高中数学 导数成经论 新人教A版必修3

用心 爱心 专心1 导数成经论导数成经论 1 2009 北京文 设函数 3 3 0 f xxaxb a 求函数 f x的单调区间与极值点 2 2009 安徽卷理 已知函数 2 2ln 0 f xxaxa x 讨论 f x的单调性 3 2010 年丰台一模 已知函数 ln a f xx x 当0a 时 求函数 f x 的单调区间 若函数 f x 在 1 e 上的最小值是 3 2 求a的值 4 2010 辽宁理数 辽宁理数 已知函数1ln 1 2 axxaxf I 讨论函数 xf的单调性 测试 测试 2009 重庆卷理 设函数 2 0 f xaxbxk k 在0 x 处取得极值 且曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线垂直于直线210 xy 求 a b的值 若函数 x e g x f x 讨论 g x的单调性 测试 测试 2010 年朝阳一模 已知函数 3 22 1 3 mx f xaxbx m a b R R 求函数 f x的导函数 fx 当1m 时 若函数 f x是R R上的增函数 求zab 的最小值 当1a 2b 时 函数 f x在 2 上存在单调递增区间 求m的取值范 围 参考答案 2009 北京文 设函数 3 3 0 f xxaxb a 求函数 f x的单调区间与 极值点 解 2 30fxxaa 当0a 时 0fx 函数 f x在 上单调递增 用心 爱心 专心2 此时函数 f x没有极值点 当0a 时 由 0fxxa 当 xa 时 0fx 函数 f x单调递增 当 xaa 时 0fx 函数 f x单调递减 当 xa 时 0fx 函数 f x单调递增 此时xa 是 f x的极大值点 xa 是 f x的极小值点 2 2009 安徽卷理 已知函数 2 2ln 0 f xxaxa x 讨论 f x的单调性 解 f x的定义域是 0 2 22 22 1 axax fx xxx w w w k s 5 u c o m 设 2 2g xxax 二次方程 0g x 的判别式 2 8a 当 2 80a 即02 2a 时 对一切0 x 都有 0fx 此时 f x在 0 上是增函数 当 2 80a 即2 2a 时 仅对2x 有 0fx 对其余的0 x 都有 0fx 此时 f x在 0 上也是增函数 当 2 80a 即2 2a 时 方程 0g x 有两个不同的实根 2 1 8 2 aa x 2 2 8 2 aa x 12 0 xx x 1 0 x 1 x 12 x x 2 x 2 x fx 0 0 f x 单调递增A 极大 单调递减A 极小单调递增 此时 f x在 2 8 0 2 aa 上单调递增 在 22 88 22 aaaa 是上单调递减 在 2 8 2 aa 上单调递增 用心 爱心 专心3 3 13 分 已知函数 ln a f xx x 当0a 时 求函数 f x 的单调区间 若函数 f x 在 1 e 上的最小值是 3 2 求a的值 解 函数 ln a f xx x 的定义域为 0 1 分 22 1 axa fx xxx 3 分 0a 0fx 故函数在其定义域 0 上是单调递增的 5 分 在 1 e 上 分如下情况讨论 当 a 1 时 0fx 函数 f x单调递增 其最小值为 1 fa 1 这与 函数在 1 e 上的最小值是 3 2 相矛盾 6 分 当 a 1 时 函数 f x在 1 e单调递增 其最小值为 1 1f 同样与最小值 是 3 2 相矛盾 7 分 当 1 ae 时 显然函数 f x在 1 e 上单调递减 其最小值为 1 a f e e 2 仍与最小值是 3 2 相矛盾 12 分 综上所述 a的值为e 13 分 4 用心 爱心 专心4 测试 1 2009 重庆卷理 本小题满分 13 分 问 5 分 问 8 分 设函数 2 0 f xaxbxk k 在0 x 处取得极值 且曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线垂直于直线210 xy 求 a b的值 若函数 x e g x f x 讨论 g x的单调性 解 因 2 0 2f xaxbxk kfxaxb 故 又 f x在 x 0 处取得极限值 故 0 fx 从而0b w w w k s 5 u c o m 由曲线 y f x在 1 f 1 处的切线与直线210 xy 相互垂直可知 该切线斜率为 2 即 1 2 f 有2a 2 从而a 1 由 知 2 0 x e g xk xk 2 22 2 0 x exxk g xk xk 令 2 0 20g xxxk 有 1 当440 k 即当k 1时 g x 0在R 上恒成立 故函数g x 在R 上为增函数 2 当440 k 即当k 1时 2 22 1 0 0 x ex g xx xk K 1 时 g x 在 R 上为增函数 用心 爱心 专心5 3 440 k 即当0 k 1时 方程 2 20 xxk 有两个不相等实根 12 11 11xk xk w w w k s 5 u c o m 当 11 0 11 xkg xg xk 是故在 上为增函数 当11 11xkk 时 0 g x 故 11 11g xkk 在 上为减函数 11xk 时 0 g x 故 11g xk 在 上为增函数 测试二 解 22 2 1 fxmxaxb 因为函数 f x是R R上的增函数 所以 0fx 在R R上恒成立 则有 22 44 1 0ab 即 22 1ab 设 cos sin ar br 为参数 01r 则 cossin 2 sin 4 zabrr 当sin 1 4 且1r 时 zab 取得最小 值2 可用圆面的几何意义解得zab 的最小值 2 z a b o b a 当0m 时 2 21fxmxx 是开口向上的抛物线 显然 fx 在 2 上存 在子区间使得 0fx 所以m的取值范围是 0 当0m 时 显然成立 当0m 时 2 21fxmxx 是开口向下的抛物线 要使 fx 在 2 上存在 子区间使 0fx 应满足 0 1 2 1 0 m m f m 或 0 1 2 2 0 m m f 解得 1 0 2 m 或 31 42 m 所以m的取值范围是 3 0 4 则m的取值范围是 3 4 例 5 设函数 1ln 1 xaaxxf 其中1 a 求 xf的单调区间 解 由已知得函数 f x的定义域为 1 且 1 1 1 ax fxa x 1 当10a 时 0 fx 函数 f x在 1 上单调递减 用心 爱心 专心6 2 当0a 时 由 0 fx 解得 1 x a fx f x随x的变化情况如下表 x 1 1 a 1 a 1 a fx 0 f x 极小值 从上表可知 当 1 1 x a 时 0 fx 函数 f x在 1 1 a 上单调递减 当 1 x a 时 0 fx 函数 f x在 1 a 上单调递增 综上所述 当10a 时 函数 f x在 1 上单调递减 当0a 时 函数 f x在 1 1 a 上单调递减 函数 f x在 1 a 上单调递 增 1 市理 设a R 函数 2 exf xxaxa 若1a 求曲线 yf x 在点 0 0 f处的切线方程 求函数 f x在 2 2 上的最小值 解 2 2 e e xx fxxaxaxa 2 exxxa 当1a 时 0 2 f 0 1f 所以曲线 yf x 在点 0 0 f处的切线方程为 1 2yx 即210 xy 令 0fx 解得2x 或xa 2a 则当 2 2 x 时 0fx 函数 f x在 2 2 上单调递减 所以 当2x 时 函数 f x取得最小值 最小值为 2 2 43 efa 22a 则当 2 2x 时 当x变化时 fx f x的变化情况如下表 用心 爱心 专心7 x 2 2 a a 2 a 2 fx 0 f x 2 4 ea A极小值A 2 43 ea 所以 当xa 时 函数 f x取得最小值 最小值为 eaf aa 2a 则当 2 2 x 时 0fx 函数 f x在 2 2 上单调递增 所以 当2x 时 函数 f x取得最小值 最小值为 2 2 4 efa 综上 当2a 时 f x的最小值为 2 4 ea 当22a 时 f x的最小值 为eaa 当2a 时 f x的最小值为 2 43 ea 1 已知定义在 R 上的函数 2 3 f xxax 其中a为常数 若1x 是函数 f x 的一个极值点 求a的值 若函数 f x 在区间 1 0 上是增函数 求a的取值范围 若函数 g xf xfx x 0 2 在0 x 处取得最大值 求正数a 的取值范 围 解 32 3f xaxx 2 36fxaxx 3 2 x ax 1x 是 f x 的一个极值点 0 1 f 2a 3 分 当0a 时 2 x3 x f 在区间 1 0 上是增函数 0a 符合题意 当0a 时 2 3 fxax x a 令0 x f 得 1 x 0 2 x a 2 当0a 时 对任意x 1 0 0 x f 0a 符合题意 当0a 时 当x 2 0 a 时0 x f 2 a 1 20a 符合题意 综上所述 2a 8 分 当0a 时 32 33 6g xaxaxx 0 2 x g x 2 32 33 6axax 2 3 2 1 2 axax 10 分 用心 爱心 专心8 令 0g x 即 2 2 1 20 axax 设方程 的两个根为 12 x x 有 12 20 x x 不妨设 12 xx 则