 9 证明函数在上是减函数 x xxf 1 1 0 例 10 求函数在区间上的最小值 x xxf 1 2 0 4 复合函数单调性判断 同增异减 精品文档 55欢迎下载 例 11 判断函数在 2 上的单调性 2 2 2 4 44 x y xx 五 函数的奇偶性 1 奇函数 偶函数的定义 一般地 对于函数的定义域内的任意一个 都有 xfDx 且 那么就叫做奇函数 那么就叫做偶函数 Dx xfxf xf xfxf xf 例 12 判断奇偶性 1 2 3 4 2 1f xx 3 f xxx f xx 1f xx 例 13 判断函数的奇偶性 2 2 2 0 0 0 2 0 xx f xx xx 2 图像特征 1 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y 轴对称 2 奇函数的定义域为 D 若 则 yf x 0D 0 0f 3 函数奇偶性的判定 1 根据定义 首先确定函数的定义域 并判断其是否关于原点对称 如果不关于原点对称 则 函数没有奇偶性 若定义域关于原定对称 再确定与的关系 xf xf 最后作出相应结论 若或 则是奇函 xfxf 0 xfxf xf 数 若或 则是偶函数 xfxf 0 xfxf xf 2 根据图像 若函数的图象关于原点对称 则函数为奇函数 若函数的图象关于轴对称 则函数为偶函数 y 3 根据性质 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 精品文档 66欢迎下载 奇函数奇函数偶函数 偶函数偶函数偶函数 奇函数偶函数奇函数 4 函数的分拆 任何一个函数都可以拆分成一个奇函数和一个偶函数的和 即 f x 其中 偶函数 奇函数 f xF xG x 2 f xfx F x 2 f xfx G x 4 复合函数的奇偶性 xgfy 若函数的定义域都是关于原点对称的 那么由的奇偶 xgfxgxf ufyxgu 性得到的奇偶性的规律是 xgfy 函数奇偶性 xgu 奇函数奇函数偶函数偶函数 ufy 奇函数偶函数奇函数偶函数 xgfy 奇函数偶函数偶函数偶函数 即当且仅当和都是奇函数时 复合函数是奇函数 xgu ufy xgfy 5 利用奇偶性求函数解析式 例 14 若函数是定义在上的偶函数 当时 求当 时 函数 f xR0 x 2 2f xxx 0 x 的解析式 f x 6 函数奇偶性与单调性综合应用 例 15 函数是定义在上的奇函数 在上是增函数 且 则满足 f xR 0 1 0f 成立的的取值范围是 0f x x 例 16 定义在上的偶函数 当时 为减函数 若成立 2 2 g x0 x g x 1 gmg m 求的取值范围 m 精品文档 77欢迎下载 第二节 一次函数和二次函数 一 一次函数的性质与图像 1 一次函数的概念 函数叫做一次函数 定义域和值域都为 R 它的图像是 0 kbkxy 直线 其中叫做该直线的斜率 叫做该直线在轴上的截距 kby 2 一次函数的性质与图像 性质 一次函数 0 kbkxy图像 单调性奇偶性 0 b y Ox 增函数奇函数 0 k 0 b yy OxOx 增函数非奇非偶函数 0 b y Ox 减函数奇函数 0 k 0 b yy OxOx 减函数非奇非偶函数 例 1 已知函数为何值时 mmxmy 31 12 1 这个函数为正比例函数 2 这个函数为一次函数 3 函数值随的增大而减小 yx 4 这个函数的图像与直线的交点在轴上 1 xyx 例 2 如果一次函数的图像经过一 三 四象限 那么 0 kbkxy 精品文档 88欢迎下载 A B C D 0 0 bk0 0 bk0 0 bk0 0 bk 例 3 直线过点和 求直线与坐标轴围成三角形的面积 bkxy 2 2 2 2 2 0 bkxy 二 二次函数的性质与图像 1 二次函数的概念 形如的函数叫做二次函数 其定义域是 R 0 2 acbxaxy 2 二次函数的解析式 一般式 0 2 acbxaxxf 顶点式 是二次函数的顶点坐标 0 2 akhxaxf kh 两根式 是二次函数与轴的两个交点的横坐标 0 21 axxxxaxf 21 x xx 3 二次函数的性质与图像 二次函数 0 2 acbxaxy 0 a0 a 图像 定义域 R 值域 对称轴 顶点坐标 奇偶性是偶函数0 c abxaxy0 2 b 单调性 是减函数 2 a b x 是增函数 2 a b x 是增函数 2 a b x 是减函数 2 a b x 4 4 2 a bac y 4 4 2 a bac y 4 4 2 2 a bac a b a b x 2 精品文档 99欢迎下载 最值时 a b x 2 a bac y 4 4 2 min 时 a b x 2 a bac y 4 4 2 max 例 4 设abc 0 二次函数f x ax2 bx c的图象可能是 4 与二次函数有关的不等式恒成立问题 1 ax2 bx c 0 恒成立的充要条件是Error Error 2 ax2 bx c 0恒成立的充要条件是Error Error 例 5 设 当时 恒成立 求的取值范围 22 2 axxxf 1 xaxf a 三 待定系数法 一般的 在求一个函数时 如果知道这个函数的一般式 可先把所求函数写为一般形式 其 中系数待定 然后再根据题设条件求出这些待定的系数 这种通过求待定系数来确定变量之间关系 式的方法叫做待定系数法 例 6 已知一次函数的图像经过和 求这个函数的解析式 2 5 4 3 例 7 已知二次函数的图像过两点 它的对称轴为直线 求这个二 xfy 0 5 5 0 BA2 x 次函数的解析式 精品文档 1010欢迎下载 第三节 函数与方程 一 函数的零点 1 函数零点的概念 对于函数 Dxxfy 把使0 xf成立的实数x叫做函数 Dxxfy 的零点 即函数的图像与轴交点的横坐标叫这个函数的零点 xfx 例 1 下列函数中没有零点的是 A B C D 2 xxf xxf x xf 1 xxxf 2 2 零点存在定理 如果函数 xfy 在区间 ba上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 0 bfaf 那么函数 xfy 在区间 ba内至少有一个零点 既存在 使得 0 xa b 这个就是方程的根 0 0f x 0 x 例 2 若方程在内恰有一解 则的取值范围是 012 2 xax 1 0 a A B C D 1 a1 a11 a10 a 3 函数零点的性质 1 对于二次函数 图像是连续的 那么当它通过零点 不是二重零点 时 函数值变号 这种零点叫变号零点 当函数通过二重零点时 函数值的符号不改变 这种零点叫不变号零点 2 如果函数的图像是连续的 那么在相邻的两个零点之间的所有函数值保持同号 4 二次函数零点个数 方程0 2 cbxax有两不等实根 二次函数的图象与x轴有两个交点 二 次函数有两个零点 方程0 2 cbxax有两相等实根 二重根 二次函数的图象与x轴有一个 交点 二次函数有一个二重零点或二阶零点 方程0 2 cbxax无实根 二次函数的图象与x轴无交点 二次函数无零 点 二 二分法 1 二分法的定义 每次取区间的中点 将区间一分为二再经比较 按需要留下其中一个小区间 的方法叫做二分法 精品文档 1111欢迎下载 注 二分法只能判断变号零点 不能判断不变号零点 例 3 函数图象与轴均有交点 其中不能用二分法求函数零点近似值的是 x B 2 给定精确度 用二分法求方程的近似解的基本步骤如下 1 精确区间 使0 bfaf a bD 2 取区间的中点 计算 a b 0 1 2 xab 0 f xf af b 如果 则就是的零点 计算终止 0 0f x 0 x f x 如果 则零点位于区间 0 0f