关于奈维-斯托克斯方程的分析

合合 肥肥 学学 院院 HefeiHefei UniversityUniversity 系别 化学与材料工程系 专业 化学工程与工艺 班级 姓名 学号 关于奈维关于奈维 斯托克斯方程的分析斯托克斯方程的分析 牛顿第二定律在不可压缩粘性流动中的表达式 简称 N S 方程 此方程是 法国力学家 工程师 C L M H 奈维于 1821 年创立 经英国物理学家 G G 斯 托克斯于 1845 年改进而确定的 这些方程建立了流体的粒子动量的改变率 加 速度 和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力 类似于摩擦力 以及重力之 间的关系 这些粘滞力产生于分子的相互作用 能告诉我们液体有多粘 这样 奈维 斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡 直角坐标系下 x 分量 3 2 2 2 2 2 2 z u y u x u xz u y u x u x p X D Du z y xxxxx y 分量 3 2 2 2 2 2 2 z u y u x u yz u y u x u y p Y D Du z y x yyyy z 分量 3 2 2 2 2 2 2 z u y u x u zz u y u x u z p Z D Du z y xzzzz 将以上三式写成向量形式 为 3 1 2 uupf D Du B 上式称为牛顿型流体的运动方程 或奈维 斯托克斯方程 该方程对稳态 或非稳态流动 可压缩或不可压缩流体 理想或实际流体均适用 但需指出 本构方程是针对牛顿型流体而言的 故该方程仅适用于牛顿型流体 对于不可压缩流体 常数 此时无论是稳态流动还是非稳态流动 连续 性方程为 0 z u y u x u z y x 将上式带入奈维 斯托克斯方程有 x 分量 1 2 2 2 2 2 2 z u y u x u x p X u z u u y u u x u u D Du xxxxx z x y x x x y 分量 1 2 2 2 2 2 2 z u y u x u y p Y u z u u y u u x u u D Du yyyyy z y y y x y z 分量 1 2 2 2 2 2 2 z u y u x u z p Z u z u u y u u x u u D Du zzzzz z z y z x z 写成向量形式 为 upf D Du B 2 1 式中为流体的运动粘度 或称动量扩散系数 1 1 可解性可解性 原则上讲 奈维 斯托克斯方程是可以用数学方法求解的 但事实上 到 目前为止 还无法将奈维 斯托克斯方程的普遍解求出 其原因是方程组的非线 性以及边界条件的复杂性 只有针对某些特定的简单情况才可能求得其解析解 奈维 斯托克斯方程描述的是任一瞬时流体质点的运动规律 原则上讲 方 程既适用于层流 也适用于湍流 但实际上只能直接用于层流 而不能直接求 解湍流问题 这是由于在湍流中流体质点呈高频随机脉动 因此各物理量亦高 频脉动 而无法追踪这些极为错综复杂的流体质点和旋涡的运动规律 二 初始条件与边界条件 二 初始条件与边界条件 对于具体的流体问题 在求解运动方程时给一定的初始及边界条件 初 始条件指时 在所考虑的问题中给出下述条件 0 zyxppzyxuu 边界条件的形式很多 下面仅列出 3 种最常见的边界条件 1 静止固面 在静止固面上 由于流体具有黏性 u 0 2 运动固面 在运动固面上 流体应满足 u 流 u 固 3 自由表面 自由表面指一个流动的液体暴露于空气中的部分界面 在自由表 面上应满足 0 ijii p zyxji 上式表明 在自由表面上法向应力分量在数值上等于气体的压力 而剪应力分 量等于零 3 3 关于重力项的处理关于重力项的处理 由第一章关于流体静力学的讨论可知 对于不可压缩流体有 x p X s 1 y p Y s 1 z p Z s 1 式中为流体的静压力 s p 将以上 3 式带入不可压缩流体的奈维 斯托克斯方程式 可得 1 2 2 2 2 2 2 z u y u x u x pp D Du xxxsx 1 2 2 2 2 2 2 z u y u x u y pp D Du yyy s y 1 1 2 2 2 2 2 2 z u y u x u z pp D Du zzzsz 令 2 式中为流体的动力压力 简称动压力 它是流 sd ppp d p 体流动所需的压力 将 2 带入 1 可得 1 2 2 2 2 2 2 z u y u x u x p D Du xxxdx 1 2 2 2 2 2 2 z u y u x u y p D Du yyy d y 1 2 2 2 2 2 2 z u y u x u z p D Du zzzdz 写成向量形式为 3 up D Du d 2 1 式中 2 3 是以动压力梯度表示的运动方程 式中不出现重力项 从物理意 义上讲 如果从流体流动的压力中减去静压力则得动压力 而后者仅与流体的 运动速度有关 引入动压力可以是方程中不出现重力项 从而使方程的求解变得更容易 但是这并不意味着重力在任何情况下都不对速度 u 发生影响 因为在求解实际 问题时除了方程之外还必须考虑边界条件 在此必须区别两种情况 1 如果 边界条件中只包含速度而不包含压力 则引入变换式后 对边界条件而不发生 任何影响 此时重力同样不出现在边界条件中 由此可以确信 在这种情形下 中理想的存在除对压力发生作用产生静压力外 不再对其他物理量包括速度 u 产生任何效应 2 如果边界条件中出现压力 则引入公式后 原来不包含 g 的边界条件中将出现 g 重力通过边界条件又重新出现了 它仍将对速度起作 用 通过上述讨论可知 只有在所述问题的边界条件中仅含速度时 采用以动 压力梯度表示的运动方程求戒才是有效的 通常封闭通道中的流体流动问题可 采用此方程求解 而有自由表面的流动情况用此式是不适宜的 最后应指出 以动压力梯度表示的运动方程式仅适用于不可压缩流体 4 4 奈维奈维 斯托克斯方程简化斯托克斯方程简化 对平壁间流动 假设流体为不可压缩流体 且所考察的部位远离流道的进出 口 流体仅沿 x 方向稳态流动 奈 维方程可以简化 0 x u z u y u x u xz y x 对不可压缩流体仅沿 x 方向上的稳态流 连续性方程可以简化 z u y u x u xz u x u y u x X D D z y xxxxx 3 u 2 2 2 2 2 2 于是 在 x 方向上的奈维 斯托克斯方程可以简化为 2 2 p y u x x 对 z 方向上的奈维 斯托克斯方程可以简化为 0 p z 对 y 方向的奈维 斯托克斯方程可以简化为 g y p 由 y 方向的奈维 斯托克斯建华方程有 xkgyyxpg y 对上式求导 dx xdk x p 于是可以得出 常数 x p y x 1u 2 2 这是一个二阶线性常微分方程 它满足以下边界条件 0 0 0y 0 dyduy uy x x 解微分方程同时利用边界条件得出流体流速分布关系 2 0 2 2 1 uyy x p x 在平壁中心处 流体的速度达到最大 于是有 2 0max 2 1 uy x p 速度分布于最大速度的关系为 2 0 max 1u y y u x 平均速度为 2 0 0 b 3 12 u 0 y x p A dyu A V x y s 于是有 于是沿 x 方向的压力