2013年高考数学40个考点总动员 考点38 几何证明选讲（教师版） 新课标

用心 爱心 专心1 DC AE B 考点考点 3838 几何证明选讲几何证明选讲 高考再现 1 2012 年高考 四川理 如图 正方形的边长为 延长至 使 ABCD1BAE1AE 连接 则 ECEDsinCED A B C D 3 10 10 10 10 5 10 5 15 3 2012 年高考 陕西理 如图 在圆 O 中 直径 AB 与弦 CD 垂直 垂足为E 垂足为 F 若 则 EFDB 6AB 1AE DF DB 解析 在中 5BE 2 5DEAE EB 5DE RtDEBD 2 5DF DBDE 4 2012 年高考 湖南理 如图 2 过点 P 的直线与圆 O 相交于 A B 两 点 若 PA 1 AB 2 PO 3 则圆 O 的半径等于 答案 6 解析 设交圆 O 于 C D 如图 设圆的半径为 R 由割线定理知 PO 1 12 3 3 6 PA PBPC PDrrr 即 5 2012 年高考 广东理 几何证明选讲 如图 3 圆的半径为 1 是圆周OABC 上的三点 满足 过点作圆的切线与的延长线30ABC AOOC AB O P 图图 2 用心 爱心 专心2 交于点 则 PPA 答案 3 解析 连接 则 因为 所以 OA60AOC 90OAP 1OA 3PA 7 2012 年高考 陕西文 如图 在圆 O 中 直径 AB 与弦 CD 垂直 垂足 为 E 垂足为 F 若 则 EFDB 6AB 1AE DF DB 解析 在中 5BE 2 5DEAE EB 5DE RtDEBD 2 5DF DBDE 9 2012 年高考 新课标理 选修 4 1 几何证明选讲 如图 分别为边的中点 直线交的外接 D EABC AB ACDEABC 圆于两点 若 证明 F G CFAB 1 CDBC 2 BCDGBD 解析 1 CFAB DFBCCFBDADCDBF CFABAFBCBCCD F G D E A BC 用心 爱心 专心3 2 BCGFBGFCBD BCGFGDEBGDDBCBDC BCDGBD 10 2012 年高考 辽宁理 选修 4 1 几何证明选讲 如图 O和 O相交于 A B两点 过A作两圆的切线 分别交两圆于C D两点 连接DB并延长交 O于点E 证明 AC BDAD AB ACAE 答案及解析 11 2012 年高考 江苏 选修 4 1 几何证明选讲 如图 是圆AB 的直径 为圆上位于异侧的两点 连结并延长至点 使O D EABBDC 连结 BDDC AC AE DE 求证 EC 解析 证明 连接 AD 是圆的直径 直径所对的圆周角是直角 ABO 0 90ADB 垂直的定义 ADBD 又 是线段的中垂线 线段的中垂线定义 BDDC ADBC 线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 ABAC 等腰三角形等边对等角的性质 BC 又 为圆上位于异侧的两点 D EAB 同弧所对圆周角相等 BE 等量代换 EC 12 2012 年高考 课标文 选修 4 1 几何选讲 用心 爱心 专心4 如图 D E 分别是 ABC 边 AB AC 的中点 直线 DE 交 ABC 的外接圆与 F G 两点 若 CF AB 证明 CD BC BCD GBD 方法总结 注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理 在一个题目中 判定定理和性质定理可 能多次用到 涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化 关于圆周上的点 常作直线 或半 径 或向弦 弧 两端画圆周角或作弦切角 考点剖析 一 明确要求 考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用 考查圆的切线 定理和性质定理的应用 考查相交弦定理 切割线定理的应用 考查圆内接四边形的判定 与性质定理 二 命题方向 牢牢抓住圆的切线定理和性质定理 以及圆周角定理和弦切角等有关知识 重点掌握解决 问题的基本方法 紧紧抓住相交弦定理 切割线定理以及圆内接四边形的判定与性质定理 重点以基本知识 基本方法为主 通过典型的题组训练 掌握解决问题的基本技能 三 规律总结 1 平行截割定理 1 平行线等分线段定理及其推论 定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在任一条 与这组平行线相交 的 直线上截得的线段也相等 推论 经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰 2 平行截割定理及其推论 定理 两条直线与一组平行线相交 它们被这组平行线截得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 截得的三角形与原三角 形的对应边成比例 3 三角形角平分线的性质 三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比 用心 爱心 专心5 4 梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半 2 相似三角形 基础梳理 1 圆周角定理 1 圆周角 顶点在圆周上且两边都与圆相交的角 2 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧度数的一半 3 圆周角定理的推论 同弧 或等弧 上的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 90 的圆周角所对的弦是直径 2 圆的切线 1 直线与圆的位置关系 直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系 相交两个d r 相切一个d r 相离无d r 2 切线的性质及判定 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 用心 爱心 专心6 切线的判定定理 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 3 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线长相等 3 弦切角 基础梳理 1 圆中的比例线段 定理名称基本图形条件结论应用 相交弦定理 弦AB CD相交 于圆内点P 1 PA PB PC P D 2 ACP DBP 1 在 PA PB PC PD 四线段中知三求 一 2 求弦长及角 切割线定理 PA切 O于 A PBC是 O 的割线 1 PA2 PB PC 2 PAB P CA 1 已知 PA PB PC知二 可求一 2 求解AB AC 割线定理 PAB PCD是 O的割线 1 PA PB PC P D 2 PAC P DB 1 求线段PA PB PC PD及 AB CD 2 应用相似求 AC BD 2 圆内接四边形 1 圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补 2 圆内接四边形判定定理 如果四边形的对角互补 则此四边形内接于圆 若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等 则此两点与线段两个端点共圆 特别的 对定线段张角为直角的点共圆 基础练习 1 经典习题 如图所示 已知a b c 直线m n分别与a b c交于点A B C和 用心 爱心 专心7 A B C 如果AB BC 1 A B 则B C 3 2 2 经典习题 如图所示 BD CE是 ABC的高 BD CE交于F 写出图中所有与 ACE 相似的三角形 3 经典习题 如图所示 已知DE BC BF EF 3 2 则 AC AE AD DB 4 经典习题 如图所示 ABC中 C 90 AB 10 AC 6 以AC为直径的圆与斜 用心 爱心 专心8 边交于点P 则BP长为 解析 连接CP 由推论 2 知 CPA 90 即CP AB 由射影定理知 AC2 AP AB AP 3 6 BP AB AP 6 4 答案 6 4 5 经典习题 如图所示 AB AC是 O的两条切线 切点分别为B C D是优弧上的 BC 点 已知 BAC 80 那么 BDC 6 经典习题 如图所示 已知 O的两条弦AB CD相交于AB的中点E 且 AB 4 DE CE 3 则CD的长为 名校模拟 一 基础扎实 1 北京市东城区 2011 2012 学年度第二学期高三综合练习 二 理 如图 直线 PC与 O相切于点C 割线PAB经过圆心O 弦CD AB于点E 4PC 8PB 则CE 用心 爱心 专心9 2 北京市西城区 2012 届高三下学期二模试卷理 如图 是 的内接三角形 ABCO 是 的切线 交于点 交 于点 若PAOPBACEOD PAPE 则 60ABC 1PD 9PB PA EC 答案 34 解析 由切割线定理可知 2 1 9 3 PAPD PBPA 为等边三角形 60 ABCPACPAPEAPE 由割线定理可知 3126AEAPDPEDEPDPBE 36 24 AEECBEEDECEC 3 北京市西城区 2012 届高三 4 月第一次模拟考试试题理 如图 AC为 O的直径 OBAC 弦BN交AC于点M 若 3OC 1OM 则MN 答案 1 解析 BMMNCMAM 2 31 31 MN 1MN 4 如图 切圆于点 割线经过圆心 则 PCOCPABO4 8PCPB OBC S A B C O M N 用心 爱心 专心10 5 湖北 2012 高考冲刺理 6 湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理 如图 A B是圆O上的两点 且 OA OB OA 2 C为OA的中点 连接BC并延长交圆O于点D 则CD 答案 3 5 5 解析 由题意得 在直角 中BOC 2 15OBOCBC 延长AO 与圆O的交点为E 在圆O中 由相交弦定理得 BCCDACCE 则 1 33 5 55 ACCE CD BC 7 华中师大一附中 2012 届高考适应性考试理 选修 4 1 几何证 明选讲 如图 O的直径为 6 为圆周上一点 BC 3 过 作圆的切线 l 过 A 作l的垂线 AD 垂足为 则 CD 用心 爱心 专心11 8 2012 年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理 已知AB为半圆O的直径 4AB C为半圆上一 点 过点C作半圆的切线CD 过点A作ADCD 于D 交圆于点E 1DE 求证 AC平分BAD 求BC的长 二 能力拔高 9 2012 东城区普通高中示范校高三综合练习 二 理 如图 已知是 的切线 是切点 直线交 于两点 是的中PAOAPOO B CDOC 点 连结并延长交 于点 若 则 ADOE2 3 30PAAPB AE 答案 10 7 7 AE 解析 根据已知可得 故 且 在tan302AOAP 1OD 120AOD 中 根据余弦定理可得 根据相交弦定理得AOD 4 1 2 2 1cos1207AD 即 所以 所以 CDDBADDE 1 37DE 3 7 7 DE 10 7 7 AE 用心 爱心 专心12 11 2012 2012 年长春市高中毕业班第二次调研测试年长春市高中毕业班第二次调研测试理 如图 在 中 是的ABCCDACB 平分线 的外接圆交于点 ACDBCE2ABAC 求证 当 时 求的长 2BEAD 1AC 2EC AD 12 2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测 二 文 如图 AB 为圆的直径 P 为圆外一点 过 P 点作 PCAB 于 C 交圆于 D 点 OO O PA 交圆于 E 点 BE 交 PC 于 F 点 O I 求证 PABE 求证 2 CDCF CP 证明 依题意 0 90AEBACP 所以在 中 Rt ACP 90 PPAB 在 中 所以Rt ABE 90 ABEPAB PABE 在中 ADBRt 2 CDAC CB 用心 爱心 专心13 由 得 BCF PCA BCCF PCAC 所以 2 CDBC ACCF CP 2 CDCF CP 13 唐山市 2011 2012 学年度高三年级第一次模拟考试文 如图 AB 是圆 O 的直径 以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为 P 过点 A 作直线交圆 O 于点 Q 交圆 B 于点 M N I 求证 QM QN II 设圆 O 的半径为 2 圆 B 的半径为 1 当 AM 时 求 MN 10 3 的长 14 2012 河南豫东豫北十所名校毕业班阶段性测试 三三 文 如图 四边形 ABCD 是的内接四边形 延长 BC AD 交于点 E 且 CE AB AC 连接 BD 交 AC 于点 F I 证明 BD 平分 II 若 AD 6 BD 8 求 DF 的长 解析 CEAC ECAE 2 分 ABAC ABCACB DBCCAE DBCECAE ABCABDDBC ACBECAE 4 分 ABDCAE ABDDBC 即BD平分ABC 5 分 由 知CAEDBCABD 又 ADFADB ADFBDAVV 7 分 ADDF BDAD 6AD 8BD 用心 爱心 专心14 2 369 82 AD DF BD 10 分 15 中原六校联谊 2012 年高三第一次联考理 如图 O1与 O2相交于 A B 两点 过 点A 作 O1的切线交 O2于点 C 过点 B 作两圆的割线 分别 交 O1 O2于点 D E DE 与 AC 相交于点 P 1 求证 AD EC 2 若 AD 是 O2的切线 且 PA 6 PC 2 BD 9 求 AD 的 长 三 提升自我 16 仙桃市 2012 年五月高考仿真模拟试题理 如图 半径分别为a和a3的圆 O1与圆 O2 外切于 T 自圆 O2上一点 P 引圆 O1的切线 切点为 Q 若 PQ 2a 则 PT 17 湖北钟祥一中 2012 高三五月适应性考试理 4 1 几何证明选讲 如图 是PA 圆的切线 是切点 直线交圆于 两点 是的中点 连结OAPOOBCDOC 并延长交圆于点 若 则 ADOE2 3PA 30APB AE 用心 爱心 专心15 18 襄阳五中高三年级第一次适应性考试理 如图 直角三角形ABC中 B 90 o AB 4 以BC为直径的圆交边AC于点D AD 2 则 C的大小为 19 湖北省武汉市 2012 届高中毕业生五月供题训练 二 理 如图 已知 C 点在 O 直径 BE 的延长线上 CA 切 O 于 A 点 CD 是 ACB 的平分线且 交 AB 于点 D 则 ADC 的度数是 答案 0 45ADC