北京东城区示范校2011届高三数学综合练习（二） 理

用心 爱心 专心 1 20102010 20112011学年度第二学期东城区示范校综合练习学年度第二学期东城区示范校综合练习 高三数学高三数学 理 理 本试卷分第 卷和第 卷两部分 第 卷1至2页 第 卷3至5页 共150分 考试时长 120分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试卷上作答无效 考试结束后 将本试卷和答 题卡一并交回 第第 卷卷 选择题 共40分 一 本大题共一 本大题共8 8小题 每小题小题 每小题5 5分 共分 共4040分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求 的一项 的一项 1 若集合 1Axx 0Bx x 全集U R R 则 RA B 等于 A B 0 x x 1 xx C 01xx D 2 1m 是 直线 0 xy 和直线 0 xmy 互相垂直 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 已知各项不为0的等差数列 n a 满足 2 2712 220aaa 数列 n b 是等比数列 且 77 ba 则 3 11 b b 等于 A 16 B 8 C 4 D 2 4 某程序框图如图所示 现输入如下四个函数 2 f xx 1 f x x exf x sinf xx 则可以输出的函数是 A 2 f xx B 1 f x x C exf x D sinf xx 用心 爱心 专心 2 5 如果三位正整数如 abc 满足 ab bc 则这样的三位数称为凸数 如120 352 那么 所有的三位凸数的个数为 A 240 B 204 C 729 D 920 6 一个几何体的三视图如图所示 则这个几何体的体积为 A 1 B 2 3 C 5 6 D 1 3 7 已知向量 2 1xx a 1 x t b 若函数 f x a b在区间 1 1 上是增函数 则实数t的取值范围是 A 5 B 5 C 5 C 5 8 定义函数 yf x x D 若存在常数c 对任意 1 xD 存在唯一的 2 xD 使得 12 2 f xf x c 则称函数 f x 在D上的算术平均数为c 已知 lnf xx 2 8x 则 lnf xx 在 2 8 上的算术平均数为 A ln2 B ln4 C ln5 D ln8 第第 卷卷 共110分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共6 6小题 每小题小题 每小题5 5分 共分 共3030分 分 9 复数 2i 1 i z 其所确定的点Z位于复平面的第 象限 10 右图是样本容量为200的频率分布直方图 根据样 本的频率分布直方图估计 样本数据落在 6 14 内的频数为 数据落在 2 14 内的 概率约为 11 若抛物线 2 0yax a 的焦点与双曲线 用心 爱心 专心 3 22 1 72 xy 的一个焦点相同 则该抛物线的方程为 12 已知在极坐标系下 点 2 1 3 33 ABO 是极点 则 A B 两点间的距离 AB AOB 的面积等于 13 如图 已知AB是圆O的直径 4AB C为圆上任意一点 过C点做圆的切线分 别与过 A B 两点的切线交于 P Q 点 则CP CQ 14 如图 在正方体 1111 ABCDABC D 中 E F G H M分别是棱AD 1 DD 111 D AA A AB 的中点 点N在四边形EFGH的四边及其内部运动 则当N只需满足条件 时 就有 11 MNAC 当N只需满足条件 时 就有MN 平面 11 B DC 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共6 6小题 共小题 共8080分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共13分 已知函数 2 2cos2 3sin cosf xxxxa 且 4 6 f 求a的值 当 43 x 时 求函数 f x 的值域 用心 爱心 专心 4 16 本小题共13分 某单位在2011新年联欢会上举行一个抽奖活动 甲箱中装有3个红球 2个黑球 乙箱中 装有2个红球4个黑球 参加活动者从这两个箱子中分别摸出1个球 如果摸到的都是红球则 获奖 求每个活动参加者获奖的概率 某办公室共有5人 每人抽奖1次 求这5人中至少有3人获奖的概率 17 本小题共14分 如图 在四棱柱 1111 ABCDABC D 中 底面ABCD是正方形 侧棱与底面垂直 点 O是正方形ABCD对角线的交点 1 24AAAB 点E F分别在 1 CC 和 1 A A 上 且 1 CEAF 求证 1 B F 平面BDE 若 1 AOBE 求CE的长 在 的条件下 求二面角 1 ABEO 的余弦值 用心 爱心 专心 5 18 本小题共13分 已知函数 ln m f xxm x R 求函数 f x 的定义域 并讨论函数 f x 的单调性 问是否存在实数m 使得函数 f x 在区间 1 e 上取得最小值3 请说明理由 19 本小题共14分 已知椭圆的的右顶点为A 离心率 1 2 e 过左焦点 1 0F 作直线l与椭圆交于点 P Q 直线AP AQ分别与直线 4x 交于点 M N 求椭圆的方程 证明以线段MN为直径的圆经过焦点F 20 本小题共13分 用心 爱心 专心 6 对数列 n a 规定 n a 为数列 n a 的一阶差分数列 其中 1 nnn aaa n N 对正整数k 规定 k n a 为 n a 的k阶差分数列 其中 111 1 kkkk nnnn aaaa 若数列 n a 的首项 1 1a 且满足 2 1 2n nnn aaa 求数列 n a 的通项公式 对 中的数列 n a 若数列 n b 是等差数列 使得 1231 1231 nn nnnnnnnn bCb Cb CbCb Ca 对一切正整数n N 都成立 求 n b 在 的条件下 令 21 nn cnb 设 312 123 n n n cccc T aaaa 若 n Tm 成 立 求最小正整数m的值 用心 爱心 专心 7 2010 20112010 2011学年度东城区示范校综合练习答案学年度东城区示范校综合练习答案 高三数学高三数学 理科 理科 一 选择题一 选择题 1 C 2 C 3 A 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B 二 填空题填空题 9 13 i 22 4 10 136 0 76 11 2 12yx 12 3 3 7 4 13 4CP CQ 14 点N在EG上 点N在EH上 填空题 第一空3分 第二空2分 三 解答题三 解答题 15 解 由 4 6 f 可得 2 313 22 34 222 a 2分 1a 4分 2 2cos2 3sin cos1f xxxx cos23sin22xx 2sin 22 6 x 8分 43 x 5 2 336 x 3 sin 21 26 x 11分 234f x 所以 函数 f x 的值域为 23 4 13分 16 解 设事件 1 A 表示从甲箱中摸出红球 事件 2 A 表示从乙箱中摸出红球 因为从甲箱中摸球的结果不影响从乙箱中摸球的结果 所以 1 A 和 2 A 相互独立 用心 爱心 专心 8 12 321 563 p Ap A 所以 1212 31 0 2 53 PP A AP A P A 获奖 7分 设X为5人中获奖的人次 则 5 0 2 XB 9分 3 3 4 5 P XP XP XP X 3324455 555 0 2 1 0 2 0 2 1 0 2 0 2CCC 181 3125 所以 5人中至少有3人获奖的概率为 181 3125 13分 17 解 证明 取 1 BECE 连结 1 EE 和 1 AE 1 EEBC 1 EE BC BC AD BC AD 1 EEAD 1 EE AD 四边形 1 AE ED 为平行四边形 1 AE DE 在矩形 11 A ABB 中 11 AFBE 四边形 11 B FAE 为平行四边形 1 B F 1 AE 1 B F DE DE 平面BDE 1 B F 平面BDE 1 B F 平面BDE 4分 连结OE 在正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 AA 平面ABCD 1 AABD BD AC BD 平面 1 A AO 用心 爱心 专心 9 1 BDAO 由已知 1 AOBE 得 1 AO 平面BDE 1 90AOE 1 90AOAEOC 在 1 A AO 与 OCE中 1 EOCOA A 1 ECOOAA 1 A AO OCE 1 A AAO OCCE 1 2 CE 9分 以A为原点 AB AD 1 AA 所在直线为x y z轴 建立空间直角坐标系 1 1 2 0 0 2 2 0 0 4 1 1 0 2 BEAO 111 7 1 1 4 2 0 4 2 2 2 OAABAE 由 知 1 OA 为平面OBE的一个法向量 设 x y z n 为平面 1 ABE 的一个法向量 则 1 1 0 0 AB AE n n 即 240 7 220 2 xz xyz 令 1z 所以 1 2 1 4 n 1 2 cos 6 OA n 二面角 1 ABEO 的平面角为锐角 二面角 1 ABEO 的余弦值为 2 6 13分 18 解 函数 f x 的定义域为 0 且 22 1mxm fx xxx 用心 爱心 专心 10 令 0fx 得 xm 2分 当 0m 时 0 xm 2 0 xm fx x 函数 f x 在 0 上是增函数 当 0m 时 在区间 0 m 上 0fx 函数 f x 在 0 m 上是减函数 在区间 m 上 0fx 函数 f x 在 m 上是增函数 6分 由 知 2 xm fx x 1 若 1m 则在区间 1 e 上 0fx 函数 f x 在 1 e 上是增函数 此时 f x 取最小值 1f 由 13fm 得 31 m 8分 2 若 e m 则在区间 1 e 上 0fx 函数 f x 在 1 e 上是减函数 此时 f x 取最小值 ef 由 e13 e m f 得 2e em 10分 3 若 e1m 则在区间 1 m 上 0fx 函数 f x 在 1 m 上是减函数 在区间 m 上 0fx 函数 f x 在 m 上是增函数 此时 f x 取最小值 fm 由 ln13fmm 得 2 em e 1 12分 综上所述 存在实数 2em 使得 f x 在区间 1 e 上取得最小值3 13分 19 解 由已知 1 1 2 c c a 2 3ab 用心 爱心 专心 11 椭圆方程为 22 1 43 xy 5分 设直线l方程为 1yk x 由 22 1 1 43 yk x xy 得 2222 3484120kxk xk 设 1122 P x yQ xy 则 22 1212 22 8412 3434 kk xxx x kk 7分 设 4 4 MN MyNy 则由 A P M 共线 得 11 11 42 M yyy xx 有 1 1 6 2 M y y x 同理 2 2 6 2 N y y x 2 1212 12 121212 361 36 2224 MN kx xxx y y y y xxx xxx 9分 2 1212 1212 22 2 22 2 222 22 3 3 9 361 9 24 4128 361 34349 36 990 412836 24 3434 MNMN FM FNyyy y kx xxx x xxx kk k kkk kkk kk FM FN 即FM FN 以线段MN为直径的圆经过点F 12分 当直线l的斜率不存在时 不妨设 4 3 4 3MN 则有 3 33 3990FM FN FM FN 即FM FN 以线段MN为直径的圆经过点F 综上所述 以线段MN为直径的圆经过定点F 14分 20 解 由 2 1 2n nnn aaa 及 2 1nnn aaa 得 2n nn aa 用心 爱心 专心 12 1 22 n nn aa 1 1 1 222 nn nn aa 2分 数列 2 n n a 是首项为 1 2 公差为 1 2的等差数列 11 1 222 n n a n 1 2n n an 4分 1231 1231 nn nnnnnnnn bCb Cb CbCb Ca 12311 1231 2 nnn nnnnnnn bCb Cb CbCb Cn 1 1 kk nn kCnC 12310121 1111 01211 1111 231 2