高二数学文导数的综合应用人教实验B版知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学文导数的综合应用人教实验高二数学文导数的综合应用人教实验 B 版版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 导数的综合应用 二 学习目标 本部分的要求一般有三个层次 第一层次主要考查导数的概念 求导的公式和求导法 则 第二层次是导数的简单应用 包括求函数的极值 单调区间 证明函数的增减性等 第三层次是综合考查 包括解决应用问题 将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的 单调性等有机地结合在一起 设计综合题 通过将新课程内容和传统内容相结合 加强了 能力考查力度 使试题具有更广泛的实际意义 更体现了导数作为工具分析和解决一些函 数性质问题的方法 三 考点分析 1 求函数 f x极值的步骤 1 导数 fx 2 方程 fx 0 的根 3 检查 fx 0 的根的左右区间对应的 fx的符号 若左正右负 则 f x在 这个根处取得极大值 若左负右正 则 f x在这个根处取得极小值 注 实质为注 实质为 解方程解方程 解关于 解关于x的方程的方程 fx 0 2 设函数 f x在 a b上连续 在 a b内可导 求 f x在 a b上的最值的步骤 1 求 f x在 a b内的极值 2 将 f x各极值与 f a f b比较 确定 f x的最大和最小值 3 求函数 f x的单调区间 不等式 0fx 的解集为 yf x 的增区间 不等式 0fx 的解集为 yf x 的减区间 注 求函数的单调区间实质上是注 求函数的单调区间实质上是 解不等式解不等式 4 几何意义 函数 y f x 在点 x0处的导数的几何意义 就是曲线 y f x 在点 P x0 f x0 处的切线的斜率 5 常见函数的导函数 1 1aa ax x a 为常数 2 ln 0 1 xx aaaaa 且 3 1 log ln a x xa 4 xx ee 5 1 ln x x 6 sin cosxx 7 cos sinxx 典型例题典型例题 用心 爱心 专心 例 1 已知函数cbxaxxxf 23 在2 x处有极值 其图象在1 x处的切线平 行于直线23 xy 试求函数的极大值与极小值的差 解 解 baxxxf 23 2 由于 xf在2 x处有极值 0 2 f 即0412 ba 又 3 1 f 332 ba 由 得0 3 ba cxxxf 23 3 令063 2 xxxf 得2 0 21 xx 由于在 0 x 2 x时 0 x f 2 0 x时 0 x f 0 f是极大值 2 f是极小值 4 2 0 ff 例 2 已知cxbxaxxf 23 在区间 0 1 上是增函数 在区间 1 0 上是 减函数 又 2 3 2 1 f 求 xf的解析式 若在区间 0 m m 0 上恒有 xf x 成立 求 m 的取值范围 解 解 2 32fxaxbxc 由已知 0 1 0ff 即 0 320 c abc 解得 0 3 2 c ba 2 33fxaxax 1333 2422 aa f 2a 32 23f xxx 令 f xx 即 32 230 xxx 21 1 0 xxx 1 0 2 x 或1x 又 f xx 在区间 0m 上恒成立 1 0 2 m 例 3 函数 32 f xxaxbxc 过曲线 yf x 上的点 1 Pf x的切线方程为 y 3x 1 1 若 2yf xx 在时有极值 求 f x的表达式 2 在 1 的条件下 求 yf x 在 3 1 上的最大值 3 若函数 yf x 在区间 2 1 上单调递增 求 b 的取值范围 解 解 1 由 32 f xxaxbxc 求导数得 2 32fxxaxb 过 yf x 上 点 1 1 Pf的切线方程为 用心 爱心 专心 1 1 1 1 32 1 yffxyabcab x 即 而过 yf x 上 1 1 Pf的切线方程为31yx 故 323 21 ab abc 即 20 3 ab abc yf x 在 x 2 时有极值 故 2 f 0 412ab 由 式联立解得2 4 5abc 32 245f xxxx 2 22 32344 32 2 fxxaxbxxxx x 32 2 2 2 3 2 3 2 1 3 fx 0 0 f x 极大 极小 32 2 2 2 2 4 2 513f xf 极大 3 1 12 14 154f f x 在 3 1 上最大值为 13 3 yf x 在区间 2 1 上单调递增 又 2 32fxxaxb 由 1 知20ab 2 3fxxbxb 依题意 fx 在 2 1 上恒有 2 0 30fxxbxb 即在 2 1 上恒成立 当1 6 b x 时 1 30fxfbb 小 6b 当2 6 b x 时 2 1220fxfbb 小 b 当1 6 2 b x时 2 12 0 12 bb fx 小 0 b 6 综合上述讨论可知 所求参数 b 的取值范围是 b 0 例 4 已知函数 2 2 21 1 axa f xx x R 其中a R 当1a 时 求曲线 yf x 在点 2 2 f 处的切线方程 当0a 时 求函数 f x的单调区间与极值 本小题考查导数的几何意义 两个函数的和 差 积 商的导数 利用导数研究函数 的单调性和极值等基础知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 解 解 当1a 时 2 2 1 x f x x 4 2 5 f 又 22 2222 2 1 2222 1 1 xxxx fx xx 6 2 25 f 所以 曲线 yf x 在点 2 2 f 处的切线方程为 46 2 525 yx 即 62320 xy 解 解 22 2222 2 1 2 21 2 1 1 1 a xxaxaxa ax fx xx 由于0a 以下分两种情况讨论 用心 爱心 专心 1 当0a 时 令 0fx 得到 1 1 x a 2 xa 当x变化时 fxf x 的变化情况如下表 x 1 a a 1 1 a a a a fx 0 0 f x 极小值 极大值 所以 f x在区间 1 a a 内为减函数 在区间 1 a a 内为增函 数 函数 f x在 1 1 x a 处取得极小值 1 f a 且 2 1 fa a 函数 f x在ax 2 处取得极大值 f a 且 1f a 2 当0a 时 令 0fx 得到 12 1 xax a 当x变化时 fxf x 的变化情况如下表 x a a 1 a a 1 a 1 a fx 0 0 f x 极大值 极小值 所以 f x在区间 a 1 a 内为增函数 在区间 1 a a 内为减函 数 函数 f x在 1 xa 处取得极大值 f a 且 1f a 函数 f x在 2 1 x a 处取得极小值 1 f a 且 2 1 fa a 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 1 若函数12 2 xxf的图象上一点 1 1 及邻近一点 1 x 1 y 则 x y 为 A 4x2 B xx 4 C x 4 D 2 4xx 2 设 1 f xxx 则 f 0 为 A 0 B 1 C 1 D 不存在 3 若 xf为偶函数 且 x f 存在 则 0 f A 0 B 1 C x D x 4 若可导函数 xfy 的导数 即 x f 0 只有一个实根 0 xx 则 A 0 xf是函数的最值 B 0 xf是函数的极值 C x f 在 0 xx 的左右异号 D 当 xf有极值时 其极值是 0 xf 5 函数 223 abxaxxxf 在1 x时有极值 10 则 a b 值为 用心 爱心 专心 A 11 43 3 baba或 B 11 41 4 baba或 C 5 1 ba D 以上都不对 6 设 fx 是函数 f x的导函数 将 yf x 和 yfx 的图象画在同一个直角坐 标系中 不可能正确的是 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 7 已知函数dcxbxx x f 23 的图象过点 P 0 2 且在点 M 1 1 f处的 切线方程为076 yx 函数 xfy 的解析式为 8 设点P是曲线 3 2 3 3 xxy上的任意一点 P点处切线倾斜角为 则角 的 取值范围是 9 已知函数 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 既有极大值又有极小值 则实数 a 的取 值范围是 10 已知 sin2 f xxx xR 且 1 2 0fafa 则a的取值范围是 三 解答题 本大题共 4 题 共 50 分 11 已知函数 32 1 2 1 3 f xaxbxb x 在 1 xx 处取得极大值 在 2 xx 处取得 极小值 且 12 012xx I 证明0a II 若 z a 2b 求 z 的取值范围 12 设函数 32 2338f xxaxbxc 在1x 及2x 时取得极值 求 a b 的值 若对于任意的 0 3 x 都有 2 f xc 成立 求 c 的取值范围 13 设函数 2 f xx xa x R 其中a R 当1a 时 求曲线 yf x 在点 2 2 f 处的切线方程 当0a 时 求函数 f x的极大值和极小值 当3a 时 证明存在 10k 使得不等式 22 cos cos f kxf kx 对任意的x R恒成立 14 设 a 0 f x x 1 ln2 x 2a ln x x 0 令 F x xf x 讨论 F x 在 0 内的单调性并求极值 求证 当 x 1 时 恒有 x ln2x 2a ln x 1 试题答案试题答案 用心 爱心 专心 1 A 2 B 3 A 4 D 5 D 6 D 7 解 由 xf的图象经过 P 0 2 知 d 2 所以 2 23 cxbxxxf 23 2 cbxxxf 由在 1 1 fM处的切线方程是076 yx 知 6 1 1 1 07 1 6 fff即 3 0 32 1 21 623 cb cb cb cb cb 解得即 故所求的解析式是 2 33 23 xxxxf 8 3 2 2 0 9 解 f x 3x2 6ax 3a 6 令 f x 0 则 x2 2ax a 2 0 又 f x 既有极大值又有极小值 f x 0 必有两解 即 4a2 4a 8 0 解得 a 1 或 a 2 10 1 11 解 求函数 f x的导数 2 22fxaxbxb 由函数 f x在 1 xx 处取得极大值 在 2 xx 处取得极小值 知 12 xx 是 0fx 的两个根 所以 12 fxa xxxx 当 1 xx 时 f x为增函数 0fx 由 1 0 xx 2 0 xx 得0a 在题设下 12 012xx 等价于 0 0 1 0 2 0 f f f 即 20 220 4420 b abb abb 化简得 20 320 4520 b ab ab 此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线 20320 4520babab 所围成的ABC 的内部 其三个顶点分别为 4 6 2 2 4 2 7 7 ABC z在这三点的值依次为 16 6 8 7 所以z的取值范围为 16 8 7 用心 爱心 专心 12 解 2 663fxxaxb 因为函数 f x在1x 及2x 时取得极值 则有 1 0 f 2 0 f 即 6630 24 1230 ab ab 解得3a 4b 由 可知 32 29128f xxxxc 2 618126 1 2 fxxxxx 当 01 x 时 0fx 当 12 x 时 0fx 当 2 3 x 时 0fx 所以 当1x 时 f x取得极大值 1 58fc 又 0 8fc 3 98fc 则当 0 3x 时 f x的最大值为 3 98fc 因为对于任意的 0 3x 都有 2 f xc 恒成立 所以 2 98cc 解得1c 或9c 因此c的取值范围为 1 9 13 本小题主要考查运用导数研究函数的性质 曲线的切线方程 函数的极值 解不等 式等基础知识 考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 满分 14 分 解 当1a 时 232 1 2f xx xxxx 得 2 2f 且 2 341fxxx 2 5 f 所以 曲线 2 1 yx x 在点 22 处的切线方程是25 2 yx 整理得 580 xy 解 2322 2f xx xaxaxa x 22 34 3 fxxaxaxa xa 令 0fx 解得 3 a x 或xa 由于0a 以下分两种情况讨论 1 若0a 当x变化时 fx 的正负如下表 x 3 a 3 a 3 a a a a fx 0 0 用心 爱心 专心 因此 函数 f x在 3 a x 处取得极小值 3 a f 且 3 4 327 a fa 函数 f x在xa 处取得极大值 f a 且 0f a 2 若0a 当x变化时 fx 的正负如下表 x a a 3 a a 3 a 3 a fx 0 0 因此 函数 f x在xa 处取得极小值 f a 且 0f a 函数 f x在 3 a x 处取得极大值 3 a f 且 3 4 327 a fa 证明 由3a 得1 3 a 当 10k 时 cos1kx 22 cos1kx 由 知 f x在 1 上是减函数 要使 22 cos cos f kxf kx x R 只要 22 coscos kxkx x R 即 22 coscos xxkk x R 设 2 2 11 coscoscos 24 g xxxx 则函数 g x在R上的最大值为2 要使 式恒成立 必须 2 2kk 即2k 或1k 所以 在区间 10 上存在1k 使得 22 cos cos f kxf kx 对任意的 x R恒成立 14 本小题主要考查函数导数的概念与计算 利用导数研究函数的单调性 极值和证明 不等式的方法 考查综合运用有关知识解决问题的能