高二文科立体几何复习讲义教师版

1 高二文科立体几何复习讲义高二文科立体几何复习讲义 一 基础知识梳理 一 基础知识梳理 1 柱 锥 台 球的结构特征 柱 锥 台 球的结构特征 1 棱柱 定义 棱柱 定义 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 由这些 面所围成的几何体 分类分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱 四棱柱 五棱柱等 表示表示 用各顶点字母 如五棱柱或用对角线的端点字母 如五棱柱 EDCBAABCDE AD 几何特征几何特征 两底面是对应边平行的全等多边形 侧面 对角面都是平行四边形 侧棱平行且相等 平行于底面的 截面是与底面全等的多边形 2 棱锥 棱锥 定义定义 有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由这些面所围成的几何体 分类分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥 四棱锥 五棱锥等 表示表示 用各顶点字母 如五棱锥 EDCBAP 几何特征几何特征 侧面 对角面都是三角形 平行于底面的截面与底面相似 其相似比等于顶点到截面距离与高的比的 平方 3 棱台 定义 棱台 定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 截面和底面之间的部分 分类分类 以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态 四棱台 五棱台等 表示表示 用各顶点字母 如五棱台 EDCBAP 几何特征几何特征 上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点 4 圆柱 定义 圆柱 定义 以矩形的一边所在的直线为轴旋转 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征几何特征 底面是全等的圆 母线与轴平行 轴与底面圆的半径垂直 侧面展开图是一个矩形 5 圆锥 定义 圆锥 定义 以直角三角形的一条直角边为旋转轴 旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征几何特征 底面是一个圆 母线交于圆锥的顶点 侧面展开图是一个扇形 6 圆台 定义 圆台 定义 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥 截面和底面之间的部分 几何特征 几何特征 上下底面是两个圆 侧面母线交于原圆锥的顶点 侧面展开图是一个弓形 7 球体 定义 球体 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征 几何特征 球的截面是圆 球面上任意一点到球心的距离等于半径 2 空间几何体的三视图 空间几何体的三视图 定义三视图 正视图 光线从几何体的前面向后面正投影 侧视图 从左向右 俯视图 从上向下 注 正视图反映了物体上下 左右的位置关系 即反映了物体的高度和长度 俯视图反映了物体左右 前后的位置关系 即反映了物体的长度和宽度 侧视图反映了物体上下 前后的位置关系 即反映了物体的高度和宽度 3 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图 斜二测画法斜二测画法 斜二测画法特点 斜二测画法特点 原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变 原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行 长度为原来的一半 4 柱体 锥体 台体的表面积与体积 柱体 锥体 台体的表面积与体积 2 1 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和 2 特殊几何体表面积公式 特殊几何体表面积公式 c 为底面周长 为底面周长 h 为高 为高 为斜高 为斜高 l 为母线 为母线 h chS 直棱柱侧面积 rhS 2 圆柱侧 2 1 chS 正棱锥侧面积 rlS 圆锥侧面积 2 1 21 hccS 正棱台侧面积 lRrS 圆台侧面积 lrrS 2 圆柱表 lrrS 圆锥表 22 RRlrlrS 圆台表 3 柱体 锥体 台体的体积公式 柱体 锥体 台体的体积公式 VSh 柱 2 VShr h 圆柱 1 3 VSh 锥 hrV 2 3 1 圆锥 1 3 VSS SS h 台 22 11 33 VSS SS hrrRRh 圆台 4 球体的表面积和体积公式 球体的表面积和体积公式 V S 球 3 4 3 R 球面 2 4 R 4 空间点 直线 平面的位置关系 空间点 直线 平面的位置关系 1 平面 平面 平面的概念 平面的概念 A 描述性说明 B 平面是无限伸展的 平面的表示 平面的表示 通常用希腊字母 表示 如平面 通常写在一个锐角内 也可以用两个相对顶点的字母来表示 如平面 BC 点与平面的关系 点与平面的关系 点 A 在平面内 记作 点不在平面内 记作 A A A 点与直线的关系 点与直线的关系 点 A 的直线 l 上 记作 A l 点 A 在直线 l 外 记作 Al 直线与平面的关系直线与平面的关系 直线 l 在平面 内 记作 l 直线 l 不在平面 内 记作 l 2 公理 公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线是所有的点都在这个平面内 即直线在平面内 或者平面经过直线 应用 应用 检验桌面是否平 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理用符号语言表示公理 1 Al Bl ABl 3 公理 公理 2 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 推论 推论 一直线和直线外一点确定一平面 两相交直线确定一平面 两平行直线确定一平面 公理公理 2 及其推论作用 及其推论作用 它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据 4 公理 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号 符号 平面 和 相交 交线是 a 记作 a 符号语言 符号语言 PABABl Pl 公理公理 3 的作用 的作用 它是判定两个平面相交的方法 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系 交线必过公共点 它可以判断点在直线上 即证若干个点共线的重要依据 5 公理 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 6 空间直线与直线之间的位置关系 空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义 异面直线定义 不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质异面直线性质 既不平行 又不相交 异面直线判定 异面直线判定 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角异面直线所成角 直线 a b 是异面直线 经过空间任意一点 O 分别引直线 a a b b 则把直线 a 和 b 3 所成的锐角 或直角 叫做异面直线 a 和 b 所成的角 两条异面直线所成角的范围是 0 90 若两条异面 直线所成的角是直角 我们就说这两条异面直线互相垂直 两条异面直线互相垂直 说明说明 1 判定空间直线是异面直线方法 根据异面直线的定义 异面直线的判定定理 2 在异面直线所成角定义中 空间一点 O 是任取的 而和点 O 的位置无关 求异面直线所成角步骤 A 利用定义构造角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移到某个特殊的位置 顶点选在特殊的位置上 B 证明作出的角即为所求角 C 利用三角形来求角 7 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两角相等或互补 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两角相等或互补 8 空间直线与平面之间的位置关系 空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内 有无数个公共点 三种位置关系的符号表示 三种位置关系的符号表示 a a A a 9 平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 平行 没有公共点 相交 有一条公共直线 b 5 空间中的平行问题 空间中的平行问题 1 直线与平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行 则该直线与此平面平行 线线平行线面平行 线面平行的性质定理 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 线面平行线线平行 2 平面与平面平行的判定及其性质 平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理两个平面平行的判定定理 1 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 线面平行 面面平行 2 如果在两个平面内 各有两组相交直线对应平行 那么这两个平面平行 线线平行 面面平行 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理两个平面平行的性质定理 1 如果两个平面平行 那么某一个平面内的直线与另一个平面平行 面面平行 线面平行 2 如果两个平行平面都和第三个平面相交 那么它们的交线平行 面面平行 线线平行 7 空间中的垂直问题 空间中的垂直问题 1 线线 面面 线面垂直的定义 线线 面面 线面垂直的定义 两条异面直线的垂直 如果两条异面直线所成的角是直角 就说这两条异面直线互相垂直 线面垂直 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直 就说这条直线和这个平面垂直 平面和平面垂直 如果两个平面相交 所成的二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 是直二面 角 平面角是直角 就说这两个平面垂直 2 垂直关系的判定和性质定理 垂直关系的判定和性质定理 线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理和性质定理 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直这个平面 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 面面垂直的判定定理和性质定理面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 性质定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面 9 空间角问题 空间角问题 1 直线与直线所成的角 直线与直线所成的角 两平行直线所成的角 规定为 0 两条相交直线所成的角 两条直线相交其中不大于直角的角 叫这两条直线所成的角 两条异面直线所成的角 过空间任意一点 O 分别作与两条异面直线 a b 平行的直线 形成两条相交ba 直线 这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角 2 直线和平面所成的角 直线和平面所成的角 平面的平行线与平面所成的角 规定为 平面的垂线与平面所成的角 规定为 0 90 平面的斜线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所成 4 的角 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角 一作 二证 三计算 在 作角 时依定义关键作射影 由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线 在解题时 注意挖掘题设中两个主要信息 1 斜线上一点到面的垂线 2 过斜线上的一点或过斜线的平面 与已知面垂直 由面面垂直性质易得垂线 3 二面角和二面角的平面角 二面角和二面角的平面角 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半 平面叫做二面角的面 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点 在两个面内面内分别作垂直于垂直于棱的两条射线 这两条射线所成 的角叫二面角的平面角 直二面角 平面角是直角的二面角叫直二面角 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角 那么这两个平面垂直 反过来 如果两个平面垂直 那么所成的二 面角为直二面角 2 强化练习 强化练习 1 如图 一个空间几何体的主视图 左视图 俯视图为全等的等腰直角三角形 如果直角三角形的直角边长为 1 那么这个几何体的体积为 D A 1B 1 2 C 1 3 D 1 6 2 如果一个几何体的三视图如图所示 单位长度 cm 则此几何体的表面积是 A 第 3 题 A 2 204 2 cm B 2 21cmC 2 244 2 cm D 2 24cm 3 如图 水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2 且侧棱 1111 AAABC 面 正视图是边长为 2 的正方形 该三 棱柱的左视图面积为 B A 4 B 32 C 22 D 3 左视图主视图 俯视图 2 俯视图 主视图左视图 2 1 2 第 2 题 第 1 题 B1A1 BA B1A1 BA 正视图 俯视图 5 4 2012 高考江西文 7 若一个几何体的三视图如图所示 则此几何体的体积为 A B 5 C 4 D 9 2 11 2 答案 D 解析解析 通过观察三视图 确定几何体的形状 继而求解 通过观察几何体的三视图可知 该几何体是一个底面为六边形 2 条对边长为 1 其余 4 条边长为2 高为 1 的直棱柱 所以该几何体的体积为 1 1 2222 2 V sh 14 故选 D 5 2012 高考全国文 8 已知正四棱柱中 为的中点 则直 1111 ABCDABC D 2AB 1 2 2CC E 1 CC 线与平面的距离为 1 ACBED A B C D 2321 答案 D 6 设三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 V P Q 分别是侧棱 AA1 CC1上的点 且 PA QC1 则四棱锥 B APQC 的体积为 C A 1 6V B 1 4V C 1 3V D 1 2V 7 如图 在多面体ABCDEF中 已知面ABCD是边长为 3 的正方形 EF AB EF 2 3 EF与面AC的距离为 2 则该多面体的体积为 D A 2 9 B 5 C 6 D 2 15 6 2 3 正视图 图 1 侧视图 图 2 2 俯视图 2 图 3 8 广东文 广东文 如图 1 3 某几何体的正视图 主视图 侧视图 左视图 和俯视图分别是等边三角形 等腰三 角形和菱形 则该几何体的体积为 A B 4 34 C D 2 32 C 该几何体是一个底面为菱形的四棱锥 菱形的面积 四棱锥的高为 1 2 2 32 3 2 S 3 则该几何体的体积 11 2 3 32 3 33 VSh 9 2012 高考上海文 5 一个高为 2 的圆柱 底面周长为 该圆柱的表面积为 2 答案 6 解析解析 根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1 r 所以该圆柱的表面积为 62422 2 rrlS圆柱表 10 2012 高考江苏 7 5 5 分 分 如图 在长方体中 则四棱锥 1111 ABCDABC D 3cmABAD 1 2cmAA 的体积为 cm3 11 ABB D D 答案答案 6 考点考点 正方形的性质 棱锥的体积 解析解析 长方体底面ABCD是正方形 ABD中 3 2BD cm BD边上的高是32 2 cm 它也是 11 ABB D D 中 11 BB D D上的高 四棱锥 11 ABB D D 的体积为 13 3 222 6 32 7 11 2012 高考山东文 13 如图 正方体的棱长为 1 E 为线段上的一点 则三棱锥 1111 ABCDABC D 1 BC 的体积为 1 ADED 答案 6 1 考点 空间多面体的体积 解析 求 1 DEDA 的体积 显然为定值 也就是说三棱锥的地面面积与三棱锥的高都为定值 因此 我们需 要找底面三角形的面积为定值 三角形 1 ADD的面积为 2 1 为定值 而 E 点到底面 1 ADD的高正合适为正方 体的高为 1 为定值 因此体积为 6 1 12 2012 高考天津文科 10 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体 积 3 m 答案 30 解析 由三视图可知这是一个下面是个长方体 上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体 长方体的体积为 24243 五棱柱的体积是641 2 21 所以几何体的总体积为30 8 13 2012 高考新课标文 19 本小题满分 12 分 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱垂直底面 ACB 90 AC BC AA1 D 是棱 AA1的中点 1 2 证明 平面 BDC1 平面 BDC 平面 BDC1分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 命题意图 本题主要考查空间线线 线面 面面垂直的判定与性 质及几何体的体积计算 考查空间想象能力 逻辑推理能力 是简单题 解析 由题设知 BC 1 CC BC AC 1 CCACC BC 面 11 ACC A 又 1 DC 面 11 ACC A 1 DCBC 由题设知 0 11 45ADCADC 1 CDC 0 90 即 1 DCDC 又 DCBCC 1 DC 面BDC 1 DC 面 1 BDC 面BDC 面 1 BDC 设棱锥 1 BDACC 的体积为 1 V AC 1 由题意得 1 V 112 1 1 32 1 2 由三棱柱 111 ABCABC 的体积V 1 11 VVV 1 1 平面 1 BDC分此棱柱为两部分体积之比为 1 1 14 在棱长为a的正方体 1111 DCBAABCD 中 E F分别是AB BC的中点 EF与BD交于点G M为棱上 1 BB一点 DCAEF 11 平面 当MB1 MB的值为多少时 MD1 平面 1 EFB 证明之 求点D到平面 1 EFB的距离 B1 C B A D C1 A1 9 解 E F分别是AB BC的中点 ACEF 又 11 CAAC 11 CAEF 11 DACEF平面 II 当BM MB 时 MD1 平面 1 EFB 证明如下 BM MB EBMA 11 又 1111 BBAADA平面 111 EBDA 11 MDAEB平面 11 MDEB 又 11 BBDDEF平面 MDEF 1 又EEBEF 1 MD1 平面 1 EFB III 设点D到平面 1 EFB的距离d DEFBEFBD VV 11 DEFEFB SBBSd 1 3 1 3 1 1 3 4a d 15 2012 高考广东文 18 本小题满分 13 分 如图 5 所示 在四棱锥中 平面 是的中点 是PABCD AB PAD ABCDPDAD EPBF 上的点且 为 中边上的高 CD 1 2 DFAB P