数列精华题型归纳(含详解)

戴氏教育戴氏教育 艰苦磨砺 勤思创新 疯狂追求艰苦磨砺 勤思创新 疯狂追求 1 数列精华题型归纳数列精华题型归纳 一 一 等差数列的定义与性质等差数列的定义与性质 定义 为常数 aad daand nnn 11 1 等差中项 成等差数列xAyAxy 2 前 项和nS aan na n n d n n 1 1 2 1 2 性质 是等差数列an 若 则 1mnpqaaaa mnpq 数列 仍为等差数列 2 212 aakab nnn SSSSS nnnnn 仍为等差数列 232 若三个数成等差数列 可设为 3adaad 若 是等差数列 为前 项和 则 4 21 21 abSTn a b S T nnnn m m m m 为等差数列 为常数 是关于 的常数项为5 2 aSanbnabn nn 0 的二次函数 SSanbna nnn 的最值可求二次函数的最值 或者求出中的正 负分界 2 项 即 当 解不等式组可得达到最大值时的 值 ad a a Sn n n n1 1 00 0 0 当 由可得达到最小值时的 值 ad a a Sn n n n1 1 00 0 0 如 等差数列 则aSaaaSn nnnnn 1831 123 由 aaaaa nnnnn 1211 3331 又 S aa aa 3 13 22 2 331 1 3 戴氏教育戴氏教育 艰苦磨砺 勤思创新 疯狂追求艰苦磨砺 勤思创新 疯狂追求 2 S aanaan n n nn 121 22 1 3 1 2 18 n27 二 等比数列的定义与性质二 等比数列的定义与性质 定义 为常数 a a qqqaa q n n n n 1 1 1 0 等比中项 成等比数列 或xGyGxyGxy 2 前 项和 要注意 nS naq aq q q n n 1 1 1 1 1 1 性质 是等比数列an 若 则 1mnpqaaaa mnpq 仍为等比数列2 232 SSSSS nnnnn 三 求数列通项公式的常用方法三 求数列通项公式的常用方法 1 1 公式法 公式法 2 2 nn aS 求由 时 时 naSnaSS nnn 12 111 3 3 求差 商 法 求差 商 法 如 满足 aaaan n n n 1 2 1 2 1 2 251 1 2 2 解 naa 1 1 2 21514 11 时 naaan n n 2 1 2 1 2 1 2 2152 1 2 2 1 1 时 12 1 2 2得 n n a an n 2 1 a n n n n 141 22 1 练习 练习 数列满足 求aSSaaa nnnnn 111 5 3 4 注意到代入得 aSS S S nnn n n 11 1 4 又 是等比数列 SSS nn n 1 44 naSS nnn n 234 1 1 时 4 4 叠乘法 叠乘法 戴氏教育戴氏教育 艰苦磨砺 勤思创新 疯狂追求艰苦磨砺 勤思创新 疯狂追求 3 例如 数列中 求aa a a n n a n n n n1 1 3 1 解 解 a a a a a a n n a an n n n2 1 3 211 1 2 2 3 11 又 aa n n1 3 3 5 5 等差型递推公式 等差型递推公式 由 求 用迭加法aaf naaa nnn 110 naaf aaf aaf n nn 22 3 21 32 1 时 两边相加 得 aafff n n 1 23 aafff n n 0 23 练习 数列 求aaaana nn n nn1 1 1 132 an n 1 2 31 6 6 等比型递推公式 等比型递推公式 acad cdccd nn 1 010 为常数 可转化为等比数列 设axc ax nn 1 acacx nn 1 1 令 cxdx d c 1 1 是首项为 为公比的等比数列a d c a d c c n 11 1 a d c a d c c n n 11 1 1 aa d c c d c n n 1 1 11 练习 数列满足 求aaaaa nnnn11 934 戴氏教育戴氏教育 艰苦磨砺 勤思创新 疯狂追求艰苦磨砺 勤思创新 疯狂追求 4 an n 8 4 3 1 1 7 7 倒数法 倒数法 例如 求aa a a a n n n n11 1 2 2 由已知得 12 2 1 2 1 1 a a aa n n nn 111 2 1 aa nn 11 1 1 2 1 aa n 为等差数列 公差为 1 11 1 2 1 2 1 a nn n a n n 2 1 三 三 求数列前求数列前 n n 项和的常用方法项和的常用方法 1 1 公式法 等差 等比前 公式法 等差 等比前 n n 项和公式项和公式 2 2 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和 使之出现成对互为相反数的项 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和 使之出现成对互为相反数的项 如 是公差为 的等差数列 求ad a a n kkk n 1 11 解 由 11111 0 11 aaaadd aa d kkkkkk 1111 1111 a ad aa kkk n kkk n 1111111 111 12231 11 daaaaaa d aa nn n 练习 求和 1 1 12 1 123 1 123 n aS n nn 2 1 1 3 3 错位相减法 错位相减法 若为等差数列 为等比数列 求数列 差比数列 前 项aba bn nnnn 和 可由求 其中 为的公比 SqSSqb nnnn 如 Sxxxnx n n 12341 231 xSxxxxnxnx n nn 23412 2341 戴氏教育戴氏教育 艰苦磨砺 勤思创新 疯狂追求艰苦磨砺 勤思创新 疯狂追求 5 1211 21 x Sxxxnx n nn xS x x nx x n n n 1 1 1 1 2 时 xSn n n n 1123 1 2 时 4 4 倒序相加法 把数列的各项顺序倒写 再与原来顺序的数列相加 倒序相加法 把数列的各项顺序倒写 再与原来顺序的数列相加 Saaaa Saaaa nnn nnn 121 121 相加 2 1211 Saaaaaa nnnn 练习 已知 则f x x x fffffff 2 2 1 12 1 2 3 1 3 4 1 4 由f xf x x x x x x xx 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 22 原式 fffffff 12 1 2 3 1 3 4 1 4 1 2 1113 1 2 例 1 设 an 是等差数列 若a2 3 a 13 则数列 an 前 8 项的和为 7 A 128 B 80 C 64 D 56 略解 a2 a a a 16 an 前 8 项的和为 64 故应选 C 7 1 8 例 2 已知等比数列满足 则 n a 1223 36aaaa 7 a A 64B 81C 128D 243 答案 A 例 3 已知等差数列中 若 则数列的前 5 项 n a 2 6a 5 15a 2nn ba n b 和等于 A 30B 45C 90D 186 略解 a a 3d 9 d 3 b b a 30 的前 5 项和 5212 6a 510 n b 等于 90 故答案是 C 戴氏教育戴氏教育 艰苦磨砺 勤思创新 疯狂追求艰苦磨砺 勤思创新 疯狂追求 6 例 4 记等差数列的前项和为 若 则该数列的公差 n n S 24 4 20SS d A 2 B 3 C 6 D 7 略解 故选 B 422 412 3SSSdd 例 5 在数列中 其中为 n a 5 4 2 n an 2 12n aaaanbn nN a b 常数 则 ab 答案 1 例 6 在数列中 则 n a 1 2a 1 1 ln 1 nn aa n n a A B 2lnn 2 1 lnnn C D 江西卷第 5 题 2lnnn 1lnnn 答案 A 例 7 设数列中 则通项 n a 11 2 1 nn aaan n a 此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式 抓住中 1 1 nn aan 系数相同是找到方法的突破口 1 nn aa 略解 11 2 1 nn aaan 1 11 nn aan 12 21 nn aan 23 31 nn aan 将以上各式相加 得 32 2 1aa 21 1 1aa 1 21 1a 故应填 1232 11 n annnn 11 11 22 nnn n n 1 1 2 n n 例 8 若 x n的展开式中前三项的系数成等差数列 则展开式中x4项的系数 1 2x 为 A 6B 7C 8 D 9 答案 B 使用选择题 填空题形式考查的文科数列试题 充分考虑到文 理科考生 在能力上的差异 侧重于基础知识和基本方法的考查 命题设计时以教材中学 习的等差数列 等比数列的公式应用为主 如 例 4 以前的例题 例 5 考查考 生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解 例 6 例 7 考查 由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力 例 8 则考查二项展 开式系数 等差数列等概念的综合运用 重庆卷第 1 题 浙江卷第 4 题 陕西 戴氏教育戴氏教育 艰苦磨砺 勤思创新 疯狂追求艰苦磨砺 勤思创新 疯狂追求 7 卷第 4 题 天津卷第 4 题 上海卷第 14 题 全国 卷第 19 题等 都是关于数 列的客观题 可供大家作为练习 例 9 已知 an 是正数组成的数列 a1 1 且点 nN 在函数 1 nn aa y x2 1 的图象上 求数列 an 的通项公式 若数列 bn 满足 b1 1 bn 1 bn 求证 bn bn 2 b2n 1 2 n a 略解 由已知 得an 1 an 1 又a1 1 所以数列 an 是以 1 为首项 公差为 1 的等差数列 故an 1 n 1 1 n 由 知 an n 从而bn 1 bn 2n bn bn bn 1 bn 1 bn 2 b2 b1 b1 2n 1 2n 2 2 1 2n 1 bn bn 2 b 2n 1 2n 2 1 2 1 n 2n 1 1 2 2n 0 bn bn 2 b 2 1 n 对于第 小题 我们也可以作如下的证明 b2 1 bn bn 2 b bn 1 2n bn 1 2n 1 b 2n 1 bn 1 2n bn 1 2 1 n 2 1 n 2n 2n 1 2n bn 1 2n 1 2n bn 2n 2n 1 2n bn 2n 2n b1 2 2n 0 bn bn 20 an an 1 5 n 2 当a1 3 时 a3 13 a15 73 a1 a3 a15不成等比数列 a1 3 当a1 2 时 a3 12 a15 72 有a32 a1a15 a1 2 an 5n 3 附加题附加题 解解 引入字母 转化为递归数列模型 设第 n 次去健身房的人数为an 去娱乐室的人数为 bn 则 150 nn ba 30 10 7 30 10 7 150 10 2 10 9 10 2 10 9 111111 nnnnnnnn aaaaabaa即 于是 100 10 7 100 1 nn aa 1 1 10 7 100 100 n n aa 即 100 10 7 100 1 1 aa n n 故随着时间的推移 去健身房的人数稳定在 100 人左右 100lim n n a 4 解 由可得 两式相减得 1 21 nn aS 1 212 nn aSn 11 2