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上海高二数学解析几何经典例题 第13页 共13页轨迹方程1、已知反比例函数的图像是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线（1）求双曲线的顶点坐标与焦点坐标；（2）设、为双曲线的两个顶点，点、是双曲线上不同的两个动点求直线与交点的轨迹的方程；（3）设直线过点，且与双曲线交于、两点，与轴交于点当，且时，求点的坐标面积2、在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线的距离之比为（1）求动点的轨迹的方程；（2）若轨迹上的动点到定点（）的距离的最小值为，求的值（3）设点、是轨迹上两个动点，直线、与轨迹的另一交点分别为、，且直线、的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由定点3、动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线(1) 求曲线的方程；(2) 设点2,动点在曲线上运动时，的最短距离为，求的值以及取到最小值时点的坐标；(3) 设为曲线的任意两点，满足(为原点)，试问直线是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由定值4、已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为证明：为定值；（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆过且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由新定义5、曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹，设曲线的轨迹方程（1）求曲线的方程；（2）定义：若存在圆使得曲线上的每一点都落在圆外或圆上，则称圆为曲线的收敛圆判断曲线是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由轨迹方程1、已知反比例函数的图像是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线（1）求双曲线的顶点坐标与焦点坐标；（2）设、为双曲线的两个顶点，点、是双曲线上不同的两个动点求直线与交点的轨迹的方程；（3）设直线过点，且与双曲线交于、两点，与轴交于点当，且时，求点的坐标解：（1）顶点：、， 焦点：、为焦点（2）解一：，：-2分两式相乘，得 将代入上式，得，即 即直线与交点的轨迹的方程为（）-1分解二：联立直线方程，解得 ，即，化简，得 所以，直线与交点的轨迹的方程为（）（3）直线斜率不存在或为0时显然不满足条件； 设直线：，则将代入，得， ， ， ，即， 解得， 解二：将代入，得， ， ，又，即， 面积2、在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线的距离之比为（1）求动点的轨迹的方程；（2）若轨迹上的动点到定点（）的距离的最小值为，求的值（3）设点、是轨迹上两个动点，直线、与轨迹的另一交点分别为、，且直线、的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由（1）设，由题意，化简得， 所以，动点的轨迹的方程为 （2）设，则， 当，即时，当时，取最小值，解得，此时，故舍去 当，即时，当时，取最小值，解得，或（舍） 综上，（3）解法一：设，则由，得，（1分），因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 当时，则四边形为矩形，则，由，得，解得， 当时，直线的方向向量为，直线的方程为，原点到直线的距离为所以，的面积， 根据椭圆的对称性，四边形的面积， 所以，所以所以，四边形的面积为定值 解法二：设，则，由，得， 因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 直线的方程为，点到直线的距离，的面积， 根据椭圆的对称性，四边形的面积， 所以， ，所以解法三：设，则，由，得， 因为点、在椭圆上，所以，所以，化简得 的面积，根据椭圆的对称性，四边形的面积， 所以，所以，所以 定点3、动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线(1) 求曲线的方程；(2) 设点2,动点在曲线上运动时，的最短距离为，求的值以及取到最小值时点的坐标；(3) 设为曲线的任意两点，满足(为原点)，试问直线是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分(1) 根据抛物线的定义可知, 动点的轨迹是抛物线 所以曲线C的方程为x2=4y；(2) 设点T(x0, y0), x02=4y0 (y00)，|AT|=，a20，则当y0=a2时，|AT|取得最小值为2， 2=a1, a26a+5=0，a=5或a=1 (舍去)， 所以y0=a2=3，x0=2，所以T坐标为(2, 3)； (3) 显然直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，解之得P1(,)，同理P2(4k, 4k2)，直线P1P2的斜率为，直线P1P2方程为：整理得：k(y4)+(k21)x=0，所以直线P1P2恒过点(0, 4)16分定值4、已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为证明：为定值；（3）若是椭圆上不同的两点，轴，圆过且椭圆上任意一点都不在圆内，则称圆为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆是否存在过左焦点的内切圆？若存在，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由题意得，所以又点在椭圆上，所以解得所以椭圆的标准方程为 （2）由（1）知，设点则直线的方程为 直线的方程为 把点的坐标代入得 所以直线的方程为令得令得所以又点在椭圆上，所以即为定值 （3）由椭圆的对称性，不妨设由题意知，点在轴上，设点则圆的方程为由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点的距离的最小值是设点是椭圆上任意一点，则当时，最小，所以 假设椭圆存在过左焦点的内切圆，则 又点在椭圆上，所以 -由得或当时，不合题意，舍去，且经验证，符合题意.综上，椭圆存在过左焦点的内切圆，圆心的坐标是新定义5、曲线是平面内到直线和直线的距离之积等于常数的点的轨迹，设曲线的轨迹方程（1）求曲线的方程；（2）定义：若存在圆使得曲线上的每一点都落在圆外或圆上，则称圆为曲线的收敛圆判断曲线是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由解：（1）设动点为，则由条件可知轨迹方程是