双线性变换法IIR数字滤波器设计

实验名 实验名 双线性变换法双线性变换法 IIRIIR 数字滤波器设计数字滤波器设计 一 实验目的一 实验目的 1 掌握用双线性变换法设计低通 IIR 数字滤波器的基本原理和算法 2 掌握用双线性变换法设计高通和带通 IIR 数字滤波器的基本原理和算法 3 进一步了解数字滤波器和模拟滤波器的频率响应特性 二 实验原理与计算方法二 实验原理与计算方法 双线性变换法设计 IIR 低通数字滤波器的基本原理和算法 双线性变换法设计数字滤波器 采用了二次映射的方法 就是先将整个 s 平面压缩到 s1平面的一个的横形条带范围内 然后再将这个条带映射到 z 平面上 就能建 T j T j 立 s 平面到 z 平面的一一对应关系 对于低通数字滤波器 映射关系为 1 z z T z z T s 1 12 1 12 1 1 其中 T 为抽样周期 用双线性变换法设计低通 IIR 数字滤波器的基本步骤 首先根据设计要求确定相应的 模拟滤波器的传递函数 再应用 1 式得数字滤波器的传递函数 sHa zH 2 z z T s a sHzH 1 12 通常可以给定的参数为 低通数字滤波器通带边界频率 阻带边界频率 pp f 2 1 和对应的通带衰减函数 阻带衰减函数 s1平面中的模拟角频率与数 ss f 2 1 p s 1 字角频率的关系为线性关系 在计算模拟滤波器的阶数 N 极点 si和传递函数 T 1 之前 应作预畸变处理 sHa 3 2 2 tan 2 2 tan 2 1 Tf T T T 模拟滤波器的阶数 N 极点 si和传递函数的计算方法与冲激响应不变法相同 sHa 可以采用 Butterworth 逼近或 Chebyshev 逼近 双线性变换法设计 IIR 高通 带通 带阻数字滤波器的基本原理和算法 由于双线性变换法获得的数字滤波器频率响应特性中不会出现混叠现象 因此可以适 用于高通 带通和带阻滤波器的设计 IIR 数字滤波器的设计通常要借助于模拟低通滤波 器的设计 由原型低通滤波器到其他形式 高通 带通 带阻 IIR 数字滤波器的频带变 换有模拟频带变换法和数字频带变换法 1 模拟频带变换法 首先将给定的对数字滤波器 DF 的技术要求转换为一个低通模拟滤波器 AF 的技术要 求 根据这种要求用某种逼近设计出原型的低通模拟滤波器 LP AF 计算出模拟滤波器的 阶数 N 极点 si和传递函数 再按照双线性变换的变换关系 将模拟滤波器的传递 sHa 函数转换为数字滤波器的传递函数 sHa zH 表 8 1 中列出了将给定的对数字滤波器 DF 的技术要求直接转换为对一个低通模拟滤 波器 AF 的技术要求的频率预畸变校正关系和转换公式 表 8 1 双线性变换和频率预校正的计算公式 变换类型变换关系频率预校正备 注 低通变换 z z s 1 1 2 tan 2 T Tf 2 其中 T 为抽样周期 f 为模 拟频率 中心频率 高通变换 z z s 1 1 2 tan 1 2 2 tan 2 2 s p s p p T T 带通变换 2 2 0 1 cos21 z zz s s s s p sin coscos sin coscos 0 2 20 带阻变换 2 0 2 cos21 1 zz z s s s s p coscos sin coscos sin 0 20 2 21 21 0 sinsin sin cos 其中 分别为数字带 21 通滤波器通带的上下边界角频 率 或数字带阻滤波器阻带的 上下边界角频率 例 数字高通滤波器的设计 首先将给定的数字高通滤波器的技术指标根据公式转换为模拟低通滤波器的技术指标 利用 cheb1ord Wp Ws ap as s 函数求出 chebyshev 模拟低通滤波器的阶数 N 再利用 cheb1ap N ap 函数求出模拟低通滤波器系统函数的零极点 zp2tf z p k 函数将零极点 sHa 转换为系统函数系数 然后利用 lp2hp 由模拟低通滤波器的系统函数得到模拟带通滤波器 的系统函数 bilinear 函数则用于实现双线性变换法由模拟带通滤波器系统函数计算 sHa 数字数字带通滤波器系统函数的系数 zH 2 数字频带变换法 首先将给定的对数字滤波器 DF 的技术要求转换为一个低通模拟滤波器 AF 的技术要 求 用双线性变换法将原型的低通模拟滤波器 LP AF 映射为低通数字滤波器 再将数字低 通滤波器根据相应的变换公式经频带变换到各型数字滤波器 例 数字高通滤波器的设计 函数 bhp ahp zmapping blp alp Nz Dz 用来实现从数字低通滤波器得到数字高通滤波器 的有理函数 数字滤波器技术指标 wp 0 2 pi ws 0 3 pi Rp 1 As 15 对应的模拟滤波器技术指标 T 1 Fs 1 T Wp 2 T tan wp 2 2 T tan ws 2 cs cd afd chb1 Wp Ws Rp As Chebyshev 模拟滤波器 blp alp bilinear cs cd Fs 双线性变换 wphp 0 6 pi 数字高通滤波器截止频率 低通 高通频带变换 alpha cos wplp wphp 2 cos wplp wphp 2 Nz alpha 1 Dz 1 alpha bhp ahp zmapping blp alp Nz Dz 数字高通滤波器的系统函数系数 3 IIR 数字滤波器的设计 可利用 MATLAB 提供的函数直接设计相应的数字滤波器 函数 buttord 和 cheb1ord 用来根据给定的技术指标求出滤波器的阶数 N 和边界频率 wn butter 和 cheby1 则根据阶数和边界频率设计相应的数字滤波器 输入的参数不同则所 设计的滤波器类型不同 N wn buttord wp ws Rp As N wn cheb1ord wp ws Rp As b a butter N wn b a cheby1 N Rp wp 三 实验内容三 实验内容 1 Chebyshev IIR 数字带通滤波器满足如下技术指标 低阻带边界频率 高阻带边界频率 阻带衰减函数Hz100 1 s fHz600 1 s fdB18 s 低通带边界频率 高通带边界频率 通带波动Hz200 1 p fHz400 2 p fdB2 抽样频率 记录所得的模拟滤波器的阶数 N 画出模拟滤波器和数字滤波Hzf2000 器的频率响应的幅频和相频特性曲线 N 2 实验代码为 fs1 100 fs2 600 fp1 200 fp2 400 fsa 2000 As 18 Rp 2 T 1 fsa 对应的模拟滤波器技术指 w1 2 pi fp1 fsa Chebyshev模拟滤波器 w2 2 pi fp2 fsa wp1 2 pi fp1 T wp2 2 pi fp2 T ws2 2 pi fs2 fsa cosw0 sin w1 w2 sin w2 sin w1 w0 acos cosw0 bw wp2 wp1 Wp cosw0 cos w2 sin w2 Ws cosw0 cos ws2 sin ws2 N omgn cheb1ord Wp Ws Rp As s 返回模拟低通滤波器阶数N和边界频率 n z p k cheb1ap N Rp 得系统函数零极点 blp alp zp2tf z p k 由零极点得系数 bhp ahp lp2bp blp alp w0 bw 模拟低通到模拟带通 bdf adf bilinear bhp ahp 1 双线性变换将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器 BPA wa freqs bhp alp fsa BPD wd freqz bdf adf fsa subplot 2 2 1 plot abs BPA title 模拟带通滤波器幅频特性 subplot 2 2 2 plot angle BPA title 模拟带通滤波器相频特性 subplot 2 2 3 plot abs BPD title 数字带通滤波器幅频特性 subplot 2 2 4 plot angle BPD title 数字带通滤波器相频特性 2 Chebyshev IIR 数字带阻滤波器满足如下技术指标 低阻带边界频率 高阻带边界频率 阻带衰减函数Hz1000 1 s fHz2000 1 s fdB20 s 低通带边界频率 高通带边界频率 通带波动Hz500 1 p fHz3000 2 p fdB3 抽样频率 记录所得的模拟滤波器的阶数 N 画出模拟滤波器和数字滤波器kHzf10 的频率响应的幅频和相频特性曲线 N 2 实验代码为 fs1 1000 fs2 2000 fp1 500 fp2 3000 fsa 10000 As 18 Rp 2 T 1 fsa 对应的模拟滤波器技 w1 2 pi fp1 fsa Chebyshev模拟滤波器 w2 2 pi fp2 fsa wp1 2 pi fp1 T wp2 2 pi fp2 T ws2 2 pi fs2 fsa cosw0 sin w1 w2 sin w2 sin w1 w0 acos cosw0 bw wp2 wp1 Wp cosw0 cos w2 sin w2 Ws cosw0 cos ws2 sin ws2 N omgn cheb1ord Wp Ws Rp As s 返回模拟低通滤波器阶数N和边界频率 n z p k cheb1ap N Rp 得系统函数零极点 blp alp zp2tf z p k 由零极点得系数 bhp ahp lp2bs blp alp w0 bw 模拟低通到模拟带通 bdf adf bilinear bhp ahp 1 双线性变换将模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器 BPA wa freqs bhp alp fsa