高中数学 随机变量及其分布列 版块二 几类典型的随机分布3完整讲义（学生版）

用心 爱心 专心1 学而思高中完整讲义 随机变量及其分布列学而思高中完整讲义 随机变量及其分布列 版块二版块二 几类典型的随几类典型的随 机分布机分布 3 3 学生版学生版 知识内容 1 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量 如果在试验中 试验可能出现的结果可以用一个变量来表示 并且是随着试验的XX 结果的不同而变化的 我们把这样的变量叫做一个随机变量 随机变量常用大写字X 母表示 X Y 如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来 则称为离散型随机变量 XX 离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示 X i x i p 1 2 in X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 我们称这个表为离散型随机变量的概率分布 或称为离散型随机变量的分布列 XX 2 几类典型的随机分布 两点分布两点分布 如果随机变量的分布列为X X10 P pq 其中 则称离散型随机变量服从参数为的二点分布 01p 1qp Xp 二点分布举例 某次抽查活动中 一件产品合格记为 不合格记为 已知产品的合格率10 为 随机变量为任意抽取一件产品得到的结果 则的分布列满足二点分布 80 XX X10 P0 80 2 两点分布又称分布 由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验 所以这种分01 布又称为伯努利分布 超几何分布超几何分布 一般地 设有总数为件的两类物品 其中一类有件 从所有物品中任取件 NMn nN 这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量 它取值为时的概率为nXm 为和中较小的一个 CC C mn m MNM n N P Xm 0ml lnM 我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布 也称服从参数为 XXN 的超几何分布 在超几何分布中 只要知道 和 就可以根据公式求出MnNMn 取不同值时的概率 从而列出的分布列 X P Xm X 二项分布二项分布 1 独立重复试验 如果每次试验 只考虑有两个可能的结果及 并且事件发生的概率相同 在相同的AAA 条件下 重复地做次试验 各次试验的结果相互独立 那么一般就称它们为次独立重nn 复试验 次独立重复试验中 事件恰好发生次的概率为nAk C 1 kkn k nn P kpp 用心 爱心 专心2 0 1 2 kn 2 二项分布 若将事件发生的次数设为 事件不发生的概率为 那么在次独立重复试AXA1qp n 验中 事件恰好发生次的概率是 其中 于是得Ak Ck kn k n P Xkp q 0 1 2 kn 到的分布列X X01 k n P 00 C n n p q 111 C n n p q Ck kn k n p q 0 Cn n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110 CCCC nnnkkn knn nnnn qpp qp qp qp q 各对应项的值 所以称这样的散型随机变量服从参数为 的二项分布 Xnp 记作 XB np 二项分布的均值与方差 若离散型随机变量服从参数为和的二项分布 则Xnp E Xnp D xnpq 1 qp 正态分布正态分布 1 概率密度曲线 样本数据的频率分布直方图 在样本容量越来越大时 直方图上面的折线所接近的曲线 在随机变量中 如果把样本中的任一数据看作随机变量 则这条曲线称为的概率密度曲线 XX 曲线位于横轴的上方 它与横轴一起所围成的面积是 而随机变量落在指定的两个数1X 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积 a b 2 正态分布 定义 如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的 而且每一个偶然因素在总 体的变化中都只是起着均匀 微小的作用 则表示这样的随机 现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量 简称正态变量 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 2 2 2 1 2 x f xe 其中 是参数 且 x R 0 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差 期望为 标准差为的正态分布通常记作 2 N 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 标准正态分布 我们把数学期望为 标准差为 的正态分布叫做标准正态分布 01 重要结论 正态变量在区间 内 取值的概率分 2 2 3 3 别是 68 3 95 4 99 7 正态变量在内的取值的概率为 在区间之外的取值的概率 1 33 是 故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内 这就是正态分布的原0 3 x 3 则 若 为其概率密度函数 则称为概率分布 2 N f x x F xPxf t dt 函数 特别的 称为标准正态分布函数 2 0 1 N 2 2 1 2 t x xedt x Px 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得 x O y x 用心 爱心 专心3 分布函数新课标不作要求 适当了解以加深对密度曲线的理解即可 3 离散型随机变量的期望与方差 1 离散型随机变量的数学期望 定义 一般地 设一个离散型随机变量所有可能的取的值是 这些值X 1 x 2 x n x 对应的概率是 则 叫做这个离散型随机变 1 p 2 p n p 1122 nn E xx px px p 量的均值或数学期望 简称期望 X 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2 离散型随机变量的方差 一般地 设一个离散型随机变量所有可能取的值是 这些值对应的概X 1 x 2 x n x 率是 则叫做 1 p 2 p n p 222 1122 nn D XxE xpxE xpxE xp 这个离散型随机变量的方差 X 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 离散程 度 的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差 它也是一个衡量离散型随机 D X D xX 变量波动大小的量 3 为随机变量 为常数 则 Xa b 2 E aXbaE XbD aXba D X 4 典型分布的期望与方差 二点分布 在一次二点分布试验中 离散型随机变量的期望取值为 在次二点分Xpn 布试验中 离散型随机变量的期望取值为 Xnp 二项分布 若离散型随机变量服从参数为和的二项分布 则 Xnp E Xnp D xnpq 1 qp 超几何分布 若离散型随机变量服从参数为的超几何分布 XNMn 则 nM E X N 2 1 n Nn NM M D X NN 4 事件的独立性 如果事件是否发生对事件发生的概率没有影响 即 AB P B AP B 这时 我们称两个事件 相互独立 并把这两个事件叫做相互独立事件 AB 如果事件 相互独立 那么这个事件都发生的概率 等于每个事件发生的 1 A 2 A n An 概率的积 即 并且上式中任意多个事件 1212 nn P AAAP AP AP A 换成其对立事件后等式仍成立 i A 5 条件概率 对于任何两个事件和 在已知事件发生的条件下 事件发生的概率叫做条件概率 ABAB 用符号 来表示 把由事件与的交 或积 记做 或 P B AABDAB DAB 典例分析 二项分布的概率计算 用心 爱心 专心4 例 1 已知随机变量服从二项分布 则等于 1 4 3 B 2 P 例 2 甲乙两人进行围棋比赛 比赛采取五局三胜制 无论哪一方先胜三局则比赛结束 假定甲每局比赛获胜的概率均为 则甲以的比分获胜的概率为 2 3 3 1 A B C D 8 27 64 81 4 9 8 9 例 3 某篮球运动员在三分线投球的命中率是 他投球 10 次 恰好投进 3 个球的概 1 2 率 用数值表示 例 4 某人参加一次考试 道题中解对 道则为及格 已知他的解题正确率为 430 4 则他能及格的概率为 保留到小数点后两位小数 例 5 接种某疫苗后 出现发热反应的概率为 现有 5 人接种了该疫苗 至少有 30 80 人出现发热反应的概率为 精确到 0 01 例 6 从一批由 9 件正品 3 件次品组成的产品中 有放回地抽取 5 次 每次抽一件 求恰好抽到两次次品的概率 结果保留位有效数字 2 例 7 一台型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为 有四台这种型号X0 8000 的自动机床各自独立工作 则在一小时内至多有台机床需要工人照看的概率是2 A B C D 0 15360 18080 56320 9728 例 8 设在 4 次独立重复试验中 事件发生的概率相同 若已知事件至少发生一次AA 的概率等于 求事件在一次试验中发生的概率 65 81 A 用心 爱心 专心5 例 9 我舰用鱼雷打击来犯的敌舰 至少有枚鱼雷击中敌舰时 敌舰才被击沉 如果2 每枚鱼雷的命中率都是 当我舰上的 个鱼雷发射器同是向敌舰各发射 枚鱼0 68l 雷后 求敌舰被击沉的概率 结果保留位有效数字 2 例 10 某厂生产电子元件 其产品的次品率为 现从一批产品中的任意连续取5 出 2 件 求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率 例 11 某公司拟资助三位大学生自主创业 现聘请两位专家 独立地对每位大学生 的创业方案进行评审 假设评审结果为 支持 或 不支持 的概率都是 若 1 2 某人获得两个 支持 则给予万元的创业资助 若只获得一个 支持 则给10 予万元的资助 若未获得 支持 则不予资助 求 5 该公司的资助总额为零的概率 该公司的资助总额超过万元的概率 15 用心 爱心 专心6 例 12 某商场经销某商品 顾客可采用一次性付款或分期付款购买 根据以往资料 统计 顾客采用一次性付款的概率是 经销一件该商品 若顾客采用一次性0 6 付款 商场获得利润元 若顾客采用分期付款 商场获得利润元 200250 求 位购买该商品的顾客中至少有 位采用一次性付款的概率 31 求 位位顾客每人购买 件该商品 商场获得利润不超过元的概率 31650 例 13 某万国家具城进行促销活动 促销方案是 顾客每消费元 便可获得奖1000 券一张 每张奖券中奖的概率为 若中奖 则家具城返还顾客现金元 某 1 5 200 顾客消费了元 得到 3 张奖券 3400 求家具城恰好返还该顾客现金元的概率 200 求家具城至少返还该顾客现金元的概率 200 例 14 某单位为绿化环境 移栽了甲 乙两种大树各 2 株 设甲 乙两种大树移栽 的成活率分别为和 且各株大树是否成活互不影响 求移栽的 4 株大树中 5 6 4 5 至少有 1 株成活的概率 两种大树各成活 1 株的概率 用心 爱心 专心7 例 15 一个口袋中装有个红球 且 和个白球 一次摸奖从中摸两n5n n N5 个球 两个球颜色不同则为中奖 试用表示一次摸奖中奖的概率 np 若 求三次摸奖 每次摸奖后放回 恰有一次中奖的概率 5n 记三次摸奖 每次摸奖后放回 恰有一次中奖的概率为 当取多少时 Pn 最大 P 例 16 袋子和中装有若干个均匀的红球和白球 从中摸出一个红球的概率是ABA 从中摸出一个红球的概率为 1 3 Bp 从A中有放回地摸球 每次摸出一个 有 3 次摸到红球即停止 求恰好摸 5 次停止的概率 记 5 次之内 含 5 次 摸到红球的次数为 求随机变量的分布 若两个袋子中的球数之比为 将中的球装在一起后 从中摸出A B 1 2A B 一个红球的概率是 求的值 2 5 p 例 17 设飞机有两个发动机 飞机有四个发动机 如有半数或半数以上的发动AB 机没有故障 就能够安全飞行 现设各个发动机发生故障的概率是 的函数pt 其中 为发动机启动后所经历的时间 为正的常数 试讨论飞机1 t pe t 与飞机哪一个安全 这里不考虑其它故障 AB 用心 爱心 专心8 例 18 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是 且各发动机互不影1P 响 如果至少的发动机能正常运行 飞机就可以顺利地飞行 问对于多大的50 而言 四发动机飞机比二发动机飞机更安全 P 例 19 一名学生每天骑车上学 从他家到学校的途中有 6 个交通岗 假设他在各个 交通岗遇到红灯的事件是相互独立的 并且概率都是 1 3 设为这名学生在途中遇到红灯的次数 求的分布列 设为这名学生在首次停车前经过的路口数 求的分布列 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 例 20 一个质地不均匀的硬币抛掷次 正面向上恰为 次的可能性不为 而且与510 正面向上恰为次的概率相同 令既约分数为硬币在次抛掷中有 次正面向2 i j 53 上的概率 求 ij 用心 爱心 专心9 例 21 某气象站天气预报的准确率为 计算 结果保留到小数点后面第 2 位 80 5 次预报中恰有次准确的概率 2 次预报中至少有次准确的概率 52 5 次预报中恰有次准确 且其中第 次预报准确的概率 23 例 22 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第层可以停靠 若该电梯18 19 20 在底层载有 5 位乘客 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 求至 1 3 少有两位乘客在 20 层下的概率 例 23 10 个球中有一个红球 有放回的抽取 每次取一球 求直到第次才取得n 次红球的概率 k kn 例 24 某车间为保证设备正常工作 要配备适量的维修工 设各台设备发生的故障 是相互独立的 且每台设备发生故障的概率都是 试求 0 01 若由一个人负责维修 20 台 求设备发生故障而不能及时维修的概率 若由 3 个人共同负责维修 80 台设备 求设备发生故障而不能及时维修的概率 并进行比较说明哪种效率高 例 25 是治疗同一种疾病的两种药 用若干试验组进行对比试验 每个试验组A B 用心 爱心 专心10 由 4 只小白鼠组成 其中 2 只服用 A 另 2 只服用 B 然后观察疗效 若在一个试 验组中 服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多 就称该试验组为甲类 组 设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 服用 B 有效的概率为 观察 3 个试 2 3 1 2 验组 求至少有 1 个甲类组的概率 结果保留四位有效数字 例 26 已知甲投篮的命中率是 乙投篮的命中率是 两人每次投篮都不受影0 90 8 响 求投篮 3 次甲胜乙的概率 保留两位有效数字 例 27 若甲 乙投篮的命中率都是 求投篮次甲胜乙的概率 0 5p n 1nn N 例 28 省工商局于某年 3 月份 对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查 结果 显示 某种刚进入市场的饮料的合格率为 现有甲 乙 丙 人聚会 选x80 3 用瓶饮料 并限定每人喝瓶 求 6x2 甲喝瓶合格的饮料的概率 2x 用心 爱心 专心11 甲 乙 丙 人中只有 人喝瓶不合格的饮料的概率 精确到 312x0 01 例 29 在一次考试中出了六道是非题 正确的记 号 不正确的记 号 若某考生随手记上六个符号 试求 全部是正确的概率 正确解答不少于 4 道的概率 至少答对道题的概率 2 例 30 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛 校队的实力比系队强 当一个校队队员与系队队员比赛时 校队队员获胜的概率为 0 6 现在校 系双方商量对抗赛的方式 提出了三种方案 双方各出 人 双方3 各出人 双方各出人 三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜57 利 问 对系队来说 哪一种方案最有利 二项分布的期望与方差 例 31 已知 求与 10 0 8 XB E X D X 例 32 已知 则与的值分别为 XB np 8E X 1 6D X np A 和 B 和 C 和 D 和100 8200 4100 21000 8 例 33 已知随机变量服从参数为的二项分布 则它的期望 X6 0 4 E X 方差 D X 例 34 已知随机变量服从二项分布 且 则二项分布的X 2 4E 1 44D 参数 的值分别为 np 用心 爱心 专心12 例 35 一盒子内装有个乒乓球 其中 个旧的 个新的 每次取一球 取后放1037 回 取次 则取到新球的个数的期望值是 4 例 36 同时抛掷 枚均匀硬币次 设 枚硬币正好出现 枚正面向上 枚反面向480422 上的次数为 则的数学期望是 A B C D 20253040 例 37 某服务部门有个服务对象 每个服务对象是否需要服务是独立的 若每个n 服务对象一天中需要服务的可能性是 则该部门一天中平均需要服务的对象个p 数是 A B C D 1 npp npn 1 pp 例 38 一个袋子里装有大小相同的 个红球和个黄球 从中同时取出个 则其中322 含红球个数的数学期望是 用数字作答 例 39 同时抛掷 枚均匀硬币次 设 枚硬币正好出现 枚正面向上 枚反面向480422 上的次数为 则的数学期望是 A B C D 20253040 例 40 某批数量较大的商品的次品率是 从中任意地连续取出件 为所含5 10X 次品的个数 求 E X 例 41 甲 乙 丙 人投篮 投进的概率分别是 3 121 352 现 3 人各投篮 1 次 求 3 人都没有投进的概率 用表示乙投篮 3 次的进球数 求随机变量的概率分布及数学期望 用心 爱心 专心13 例 42 抛掷两个骰子 当至少有一个点或 点出现时 就说这次试验成功 23 求一次试验中成功的概率 求在次试验中成功次数的分布列及的数学期望与方差 4XX 例 43 某寻呼台共有客户人 若寻呼台准备了份小礼品 邀请客户在指定3000100 时间来领取 假设任一客户去领奖的概率为 问 寻呼台能否向每一位顾客4 都发出奖邀请 若能使每一位领奖人都得到礼品 寻呼台至少应准备多少礼品 例 44 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训 以提高下岗人员的再就业能 力 每名下岗人员可以选择参加一项培训 参加两项培训或不参加培训 已知参 加过财会培训的有 参加过计算机培训的有 假设每个人对培训项目的 6075 选择是相互独立的 且各人的选择相互之间没有影响 任选 1 名下岗人员 求该人参加过培训的概率 任选 3 名下岗人员 记为 3 人中参加过培训的人数 求的分布和期望 例 45 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 购买乙种商品的概0 5 率为 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立 各顾客之间购买商品也是0 6 相互独立的 记表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲 乙两种商品中的一种 的人数 求的分布及期望 例 46 某班级有人 设一年天中 恰有班上的 个人过生日的天n365mmn 数为 求的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值 XX 用心 爱心 专心14 例 47 购买某种保险 每个投保人每年度向保险公司交纳保费元 若投保人在购a 买保险的一年度内出险 则可以获得元的赔偿金 假定在一年度内有10000 人购买了这种保险 且各投保人是否出险相互独立 已知保险公司在一年10000 度内至少支付赔偿金元的概率为 10000 4 10 10 999 求一投保人在一年度内出险的概率 p 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为元 为保证盈利的期50000 望不小于 求每位投保人应交纳的最低保费 单位 元 0 例 48 某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查 简称安检 若安检不合 格 则必须进行整改 若整改后复查仍不合格 则强行关闭 设每家煤矿安检是 否合格是相互独立的 且每家煤矿整改前安检合格的概率是 整改后安检合0 5 格的概率是 计算 结果精确到 0 80 01 恰好有两家煤矿必须整改的概率 平均有多少家煤矿必须整改 至少关闭一家煤矿的概率 用心 爱心 专心15 例 49 设一部机器在一天内发生故障的概率为 机器发生故障时全天停止工0 2 作 若一周 5 个工作日里均无故障 可获利润 10 万元 发生一次故障可获利润 5 万元 只发生两次故障可获利润 0 万元 发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万 元 求一周内期望利润是多少 精确到 0 001 例 50 在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中 武警官兵准备用射击的方法 引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐 已知只有发子弹 第一次命中5 只能使汽油流出 第二次命中才能引爆 每