IIR模拟带阻滤波器设计 论文

1 编号 数字信号处理 实训 论文 说明书 题 目 IIRIIR 模拟带阻滤波器设计模拟带阻滤波器设计 2 摘 要 滤波是信号处理中一种最基本但十分重要的技术 利用滤波 可以从复杂 的信号中提取所需的信号 抑制不需要的信号 所谓滤波器 就是对已知激励 可以在时间域或频域产生规定响应的网络 要使滤波器能够提取有用信号 要 求滤波器对信号与噪声有不同的增益 对有用信号尽量无失真放大 而对噪声 尽量衰减 本次实训的内容是 IIR 模拟带阻滤波器设计 本文介绍了 MATLAB 在数字信 号处理中的应用以及 IIR 模拟带阻滤波器的设计方法 本次实训设计 主要运 用了巴特沃斯和切比雪夫滤波器设计方法 并给出了具体的 MATLAB 程序设计及 其仿真结果 关键词 滤波 信号 滤波器 MATLAB 3 Abstract Filtering is the most basic and important technology of signal processing We can get the signal we want from the complex signal through filtering The filter is which can have the provisions of knowing incentive in the time domain or frequency domain response of the network If the there are different gain to signal and noise in the filter and withing useful signal amplification as much as possible and withoutting distortion and attenuation of noise as far as possible then the filter can extract the useful signal This curriculum design is the designing of the IIR band stop filter In this paper the use of MATLAB in Digital Signal Processing and the des ign method of IIR analog band stop filter In this curriculum design I main use the design method of Butterworth and t he design method of Chebyshev and give some specific MATLAB program and simu lation results Key words filtering signal filter MATLAB 1 目 录 引言 1 1 滤波器的基本概念 1 1 1 滤波器的定义 1 1 2 滤波器的分类 2 2 MATLAB 简介 2 3 基于 MATLAB 的模拟滤波器设计 3 3 1 模拟低通原型滤波器设计 3 3 1 1 巴特沃斯模拟低通滤波器的设计 3 3 1 2 切比雪夫模拟低通滤波器的设计 5 3 2 模拟带阻滤波器设计 7 3 2 1 巴特沃斯模拟带阻滤波器的设计 8 3 2 2 切比雪夫模拟带阻滤波器的设计 10 4 结论 13 谢辞 13 参考文献 1 1 引言 滤波是信号处理中一种最基本但十分重要的技术 利用滤波 可以从复杂的信号 中提取所需的信号 抑制不需要的信号 所谓滤波器 就是对已知激励 可以在时间 域或频域产生规定响应的网络 要使滤波器能够提取有用信号 要求滤波器对信号与 噪声有不同的增益 对有用信号尽量无失真放大 而对噪声尽量衰减 模拟滤波器的理论和设计方法相当成熟 设计时可以选用典型的模拟滤波器 如巴 特沃斯滤波器 契比雪夫滤波器 椭圆滤波器 贝赛尔滤波器等 它们有严格的设计 公式和现成的曲线和图表可供参考 巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性 契比 雪夫滤波器的幅频特性在通带和阻带内有波动 可以提高选择性 贝赛尔滤波器通带 内有较好的线性相位特性 在 MATLAB7 0 中提供了上述所有滤波器的设计函数 从而 大大降低了滤波器的设计难度 人类正在进入信息化时代 而数字化又是信息技术发展的方向 尽管许多类型信 号的处理确实已转移到数字领域 但是 在现代许多复杂高性能系统中模拟电路从根 本上己被证明是必需的 在这些应用中 模拟电路的作用都很难甚至不可能被相应的 数字电路所取代 因此包括模拟滤波仍是电子信息学科中的工程技术人员必须深入研 究的知识 由于滤波器的概念比较抽象 加上其数值计算又比较繁琐 所以需借助好 的计算机软件来进行辅助设计 是滤波器研究领域的一个发展趋势 这样的软件有很 多种 其中最具代表性的就是 MATLAB 语言及其工具箱 其将一个优秀软件包的易用性 与可靠性 通用性和专业性 以及一般目的的应用和高深的专业应用近乎完美地集成 在一起 并凭借其功能强大 技术先进和应用之深广 使其逐渐成为国际性的计算标准 为世界各地超过 20 万名科学家和工程师所采用 利用 MATLAB 软件 可以使滤波器的设计和实现变得事半功倍 因此 本文借助 MATLAB 软件来进行应用研究 本文通过具体的模拟带阻滤波器设计过程 充分说明在 MATLAB 环境中 模拟滤波器的设计己变得异常简单和高效率 而且结果更为稳定 可 靠 相信随着 MATLAB 软件在信息技术中的不断推广和使用 将会使科技工程人员从各 类萦琐的计算工作中解脱出来 有时间思考和研究更重要的问题 这必将为科技的进 步起到巨大的推动作用 1 滤波器的基本概念 1 1 滤波器的定义 滤波是信号处理中一种最基本而又重要的技术 利用滤波 可以从复杂的信号中 提取所需的信号 抑制不需要的信号 所谓滤波器 就是对已知激励 可以在时间域 2 或频域产生规定响应的网络 要使滤波器能够提取有用信号 要求滤波器对信号与噪 声有不同的增益 对有用信号尽量无失真放大 而对噪声尽量衰减 1 2 滤波器的分类 滤波器一般分为两类 模拟滤波器和数字滤波器 从功能上又可分为低通滤波器 LPF 高通滤波器 HPF 带通滤波器 BPF 带阻滤波器 BSF 从实现方法上 可分为 IIR 滤波器和 FIR 滤波器 本文主要讨论 IIR 模拟带阻滤波器 IIR 滤波器 即无限长单位冲击响应滤波器 它有以下几个特点 1 单位冲击响应 h n 是无限长的 2 系统函数 H z 在有限 z 平面上有极点存在 3 结构上存在着输出到输入的反馈 也就是结构上是递归型的 带阻滤波器是指能通过大多数频率分量 但将某些范围的频率分量衰减到极低水 平的滤波器 与带通滤波器的概念相对 将输入电压同时作用于低通滤波器和高 通滤波器 再将两个电路的输出电压求和 就可以得到带阻滤波器 如图 1 1 所 示 其中低通滤波器的截止频率应小于高通滤波器的截止频率 理想带阻滤波器 在阻带内的增益为零 图 1 1 带阻滤波器方框图 2 2 MATLAB 简介 MATLAB 软件是由美国 Math Work 公司于 1984 年推出 经过不断的完善与发展 如 今已成为覆盖多个学科的国际公认的最优秀的数值计算仿真软件 MATLAB 具有强大的 数值计算能力 许多复杂的计算问题只需短短几行代码就能在 MATLAB 中实现 作为一 个跨平台软件 MATLAB 已推出 Unix Windows Linux 和 Mac 等十多个操作系统的版本 大大方便了在不同操作系统平台下的研究工作 目前基于 Windows 系统的 MATLAB7 0 它秉承以往版本的优点并且人机界面友好 非常容易使用 MATLAB 软件具有很强的开放性和适应性 在保持内核不变的情况下 MATLAB 软件 可以针对不同的学科推出相应的工具箱 目前已推出图像处理工具箱 信号处理工具 低通滤 波器 高通滤 波器 求和电 路 3 箱 小波工具箱 神经网络工具箱以及通信工具箱等多个学科的专业工具箱 极大方 便了不同学科的研究工作 国内有来越多的科研和技术人员认识到 MATLAB 的强大作 用 并在不同领域内使用 MATLAB 来快速实现 充分发挥 MATLAB 语言的编程效率高 计算与图形出来能力非常强的特点 完成各 种计算与图形绘制工作 可使模拟滤波器的设计变得简单快捷 为后继设计打下一个 良好的基础 3 3 基于 MATLAB 的模拟滤波器设计 目前模拟滤波器的设计 都是先将要设计的滤波器的技术指标 主要是 p s 通过模拟频率变换成模拟低通滤波器的技术指标 并根据这些技术指标设计出低通滤 波器的系统函数 然后再根据频率变换关系变成所需滤波器的系统函数 低通滤波器的传递函数为 G s 幅频响应特性函数为 G j 归一化频率为 p j 因此其相应归一化的转移函数 幅频响应特性函数分别为 G p G j 而带阻滤波器的传递函数为 H s 幅频响应特性曲线为 H j 归一化频率为 p 且赋值变量 q j 因此其相应的归一化转移函数 幅频响应特性函数分 别为 H q H j 和 之间的变换关系成为频率变换关系 3 1 模拟低通原型滤波器设计 3 1 1 巴特沃斯模拟低通滤波器的设计 巴特沃斯滤波器具有最平滑的频率响应 在阶段频率以外 频率响应单调下降 在同袋中是理想的单位相应 在阻带中响应为 0 在阶段频率处有 3dB 的衰减 巴特 沃斯滤波器出了具有平滑单调递减的频率响应的优点之外 其过渡带的陡峭程度正比 于滤波器的阶数 高阶巴特沃斯滤波器的频率响应近似于理想低通滤波器 其中 在通带 或称 通频带 上频率响应幅度等波纹波动的滤波器称为 切比雪夫 I 型滤波器 在阻带 或称 阻频带 上频率响应幅度等波纹波 动的滤波器称为 切比雪夫 II 型滤波器 巴特沃斯低通滤波器是将巴特沃斯函数作为滤波器的传递函数 它的平方幅频响 应函数可表示为 3 1 1 1 2 1 1 2 2 幅频特性和相频特性 设 4 3 1 1 2 2 1 1 2 则有右边曲线 当 s j 时 上式写成 s 的函数为 3 1 1 3 1 1 2 有 2N 个极点 3 1 1 4 1 2 2 1 2 0 1 2 2 1 取左半平面的极点 稳定 有 3 1 1 5 1 0 若令 s j 得稳定的频率响应函数 3 1 1 6 1 0 巴特沃斯低通滤波器的设计可以按照以下三个步骤进行 步骤一 巴特沃斯滤波器的四个指标 即通带截止频率 Wp 阻带截止频率 Ws 通带衰减 Rp 阻带衰减 Rs 步骤二 由四个指标计算出参数 和 n 步骤三 确定系统传递函数 H s 巴特沃斯模拟滤波器的阶次 N 可以通过 MATLAB 中的 buttord 函数确定 此函数的 调用格式为 N Wn buttord Wp Ws Rp Rs s 其中 Wp 表示通带截止频率 Ws 表示阻带截止频率 Rp 表示通带衰减 dB Rs 表示阻带衰减 dB S 表示模拟滤波器 N 表示滤波器的阶次 Wn 为截止频率 实训中我没有调用此函数 而是自己按其算法编写成函数调用 函数定义如下 function n zll wp1 wr1 ap ar e sqrt 10 0 1 ap 1 r sqrt 10 0 1 ar 1 5 N log10 r e log10 wr1 wp1 n ceil N 其中 wp1 为巴特沃斯低通滤波器的通带截止频率 wr1 为阻带截止频率 ap 为通带衰 减 ar 为阻带衰减 n 为阶数 巴特沃斯模拟滤波器零极增益 z p k 可以通过 buttap 函数确定 其调用格式为 z p k buttap N 实训中我也没有调用此函数 而是自己编写其算法 算法如下 z p exp sqrt 1 pi 1 2 2 n 1 2 n pi 2 k real prod p 3 1 2 切比雪夫模拟低通滤波器的设计 巴特沃斯滤波器在通带内幅度特性是单调下降的 如果阶次一定 则在靠近截止 频率处 幅度下降很多 或者说 为了使通带内的衰减足够小 需要的阶次 N 很高 为了克服这一缺点 可采用切比雪夫多项式逼近 切比雪夫滤波器在通带范围内是等幅起伏的 所以同样的通带衰减 其阶数较巴 特沃斯滤波器要小 可根据需要对通带内允许的衰减量 波动范围 提出要求 如要 求波动范围小于 1db 振幅平方函数为 3 1 2 1 2 2 1 1 2 2 有效通带截止频率 与通带波纹有关的参量 其大则波纹大 N 阶切比雪夫多项式 巴特沃斯滤波器设计中为了某一性能达到标准 迫使滤波数阶数过高 过渡带过 宽 如果将误差均匀地分布在通带或阻带内 可使滤波器的阶数大为减低 切比雪夫设 计的滤波器能做到这一点 切比雪夫设计的滤波器的幅频平方函数为 3 1 2 2 2 1 1 2 2 其中 6 cos cos 1 cosh cosh 1 2 100 1 1 3 1 2 3 因此 类似地 切比雪夫低通滤波器的设计可以按照以下三个步骤进行 步骤一 切比雪夫滤波器的四个指标 即通带截止频率 Wp 阻带截止频率 Ws 通带波纹系数 Rp 阻带波纹系数 Rs 步骤二 由四个指标计算出参数 和 n 步骤三 确定系统传递函数 H s 切比雪夫模拟滤波器的阶次 N 可以通过 MATLAB 中的 cheb1ap cheb2ap 函数确定 该函数的调用格式为 N Wn cheb1ap Wp Ws Rp Rs s N Wn cheb2ap Wp Ws Rp Rs s 其中 Wp 表示通带截止频率 Ws 表示阻带截止频率 Rp 表示通带波纹系数 dB Rs 表示阻带波纹系数 dB S 表示模拟滤波器 N 表示滤波器的阶次 Wn 为截止频率 实训中我没有调用此函数 而是自己按其算法编写成函数调用 函数定义如下 function n zll2 wp1 wr1 rp rs e sqrt 10 0 1 rp 1 r sqrt 10 0 1 rs 1 cosh1 0 5 log r e sqrt r e 2 1 cosh2 0 5 log wr1 wp1 sqrt wr1 wp1 2 1 n ceil cosh1 cosh2 其中 wp1 表示通带截止频率 wr1 表示阻带截止频率 rp 表示通带波纹系数 rs 表示阻带波纹系数 n 为阶数 切比雪夫模拟滤波器的零极增益 z p k 可以通过 cheb1ap 和 cheb2ap 函数确定 其调用格式为 z p k cheb1ap N Rp z p k cheb2ap N Rs 实训中我没有调用这两个函数 而是自己按其算法编写成函数调用 函数定义如 下 function z p k zll5 n rp epsilon sqrt 10 1 rp 1 7 mu asinh 1 epsilon n p exp j pi 1 2 2 n 1 2 n pi 2 p sinh mu real p j cosh mu imag p z k real prod p if rem n 2 k k sqrt 1 epsilon 2 end function z p k zll6 n rs delta 1 sqrt 10 1 rs 1 mu asinh 1 delta n if rem n 2 m n 1 z j cos 1 2 n 2 n 2 2 2 n 1 pi 2 n else m n z j cos 1 2 2 n 1 pi 2 n end i 1 m 2 m 1 m 2 1 z z i p exp j pi 1 2 2 n 1 2 n pi 2 p sinh mu real p j cosh mu imag p p 1 p k real prod p prod z 3 2 模拟带阻滤波器设计 目前模拟带阻滤波器的设计 都是先将要设计的滤波器的技术指标 主要是 p s 通过频率变换成模拟低通滤波器的技术指标 并根据这些技术指标设计出低 通滤波器的转移函数 然后再根据频率变换关系便成所要设计的带阻滤波器的转移函 数 其设计流程如图 3 1 所示 给定所需类 型滤波器的 技术指标 转化成低通 技术指标 模拟低通滤 波器传递函 数 Ha s 所需类型滤 波器的传递 函数 H s 8 图 3 1 模拟带阻滤波器设计流程 基本设计思路是 先指标转化 后滤波器转化 即将指标转化为低通滤波器指标 设计低通滤波器 转化为带阻滤波器 设根据已获低通滤波器 如 L Hs 3 2 1 其中 p 为 3dB 截止频率 这里同时也作为指标 低通转带阻 3 2 2 2 在期望通带平滑的情况下 可以使用巴特沃斯滤波器 单在下降斜度大场合 采 用切比雪夫滤波器 总设计流程图如图 3 2 所示 图 3 2 总设计流程图 3 2 1 巴特沃斯模拟带阻滤波器的设计 开始 读入模拟带阻滤波器技术指标 将指标归一化成模拟低通滤波器的指标 计算归一化的模拟低通滤波器阶数 N 和零极点 和增益 输入信号后显示相关结果 结束 模拟频率变换 将模拟低通变换成模拟带通滤 波器 H s 9 1 设计流程 在 MATLAB 中 使用 lp2bs 函数实现低通模拟原型滤波器至带阻滤波器的频率转换 该函数的调用格式为 bt at lp2bs b a Wo Bw At Bt Ct Dt lp2bs A B C D Wo Bw 其中 at bt 为带阻滤波器传递函数的分母与分子向量 a b 为模拟低通原型滤 波器传递函数系数的分母与分子向量 At Bt Ct Dt 为带阻滤波器状态方程的系数矩阵 A B C D 为低通原型滤波器状态方程的系数矩阵 Wo 为中心频率 Bw 为带通滤波器带 宽 2 matlab 程序 clear all clc wp input 输入 wp wr input 输入 wr ap input 输入 ap ar input 输入 ar f1 input 输入 f1 f2 input 输入 f2 w1 2 pi f1 w2 2 pi f2 带阻边界角频率 rad s bw w2 w1 wn sqrt w1 w2 wp1 bw wp wp 2 wn 2 带阻指标转化为低通指标 wr1 bw wr wr 2 wn 2 n zll wp1 wr1 ap ar 阶数 n 的求解 z 将 n 值转换成零极增益 p exp sqrt 1 pi 1 2 2 n 1 2 n pi 2 k real prod p b a zp2tf z p k bt at lp2bs b a wn 2 pi bw 2 pi 低通转带阻 hh wh freqs bt at plot wh abs hh xlabel w pi ylabel H jw 2 title 巴特沃斯模拟带阻滤波器幅频特性曲线 grid on 10 3 运行结果 当输入数据 wp 100000 wr 400000 ap 40 ar 10 f1 200 f2 400 时 计算出 n 值 为 3 运行后波形如图 3 3 所示 图 3 3 巴特沃斯模拟带阻滤波器幅频特性曲线 3 2 2 切比雪夫模拟带阻滤波器的设计 1 设计流程 在 MATLAB 中 使用 lp2bs 函数实现低通模拟原型滤波器至带阻滤波器的频率转换 该函数的调用格式为 bt at lp2bs b a Wo Bw At Bt Ct Dt lp2bs A B C D Wo Bw 其中 at bt 为带阻滤波器传递函数的分母与分子向量 a b 为模拟低通原型滤 波器传递函数系数的分母与分子向量 At Bt Ct Dt 为带阻滤波器状态方程的系数矩阵 A B C D 为低通原型滤波器状态方程的系数矩阵 Wo 为中心频率 Bw 为带通滤波器带 宽 2 matlab 程序 I 型 clear all clc wp input 输入 wp 11 wr input 输入 wr rp input 输入 rp rs input 输入 rs f1 input 输入 f1 带阻下边界频率 f2 input 输入 f2 带阻上边界频率 w1 2 pi f1 w2 2 pi f2 带阻边界角频率 rad s w0 sqrt w1 w2 bw w2 w1 wp1 bw wp wp 2 w0 2 带阻指标转化为低通指标 wr1 bw wr wr 2 w0 2 n zll2 wp1 wr1 rp rs 调用函数求 n 值 z p k zll5 n rp 将 n 值转换成零极增益 b a zp2tf z p k bt at lp2bs b a w0 bw H w freqs bt at plot w pi abs H xlabel Frequency pi rad s ylabel H jw title 切比雪夫 I 型模拟带阻滤波器幅频特性曲线 grid on II 型 clear all clc wp input 输入 wp wr input 输入 wr rp input 输入 rp rs input 输入 rs f1 input 输入 f1 带阻下边界频率 f2 input 输入 f2 带阻上边界频率 w1 2 pi f1 w2 2 pi f2 带阻边界角频率 rad s w0 sqrt w1 w2 bw w2 w1 wp1 bw wp wp 2 w0 2 带阻指标转化为低通指标 wr1 bw wr wr 2 w0 2 n zll2 wp1 wr1 rp rs 调用函数求 n 值 12 z p k zll5 n rp 将 n 值转换成零极增益 b a zp2tf z p k bt at lp2bs b a w0 bw H w freqs bt at plot w pi abs H xlabel Frequency pi rad s ylabel H jw title 切比雪夫 II 型模拟带阻滤波器幅频特性曲线 grid on 3 运行结果 I 型 当输入数据为 wp 1 wr 4 rp 1 rs 40 f1 200 f2 400 时 计算出 n 值为 3 运行 后波形如图 3 4 所示 图 3 4 切比雪夫 I 型模拟带阻滤波器幅频特性曲线 II 型 当输入数据为 wp 1 wr 4 rp 1 rs 40 f1 200 f2 400 时 计算出 n 值为 3 运行 后波形如图 3 5 所示 13 图 3 5 切比雪夫 II 型模拟带阻滤波器幅频特性曲线 4 结论 1 参考文献 1 邹理和 数字滤波器 国防工业出版社 1999 2 胡广书 数字信号处理一 一理论 算法 实现 清华大学出版社 1997 3 黄席椿 高顺全 滤波器综合法设计原理 人民邮电出版社 1998 4 丁玉美等 数字信号处理 西安电子科技大学出版社 1999 5 陈永彬 数字信号处理 南京工学院出版社 2001 6 黄顺吉等 数字信号处理及其应用 国防工业出版社 2000 2 附 录 总程序如下 close all clc S input 开始请按 1 退出请按 0 while S 0 k input 请选择函数类型 1 巴特沃斯 2 切比雪夫 3 切比雪夫 if k 1 wp input 输入 wp wr input 输入 wr ap input 输入 ap ar input 输入 ar f1 input 输入 f1 f2 input 输入 f2 w1 2 pi f1 w2 2 pi f2 带阻边界角频率 rad s bw w2 w1 wn sqrt w1 w2 wp1 bw wp wp 2 wn 2 带阻指标转化为低通指标 wr1 bw wr wr 2 wn 2 n zll wp1 wr1 ap ar 阶数 n 的求解 z 将 n 值转换成零极增益 p exp sqrt 1 pi 1 2 2 n 1 2 n pi 2 k real prod p b a zp2tf z p k bt at lp2bs b a wn 2 pi bw 2 pi 低通转带阻 h