必修1知识复习

集合集合 一 知识复习一 知识复习 1 1 集合的概念 集合的概念 1 含义 一般地 我们把研究对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做 集合 2 性质 i 确定性 给定的集合 它的元素必须是确定的 也就是说 给定一个集 合 那么任何一个元素在不在这个集合就确定了 要么在 要么不在 比如 大于 3 小于 10 的偶数 构成一个集合 4 6 8 在这个集合中 其他的元素都 不在 我国的小河流 不能构成集合 因为小河流没有明确的标准 ii 互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的 也就是说 集合中的元 素是不重复出现 以后如果两个集合有公共元素 那么它们并起来 公共元素只能出现一次 iii 无序性 集合中的元素没有顺序的区别 只有构成两个集合的元素是一 样的 我们就称这两个集合是相等的 2 2 集合的表示 集合的表示 1 字母表示法 一般用一个大写拉丁字母表示集合 如 A B C 等 元素一 般用小写拉丁字母表示 如 a b c 等 2 列举法 把集合的元素一一列举出来 并用花括号 括起来表示 集合的方法叫列举法 如 1 2 3 3 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法 具体 方法是 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围 再画一 条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 比如 A x N x 8 竖线左边表示一般元素是 x x 要是自然数 竖线右边表示 A 中的元素 x 都 要小于 8 即 A 0 1 2 3 4 5 6 7 又比如 B x R x 8 表示小于 8 的所有 实数 有时候有写成 B x x 8 即不写 x 的范围表示 x 属于实数 3 3 元素与集合的关系元素与集合的关系 如果 a 是集合 A 中的元素 就说 a 属于集合 A 记作 a A 如 果 a 不是集合 A 中的元素 就说 a 不属于集合 A 记作 aA 4 4 常用数集常用数集 自然数集 N 正整数集 N 有理数集 Q 实数集 R 如还不清楚请看课本 注 意 N 是从 0 开始的 即 0 N 5 5 子集子集 一般地 对于两个集合 A B 如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素 则称 A 是 B 的子集 记作 A B 或 BA 读作 A 含于 B 或 B 包含 A 6 6 集合相等集合相等 如果集合 A 是集合 B 的子集 且集合 B 是集合 A 的子集 此时 集合 A 与集合 B 中的元素是一样的 因此 集合 A 与集合 B 相等 记作 A B 7 7 真子集真子集 如果集合 A B 但存在元素 x B 且 x A 我们称集合 A 是集合 B 的真子集 记作 A B 或 B A 8 8 子集与真子集的关系子集与真子集的关系 A 的子集包括 A 的真子集和 A 如果一个集合有 n 个元 素 则它的子集个数是 2n个 它的真子集个数是 2n 1 个 9 9 空集空集 不含任何元素的集合叫空集 记作 并规定 空集是任何集合的子 集 是任何非空集合的真子集 10 10 并集并集 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合 称为 A 与 B 的并 集 记作 A B 读作 A 并 B 即 A B x x A 或 x B 11 11 交集交集 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合 称为 A 与 B 的交集 记作 A B 读作 A 交 B 即 A B x x A 且 x B 12 12 补集补集 对于一个集合 A 由全集 U 中不属于集合 A 的所有的元素组成的集合 称为 A 的补集 记作 CuA 即 CuA x x U 且 xA 二 学法指导 二 学法指导 1 1 符号符号 与与有什么区别 有什么区别 符号 只能适用于元素与集合之间 其左边只能写元素 右边只能写集合 说 明左边的元素属于右边的集合 如 1 N a a b 符号只能适用于集合与 集合之间 说明左边的集合是右边的集合的子集 左边集合的元素都属于右边 的集合 如 1 2 1 2 3 2 2 怎样对给定的集合进行交并补运算 怎样对给定的集合进行交并补运算 1 对抽象的集合和有限集合一般用 Venn 图表示 如设全集 U 1 2 3 4 5 A CUB 1 2 B CUA 3 A B 4 5 求 A B 分析 画出 Venn 图如下 由图很容易得出 A 1 2 4 5 B 3 4 5 2 对实数集合之间的运算一般画数轴 画好数轴后求交集是取两个集合的公 共部分 求并集可先把 A 的部分都画上 再把 B 的部分也画上 则总的就是 A 与 B 的并 如 A x 1 x 2 B x x 0 画出数轴如下 A B x 1 x 0 A B x xB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作 y f x x A 其中 x 是自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 与 x 的值对应的 y 值叫做函数 值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 显然 值域是集合 B 的子集 2 2 区间 区间 设 a b 是两个实数 而且 a b 我们规定 1 满足不等式 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间 表示为 a b 2 满足不等式 a x b 的实数 x 的集合叫做开区间 表示为 a b 3 满足不等式 a x b 或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间 分别表示为 a b a b 4 实数 R 其中 表示比任意给定的数都大 表示比任意给定 的数都小 因并不存在 所以 不能用闭区间 满足 x a 的实数 可表示为 a 注意 aB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 2 映射和函数的关系 函数是特殊的映射 即当两个集合 A B 都为非空的 数集数集时 从 A 到 B 的映射就是函数 所以函数一定是映射 映射不一定是函数 二 学法指导 二 学法指导 1 1 函数的三要素函数的三要素 定义域 对应法则 值域 有时给出的函数没有明确说明定 义域 这时 定义域就是字变量有意义的 x 的集合 如果函数涉及实际问题 它的定义域还需使实际问题有意义或另有其它限制 2 2 符号符号 f x f x 表示变量 y 是变量 x 的函数 它仅仅是函数的符号 并不表示 y 等 于 f 与 x 的乘积 符号 f x 与 f m 既有区别又有联系 当 m 是变量时 函数 f x 与函数 f m 是同一个函数 当 m 是常数时 f m 表示自变量 x m 对应的函 数值 是一个常量 3 3 基本初等函数的定义域与值域 基本初等函数的定义域与值域 1 一次函数 f x kx b k 0 的定义域是 R 值域是 R 2 反比例函数 f x k x k 0 的定义域是 x x 0 值域是 x x 0 3 二次函数 f x ax2 bx c a 0 的定义域是 R 当 a 0 时 值域是 y y 4ac b2 4a 当 a 0 时 值域是 y y 4ac b2 4a 4 4 如何判断两个函数是同一函数 如何判断两个函数是同一函数 当且仅当两个函数的三要素完全相同时 它们才是同一函数 只要有一个要素 不同就不是同一函数 又函数的值域是有定义域和对应法则确定的 则只需看 定义域与对应法则是否相同即可 注意 用什么字母表示没有关系 比如 f x 2x 3 与 g t 2t 3 是同一函数 方法 先求定义域 如不一样 则不是同一函数 若定义域一样 则化简函数 的表达式 如果化简后的表达式一样 则它们是同一函数 5 5 描点法画函数图象的步骤 描点法画函数图象的步骤 1 求函数的定义域 2 列表 关键点一定要列上 比如端点 转折点 3 描点 4 连线 函数的基本性质函数的基本性质 一 知识复习 一 知识复习 1 1 增减函数定义增减函数定义 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个子变量的值 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么我们就说函数 f x 在区间 D 上是增 函数 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个子变量的值 x1 x2 当 x1f x2 那么我们就说函数 f x 在区间 D 上是减函数 2 2 最值定义最值定义 设函数 y f x 的定义域为 I 如果存在实数 M 满足 1 对于任意的 x I 都有 f x M 2 存在 x0 I 使得 f x0 M 那么我们就说 M 是函数 y f x 的最大值 同理 把 1 中的 f x M 改为 f x M 则 M 为 f x 的最小值 3 3 奇偶函数的定义 奇偶函数的定义 如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x 都有 f x f x 那么 f x 叫做奇 函数 如果对于函数 f x 的定义域内任意一个 x 都有 f x f x 那么 f x 叫做偶 函数 二 学法指导 二 学法指导 1 1 基本初等函数的单调性 基本初等函数的单调性 1 正比例函数 y kx k 0 当 k 0 时是 R 上的增函数 当当 k0 时 函数的单调递减区间为 0 0 不存在递增区间 注意 不能说在定义域内或在 0 0 上是减函数 它是分别在 0 和 0 上减函数 并在一起不是 如是的话 则 f 1 f 1 即 k k 显然不对 当 k0 时 函数 y kx b 在 R 上是增函数 当 k0 时 递减区间为 b 2a 递增区间为 b 2a 当 a 0 时 递增区间为 b 2a 递减区间为 b 2a 2 2 复合函数复合函数 y f g x y f g x 的单调性的单调性 当 f x 和 g x 的单调性相同时 复合函数 y f g x 是增函数 当 f x 和 g x 的单调性相反时 复合函数 y f g x 是减函数 3 3 对于函数对于函数 f x g x f x g x 的单调性的单调性可总结为 增 增 增 增 减 增 减 减 减 减 增 减 4 4 用定义法证明函数的单调性的步骤 用定义法证明函数的单调性的步骤 1 设 x1 x2属于要证的区间 且 x10 b 0 r s Q aras ar s ar s ars ab r arbr 2 指数函数 1 定义 一般地 函数 y ax a 0 且 a 1 叫做指数函数 其中 x 是自变量 2 性质 函数的定义域的 R 值域为 0 图象恒过点 0 1 当 0 a1 时 y ax在 R 上是增函数 3 图象 0 a1 二 学法指导 1 利用分数指数幂进行根式的运算 先把根式化为分数指数幂 再根 据分数指数幂的运算性质进行计算 最后用根式表示 2 指数函数性质口诀 指数增减要看清 抓住底数不放松 反正底数大于 0 不等于 1 已表明 底数若是大于 1 图象从下往上增 底数 0 到 1 之间 图象从上往下减 无论增和减 图象都过 0 1 点 3 指数幂 ax和 1 的比较 当 x 0 0 a0 a 1 时 ax 1 当 x1 或 x 0 0 a 1 时 ax1 0 a0 a 1 互为反函 数 一般地 函数 y f x 的图象和它的反函数的图象关于直线 y x 对称 3 幂函数 1 定义 一般地 函数 y x 叫做幂函数 其中 x 是自变量 是常 数 2 图象 y x 和 y x2我们已学过 下面给出 y x3 y x1 2 y x 1的图象 y x3 y x1 2 y x 1 3 幂函数 y xn的性质 在 0 都有定义 并且图象都过 1 1 当 n 0 时 图象都过原点 并且在 0 上是增函数 当 n0 a 0 a 当 x 1 a1 a 1 时 logax 0 当 x1 或 x 1 a 1 时 logax1 时 其单调区间和 f x 的单调区间是一致 的 并且在相同的区间里单调性也是一致的 当 0 a0 这个限制 例 讨论 f x log2 x2 4x 12 的单调性 u x2 4x 12 的单调增区间为 2 单调减区间为 2 但不能说 f x 的单调增区间为 2 单调减区间为 2 因为当 u x2 4x 120 求得定义域为 2 6 令 y log2u u x2 4x 12 在 6 上是增函数 在 2 上是减函数 又 y log2u 在 0 上是增函数 故函数 f x 的单调增区间为 6 单调减区间为 2 2 2 由指 对数函数组成的复合函数的定义域 值域问题由指 对数函数组成的复合函数的定义域 值域问题 首先要掌握各类基本函数的定义域 然后根据条件转化为求不等式组 的解集来处理 函数与方程函数与方程 一 知识复习 一 知识复习 1 1 函数的零点 函数的零点 1 定义 对于函数 y f x 我们把使 f x 0 的实数 x 叫做函数 y f x 的零 点 2 几何意义 函数 y f x 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是函数 y f x 的零 点 2 2 函数零点的判断方法 函数零点的判断方法 1 方程法 解方程 f x 0 得函数 y f x 的零点 2 图象法 画出函数 y f x 的图象 其图象与 x 轴的交点的横坐标就是函 数 y f x 的零点 3 定理法 如果函数 y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 f a f b 0 那么 函数 y f x 在区间 a b 内有零点 即存在 c a b 使得 f c 0 这个 c 也就是方程 f x 0 的根 3 3 二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解 1 概念 对于在区间 a b 上连续不断且 f a f b 0 的函数 y f x 通过 不断地把函数 y f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近 零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2 步骤 确定区间 a b 验证 f a f b 0 给定精确度 求区间 a b 的中点 c 计算 f c 若 f c 0 则 c 就是函数的零点 若 f a f c 0 则令 b c 此时零点 x0 a c 若 f b f c 0 则令 a c 此时零点 x0 c b 判断是否达到精确度 若 a b 0 且 a 1 的函数叫做指数函数 形如 y logax a 0 且 a 1 的函数叫做对数函数 形如 y xa a R 的函数叫做幂函数 2 一次函数的增长量固定不变固定不变 而指数函数的增长量是成倍增长成倍增长的 它的