江苏省盐城东台市唐洋镇中学八年级数学上册复习学案：3.5《矩形的判定》（苏科版）

课题课题 3 53 5 矩形的判定矩形的判定 学习目标学习目标 理解并掌握矩形的判定方法 使学生能运用矩形的定义 判定等知识 解决简 单的证明题和计算题 进一步培养学生的分析能力 学习重点 难点学习重点 难点 矩形的判定及性质的综合应用 一一 学前准备 学前准备 1 矩形是一个 对称图形 也是一个 对称图形 矩形除了有平行四边形的所有性质 外 还具有如下的性质 两条对角线 且 四个内角都是 2 有一个角是 的平行四边形是矩形 有 个角是 角的 四边形是矩形 对角线相等的 是矩形 对角线 的四 边形是矩形 3 要判定一个四边形是矩形 首先要说明它是一个 然后说明 它具有 或 如果一个四边形具有 就 可以直接判定它是矩形 4 用刻度尺检查一个四边形零件是矩形 你的方法是 5 矩形具有而一般平行四边形不具有的特征是 A 对角相等 B 对边相等 C 对角线相等 D 对角线互相平分 6 已知矩形一条对角线与一边的夹角是 40 度 则两条对角线所成锐角的度数 为 A 50 度 B 60 度 C 70 度 D 80 度 7 已知下列命题中 矩形是轴对称图形 且有两条对称轴 两条对角线相 等的四边形是矩形 有两个角相等的平行四边形是矩形 两条对角线相 等且互相平分的四边形是矩形 其中正确的有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 8 8 甲 乙 丙 丁四位同学到木工厂参观时 一木工师傅拿尺子要他们帮助检 测一个窗框是否是矩形 他们各自做了如下检测 检测后 他们都说窗框是矩 形 你认为最有说服力的是 A 甲量得窗框两组对边分别相等 B 乙量得窗框对角线相等 C 丙量得窗框的一组邻边相等 D 丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等 二二 师生交流 师生交流 1 如图 20 2 3 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点 E F G H 分 别是 AO BO CO DO 上的一点 且 AE BF CG DH 求证 四边形 EFGH 是矩形 解题思路 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点 AO BO CO DO 有了这个结论 要证四边形 EFGH 是矩形 很自 然会想到利用矩形判定定理 即想办法去证明 HO GO FO EO 再 结合条件 AE BF CG DH 问题即可得证 2 已知 如图 20 2 4 四边形 ABCD 中 A B C 90 求证 四边形 ABCD 是矩形 证明 3 已知 如图 20 2 5 的四个内角的平 ABCDA 分线分别相交于点 E F G H 求证 四边形 EFGH 是矩形 分析 要证四边形 EFGH 是矩形 由于此题目可分解出基本 图形 如图 20 2 6 因此 可选用 三个角是直角的四边形是 矩形 来证明 证明 三三 小结提高 这节课你有什么收获小结提高 这节课你有什么收获 对角线相等的平行四边形是矩形 或对角线互相平分 且相等的四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 四 自我检测 四 自我检测 1 如图 1 所示 矩形 ABCD 中 AE 平分 BAD 交 BC 于 E CAE 15 则下面的结论 ODC 是等边三角形 BC 2AB AOE 135 其中正确的 AOECOE SS AA 结论有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 O H G 图 20 2 3 F E D CB A 图 20 2 4 D CB A H G 图 20 2 5 F E D CB A G 图 20 2 6 F E D CB A O 图 1 E D CB A 个 2 在矩形 ABCD 中 AB 2BC 在 CD 上取一点 E 使 AE AB 则 EBC 度 3 矩形的两条对角线的夹角为 120 矩形的宽为 3 则矩形的面积为 4 已知 四边形 ABCD 中 AB CD A D 180 AC BD 相交于点 O AOB 是等边三角形 求证 四边形 ABCD 是矩形 5 如图 2 所示 BD BE 分别是 ABC 与它的邻补角 ABP 的平分线 AE BE AD BD E D 为垂足 1 求证 四边形 AEBD 是矩形 2 若 F G 分别为 AE AD 3 AE AD 上的点 FG 交 AB 于点 H 且 求证 3 AF AG AHG 为等腰三角形 6 已知如图 四边形ABCD中 GM GN HM HN 分别平分 AGH BGH CHG DHG 试判断四边形GMHN的形状 并说明你的理由 7 如图 ABCD 中 以 AC 为斜边作 Rt ACE 又 BED 90 求证 四边形 ABCD 是矩形 P 图 2 H G F ED CB A AB CD E F G H M N A BC D E O 8 如图 在 ABC 中 点 O 是 AC 边上的一动点 过点 O 作直线 MN BC 设 MN 交 BCA 的平分线于点 E 交 BCA 的外角平分线于点 F 1 说明 EO FO 2 当点 O 运动到何处时 四边形 AECF 是矩形 并说明你的结论 9 且 l BC 交 CM CN 分别于 E F 吗 1 说明 OE OF 2 连结 AE AF 当点 O 在何处时 四边形 AECF 是矩形 说出你的理由 课题课题 3 53 5 菱形的性质菱形的性质 学习目标学习目标 了解菱形的基本性质 掌握其特征 学习重点 难点学习重点 难点 掌握菱形的性质 一 学前准备 1 菱形既是 对称图形 又是 对称图形 21 菱形具有而矩形不一定具有的特征是 两条对角线 每一条 对角线 矩形具有而菱形不一定具有的特征是 两 条对角线 各个内角 矩形和菱形共同具有的特 征是 两条对角线 两组对边分别 两组对角分别 3 菱形的两条对角线把菱形分成 个全等的 三角形 A E BC F O NM D 4 如果平行四边形 ABCD 满足条件 填写一个合 适的条件 那么它的对角线 AC BD 就互相垂直 5 下列叙述错误的是 A 平行四边形的对角线互相平分 B 菱形的对角线互相平分 C 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D 对角线相等的四边形是矩 形 6 菱形具有而矩形不一定具有的特征是 A 四条边相等 B 四个内角都相等 C 对角线互相平分 D 对角线 互相垂直 7 菱形的两对角线长分别为 10cm 和 24cm 则周长为 cm 面积为 cm2 8 已知菱形 ABCD 的周长为 8cm BCD 120 对角线 AC 和 BD 相交于点 O 求 AC 和 BD 的长 二二 师生交流 师生交流 1 画一个 ABC 取 BC 的中点 M 把 ABC 绕着 M 旋转 180 后得一个 A B C A B C 与 ABC 拼成一个怎样的图形 平行四边形 那么 菱形也可以看作什么样的三角形通过绕着那一边的中点旋转 180 后与原三角 形拼成的 2 画一个等腰 ABC 取底边 BC 中点 M 把 ABC 绕着 M 旋转 180 后的 三角形与原三角形拼成一个怎样的图形 如图所示 3 观察图 思考 1 图中有哪些三角形是等腰三角形 2 图中有哪些直角三角形 A BC 0 D 4 菱形是中心对称图形 菱形是轴对称图形 5 请大家想一想 1 直角 ACM 直角 CMA 直角 ABM 直角 BMA 的形状 大小是 否相同 2 如何用剪刀的办法 得到一个菱形的纸片呢 如图所示 6 菱形性质 边 对边平行 四边都相等 角 对角相等 对角线 对角线互相垂直平分 且平分各内角 7 例 在菱形 ABCD 中 BAD 2 B 如图所示 求证 ABC 是等边三角形 三三 小结提高 这节课你有什么收获小结提高 这节课你有什么收获 1 菱形有哪些特征 它与矩形的特征有何异同点 2 如何识别一个四边形是菱形 四 自我检测 四 自我检测 1 菱形是轴对称图形 它的对称轴只有一条 2 菱形的对角线互相垂直平分 且平分各内角 3 菱形的邻角比为 1 5 它的高为 1 5cm 则它的周长为 4 两条对角线 的四边形是菱形 5 已知菱形的两对角线的比为 2 3 两对角线和为 20 则这对角线长分别为 6 菱形 ABCD 的 AC 交 BD 于 O AB 13 BO 12 AO 5 求菱形的周长 面积 7 O 为菱形 ABCD 的对角线交点 E F G H 分别是菱形各边的中点 若 OE 3cm 则 OF OG OH 8 下列性质中 为菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是 A 对角线互相平分 B 对角线相等 C 邻角相等 D 邻边相等 9 菱形是轴对称图形 对称轴有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 10 10 已知菱形 ABCD 的对角线相交于点 O AC 8cm BD 6cm 求菱形的高 AD 6 如图 AD 是 ABC 的角平分线 DE AC 交 AB 于点 E DF AB 交 AC 于 F 试判断 AEDF 是 何图形 并说明理由 7 如图 菱形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O 试说明这个菱形的面积等于 AC BD 的一半 8 在宽为 6 厘米的矩形纸带上 用菱形设计如下图所示的图案 如果菱形的边长为 5 厘米 请你回答下列问题 A E B C F 1 2 A O D B C A BC 0 D D 1 如果用 5 个这样的菱形设计图案 那么至少需要多长的纸带 2 设菱形的个数为 x 所需的纸带长为 y 请你用 x 的代数式表示 y 3 现有长为 25 厘米的纸带 要设计这样的图案 最多需要多少个菱形 9 已知 菱形有一个角是 72 设计三种不同的分法 将菱形分割成四个三角形 使得每个 三角形都是等腰三角形 要求画出分割线段 标出能够说明分法所得三角形内角的度数 课题课题 3 53 5 菱形的判定菱形的判定 学习目标学习目标 1 经历菱形的判定定理的发现过程 2 掌握菱形的判定定理 四条边相等的四边形是菱形 3 掌握菱形的判定定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4 通过运用菱形知识解决具体问题 提高分析能力和观察能力 并根据平行 四边形 矩形 菱形的从属关系 向学生渗透集合思想 学习 难点学习 难点 菱形的判定定理 一 学前准备 学前准备 1 定义 性质和判定 菱形的定义 一组邻边对应相等 叫做菱形 菱形的性质 除具备一般平行四边形的性质外 还具备四条边 对角线互相 并且每条对角线平分一组 菱形判定定理 1 四边都 的四边形是菱形 菱形判定定理 2 对角线 的平行四边形是菱形 2 判断题 1 一组邻边相等 且对角线互相垂直的四边形是菱形 2 一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 3 对角线交点到各边中点的距离都相等的四边形是菱形 二二 师生交流 师生交流 1 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 2 已知 如图 在 ABCD 中 BD AC O 为垂足 求证 ABCD 是菱形 启发 在已知是平行四边形的情况下 要证明是菱形 只要证明一组邻边相 等 结论 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3 猜想 对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形 启发 通过四个直角三角形的全等得到四条边相等 结论 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3 例 1 如图 在矩形 ABCD 中 对角线 AC 的垂直平分线与 AD BC 分别交于 点 E F 求证 四边形 AFCE 是菱形 启发 已知对角线互相垂直 还需什么条件就能说明四边形是菱形 4 思考题 如图 ABC 中 A 90 B 的平分线交 AC 于 D AH DF 都垂 于 BC H F 为垂足 求证 四边形 AEFD 为菱形 三三 小结提高 这节课你有什么收获小结提高 这节课你有什么收获 A BC D E FH 1 菱形常用的判定方法 1 一组邻边相等的平行四边形 2 四条边相等的四边形 3 对角线互相垂直的平行四边形 4 对角线互相垂直平分的四边形 2 平行四边形 矩形 菱形之间的区别与联系 1 四 自我检测四 自我检测 25 如图所示 O 为矩形 ABCD 的对角线交点 DE AC CE BD OE 与 CD 互相垂直平分吗 请说明理由 一 选择题一 选择题 3 若菱形的周长等于它的高的 8 倍 则菱形一定互补角度数分别为 A 30 150 B 45 135 C 60 120 D 80 100 4 在菱形 ABCD 中 AE BC 于 E AF CD 于 F 且 E F 分别是 BC CD 的 中点 那么 EAF 等于 A 75 B 55 C 45 D 60 二 填空题二 填空题 1 有一组 的平行四边形叫做菱形 菱形的 都相等 2 菱形的对角线 并且 3 如果菱形的高是 5cm 相邻两个内角的度数之比为 1 5 那么它的 边长为 cm 4 菱形较短的对角线长为 4 两邻角的比为 1 2 则菱形的面积为 另一条对角线的长为 三 解答题三 解答题 1 菱形的周长为 12cm 一条对角线长为 3cm 求菱形各角的度数 2 如下图 在 ABC 中 AB BC D E F 分别是 BC AC AB 边上的中 点 1 求证 四边形 BDEF 是菱形 2 若 AB 12cm 求菱形 BDEF 的周长 F E DCB A 课后作业课后作业 班级 姓名 学号 二 填空题 三 选择题 11 从菱形的钝角的顶点向对边引垂线 并且这条垂线平分对边 则该菱 形的钝角为 A 110 B 120 C 135 D 150 12 菱形的两邻角之比为 1 2 如果它的较短对角线为 3cm 则它的周长 为 A 8cm B 9cm C 12cm D 15cm 13 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 A 对边相等 B 对角相等 C 对角线互相相等 D 对有线相等 14 能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为 A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 不存在 15 下列说法不正确的是 A 菱形的对角线互相垂直 B 菱形的对角线平分各内角 C 菱形的对角线相等 D 菱形的对角线交点到各边等距离 四 解答题 16 如图所示 已知 E 为菱形 ABCD 的边 AD 的中点 EF AC 于 F 交 AB 于 M 试说明 M 为 AB 的中点 2 1 MF ED C B A 17 如图所示 已知菱形 ABCD 中 E 在 BC 上 且 AB AE BAE EAD AE 交 BD 于 M 试说明 BE AM 1 2 3 4 2 1 M E D C B A 18 如图所示 已知在菱形 ABCD 中 AE CD 于 E ABC 60 求 CAE 的度数 19 如图所示 菱形的周长为 20cm 两邻角的比为 1 2 求 1 较短对角线长是多少 2 一组对边的距离是多少 20 如图所示 已知菱形 ABCD 中 E F 分别在 BC 和 CD 上 且 B EAF 60 BAE 15 求 CEF 的度数 21 已知 菱形一边及这边上的高 求作 满足条件的这个菱形 22 已知在菱形 ABCD 中 AE BC 于 E 且 BE EC 若 AC 6 求菱形 ABCD 的各边长 23 菱形一边与两条对角线所构成的两个角的差为 10 求菱形的各内 角 24 如图所示 已知菱形 ABCD 中 E F 是 BC CD 上的点 且 AE EF AF AB 求 C 的度数 26 如图所示 已知在菱形 ABCD 中 E 在 BC 上 若 B EAD 70 ED 平分 AEC 吗 请说明理由 27 试说明 菱形的对角线的交点到各边的中点距离相等 课题课题 3 5 正方形正方形 教学目标 教学目标 1 掌握正方形的概念 性质以及四边形是正方形的条件 2 经历探索正方形的概念 性质以及四边形是正方形的条件 的过程 在活动中发展学生的探究意识和有条理的表达能力 3 在对正方形特殊性质的探索过程中 理解特殊与一般的关系 领 会特殊事物的本质属性与其特殊性质的关系 教学重 难点 教学重 难点 经历探索正方形的概念 性质以及四边形是正方形的条件 的过程 在活动中发展学生的探究意识和有条理的表达能力 一一 学前准备 学前准备 1 知识梳理 1 叫正方形 2 由定义得正方形的判定方法 有 的矩形 叫正方形 有 的菱形 叫正方形 既是 又是 的四边形叫正方形 二二 师生交流 师生交流 1 正方形与平行四边形 矩形与菱形的关系如图 2 正方形的性质 问题 1 正方形的边 角 对角线各具有什么性质 问题 2 这些性质中 哪些是一般矩形不具有的 哪些是一般菱形不具有的 3 具备什么条件的平行四边形是正方形 具备什么条件的平行四边形是正方形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 4 例 1 如图 在正方形 ABCD 中 点 E F G H 分别在 AB BC CD DA 上 并且 AE BF CG DH 四边形 A B C D 是正方形吗 为什么 解 略 练习 已知 如图 E F G H 分别是正方形 ABCD 各边的中点 AF BG CH DE 分别两两相交于点 A B C D 求证 四边形 A B C D 是正方形 例 2 以 ABC 的边 AB AC 为边的等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE 四边形 ADFE 是平行四边形 1 当 BAC 满足 时 四边形 ADFE 是矩形 2 当 BAC 满足 时 平行四边形 ADFE 不存在 3 当 ABC 分别满足什么条件时 平行四 边形是菱形 是正方形 五 矫正反馈五 矫正反馈 1 如图 4 51 已知正方形 ABCD 延长 AB 到 E 作 AG EC 于 G AG 交 BC 于 F 求证 AF CE 2 2008 年江苏省无锡市 如图 分别为 正方形的边 上的点 D D B BC C A A E E F F D C B A G E B F C A H D 且 则图中阴影部分 的面积与正方形的面积之比为 A 六 迁移应用六 迁移应用 11 20082008 年山东省青岛市 年山东省青岛市 已知 如图 在正方形 ABCD 中 G 是 CD 上一点 延长 BC 到 E 使 CE CG 连接 BG 并延长交 DE 于 F 1 求证 BCG DCE 2 将 DCE 绕点 D 顺时针旋转 90 得到 DAE 判断四边形 E BGD 是什么 特殊四边形 并说明理由 三三 小结提高 这节课你有什么收获小结提高 这节课你有什么收获 四 自我检测四 自我检测 课后作业课后作业 班级 姓名 学号 1 如图 等边三角形 EBC 在正方形 ABCD 内 连接 DE 则 CDE 2 在正方形 ABCD 中 AC BD 交于点 O OE BC 于点 E 若 OE 2cm 则正方形 ABCD 的面积为 cm2 3 如图 点 E 在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上 如果 BE BD 那么 E E DA B CE DA BCE DA BC 第 1 题 第 3 题 第 4 题 3 2 1 F G O C AD B E 4 如图 E 是在正方形 ABCD 的延长线上一点 且 CE AC 则 E 5 正方形 ABCD 中 AB 1 点 P 是对角线 AC 上的一点 分别以 AP PC 为对角 线作正方形 则两个小正方形的周长的和是 6 如图 正方形 ABCD 中 DAF 25 AF 交对角线 BD 于 E 交 CD 于 F 则 BEC 度 7 如图 正方形 ABCD 中 AC 10 P 是 AB 上任意一点 PE AC 于 E PF BD 于 F 则 PE PF 可以用一句话概括 正方形边上的任意一点到两对角 线的距离之和等于 8 如图 边长为 1 的正方形绕点逆时针旋转ABCDA 到正方形 图中阴影部分的面积为 30 AB C D A B C D 1 2 3 3 3 1 3 3 1 4 9 证明 对角线相等的菱形是正方形 10 请阅读如下材料 如图 已知正方形 ABCD 的对角线 AC BD 于点 O E 是 AC 上一点 AG BE 垂足为 G 求证 OE OF 证明 四边形 ABCD 是正方形 BOE AOF 90 且 OA OE E P D CB A F F E D C B A A BC D B D C F G O C AD B E F G O C AD B E 又 AG BE 1 3 90 2 3 即 1 2 Rt BOE Rt AOF OE OF 根据你的理解 上述证明思路的核心是利用 使问题得以解决 而证明过程中的关键是证出 若上述命题改为 点 E 在 AC 的延长线上 AG BE 交 EB 的延长线于点 G 延 长 AG 交 DB 的延长线于点 F 如图 其他条件不变 求证 OA OE 3 5 矩形 菱形 正方形 5 1 掌握正方形的性质和四边形是正方形的条件 2 经历探索四边形是正方形的条件的过程 在活动中发展学生的探究意识和有条理地表达 能力 1 在空格中填上适当的条件 1 的平行四边形是矩形 2 的平行四边形是菱形 3 的平行四边形是正方形 2 正方形的边长为 a 当边长增加 1 时 其面积增加了 3 如图 点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上的一点 且 CE AC 若 AE 交 CD 于点 F 则 E AFC D A B C E F 4 如图 正方形 ABCD 中 DAF 25 AF 交对角线 BD 于 E 交 CD 于 F 则 BEC 度 5 如图 正方形 ABCD 中 AC 10 P 是 AB 上任意一点 PE AC 于 E PF BD 于 F 则 PE PF 可以用一句话概括 正方形边上 的任意一点到两对角线的距离之和等于 6 下列结论 1 正方形具有平行四边形的一切性质 2 正方形具有矩形的一切性质 3 正方形具有菱形的一切性质 4 正方形具有四边形的一切性质 其中正确结论有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 7 四边形 ABCD 中 O 是对角线的交点 能判别此四边形是正方形的是 A AC BD AB CD AB CD B AD BC A C C AO CO BO DO AB BC D AO BO CO DO AC BD A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 8 把如图的正方形剪成四个全等的直角三角形 请用这 个全等的直角三角形拼成符合下 例要求的图形 全部用上 互不重叠且不留空隙 把你的拼法按照实际大小画出 1 不是正方形的菱形 2 不是正方形的矩形 3 梯形 4 既不是矩形也不是菱形的平行四边形 2 如图 在正方形 ABCD 的边 BC 上任取一点 M 过点 C 作 CN DM 交 AB 于 N 设正 方形对角线交点为 O 试确定 OM 与 ON 之间的关系 并说明理由 F E D C B A E P D CB A F A BN M CD O 3 如图 在 ABC 中 C 90 BAC ABC 的角平分线交于点 D DE BC 于 E DF AC 于 F 问四边形 CFDE 是正方形吗 请说明理由 1 如图 1 正方形 ABCD 中 AE BF 于点 G 是说明 AE BF 2 如果把线段 BF 变动位置如图 2 其余条件不变 1 中结论还成立吗 3 如果把 AE 与 BF 变动位置如图 3 结论还成立吗 3 63 6 三角形的中位线三角形的中位线 班级 姓名 学号 学习目标学习目标 1 探索并掌握三角形的中位线的概念 性质 2 会利用三角形中位线的性质解决有关问题 3 经历探索三角形中位线性质的探索过程 发展学生观察能力及抽象思维能力 学习难点学习难点 利用三角形中位线性质解决有关问题 一一 学前准备 学前准备 二二 师生交流 师生交流 三三 小结提高 这节课你有什么收获小结提高 这节课你有什么收获 一 一 四 自我检测 四 自我检测 情景创设情景创设 怎样将一张三角形纸片剪成两部分 使分成的两部分能拼成一个平 行四边形 A B C D E F jG F B D A CE l k G P B D A CE H l k P F G B D A C H E 1 2 3 二 二 探索活动 引入新课探索活动 引入新课 1 动手操作 1 剪一个三角形记为 ABC 2 分别取 AB AC 的中点 D E 连接 DE 3 沿 DE 将 ABC 剪成两部分 将 ADE 绕点 E 旋转 180 得四边形 BCFD 如图 A A FED ED CB B C 2 观察思考 1 图 中有哪性质 四边形 BCFD 是平行四边形吗 请说明理由 从边上考虑 从角上考虑 观察探索得出 边 AD BD AE EC DE EF BD CF DF BC DF BC DE BC EF BC 角 B F ADE B AED C 2 图 中哪些线段较特殊 为什么 DF 平行且等于 BC EF 平行且等于 BC 的一半 DE 平行且等于 BC 的一半 三角形中位线 连接三角形两边中点的线段三角形中位线 连接三角形两边中点的线段 三角形中位线性质 三角形中位线性质 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 A ED CB 即 若即 若 AD DBAD DB AE ECAE EC 则 则 DE BCDE BC 且且 DE DE BCBC 2 1 从今天开始我们就一起研究这样一条特殊的线段 三角形三角形 的中位线的中位线 3 说一说三角形的中线与三角形的中位线的区别 如图 三角形中线中线是一条连接顶点顶点与对边中点对边中点的线段 三角形中位线中位线是一条连接两边中点两边中点的线段 D A ED A CCBB 三 三 实战演练实战演练 1 根据图中的条件 回答问题 1 如图 a 已知 D E 分别为 AB 和 AC 的中点 DE 5 求 BC 的长 2 如图 b D E F 分别为 AB AC BC 的中点 AC 8 C 70 求 DF 的长和 EDF 的度数 3 如图 c 若 DEF 的周长为 10cm 求 ABC 的周长 若 ABC 的面积等于 20cm 求 DEF 的面积 F A ED F A ED A E CCCBBB a b c 解 1 BC 10 2 DF 4 EDF 70 3 ABC 的周长为 20cm DEF 的面积为 5cm 点评点评 三角形三条中位线围城的三角形叫中点三角形中点三角形 中点三角形的周长等于原三角形周长的一半 面积等于原 三角形面积的四分之一 可以进一步探索出 AF 与 DE 间互相平分的关系 类例类例 书 131 页练习 2 3 两题 2 如图 在四边形 ABCD 中 E F G H 分别是 AB BC CD DA 的中点 四 边形 EFGH 是平行四边形吗 为什么 解 四边形 EFGH 是平行四边形 连接 AC 因为 E F 分别是 AB BC 中 点 即 EF 是 ABC 的中位线 所以 EF AC 且 EF AC 2 1 理由是 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一 E H G F A D B C 半 在 ADC 中 同样可以得到 HG AC 且 HG AC 2 1 所以 EF HG 且 EF HG 所以四边形 EFGH 是平行四边形 理由是 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 点评点评 通过连接对角线将四边形中的问题转化到三角形中 未知 转化为已知 次连接四边形各边中点的四边形是中点四边形中点四边形 可以进一步探索中点四边形形状的特殊性与原四边形的对 角线有关 对角线相等相等的四边形的中点四边形为菱形菱形 对角线垂直垂直的四边形的中点四边形为矩形矩形 四 四 课时小结课时小结 通过今天的学习 同学们有何收获和体会 1 学习了三角形中位线的性质 2 利用三角形中位线的概念和性质解决有关问题 3 经历了探索三角形中位线性质的过程 体会转化的思想方法 五 五 课后作业课后作业 课本 134 页 1 3 4 课后作业课后作业 班级 姓名 学号 1 顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是 A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 以上都不对 2 如果四边形的对角线互相垂直 那么顺次连结四边形中点所得的四边形是 A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 以上都不对 3 如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形 那么原来的四边形的对 角线 A 互相平分 B 互相垂直 C 相等 D 相等且互相平分 4 顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是 A 等腰梯形 B 矩形 C 平行四边形 D 菱形或对角线互相垂直的四边形 5 已知三角形的 3 条中位线分别为 3cm 4cm 6cm 则这个三角形的周长是 A 3cm B 26cm C 24cm D 65cm 6 已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为 8cm 则原三角形的周 长为 cm 7 一个三角形的周长是 12cm 则这个三角形各边中点围成的三角形的周长 8 如图 ABC 中 D E 分别是 AB AC 的中点 则线段 CD 是 ABC 的 线段 DE 是 ABC 9 如图 D E F 分别是 ABC 各边的中点 1 如果 EF 4cm 那么 BC cm 如果 AB 10cm 那么 DF cm 2 中线 AD 与中位 线 EF 的关系是 10 已知 ABC 中 D 是 AB 上一点 AD AC AE CD 垂 足是 E F 是 BC 的中点 试说明 BD 2EF 11 如图 四边形 ABCD 中 AB CD M N 分别是 AD BC 的中点 延长 BA NM CD 分别交于点 E F 试说明 BEN NFC 12 如图 A B两地被建筑物阻隔 为测量A B两地的距离 在地面上选一点C 连接CA CB 分别取CA CB的中点D E 1 若DE的长度为 36 米 求A B两地之间的距离 2 如果D E两点之间还有阻隔 你有什么方法解决 13 如图 矩形ABCD的对角线相交于点O 点E F G H分别是 OA OB OC DO的中点 四边形EFGH是矩形吗 为什么 H G F E o D C B A 14 已知在 ABC中 B 2 C AD BC于D M为BC的中点 求证 DM AB 2 1 15 如图 在平行四边形 ABCD 中 E F 分别是 BC AD 的中点 AE 与 BF 相交 A C B D E F N M A D B C E F MDC B A H G E F A D B C 于点 G DE 与 CF 相交于点 H 试说明 GH AD 且 GH AD 2 1 一一 学前准备 学前准备 二二 师生交流 师生交流 三三 小结提高 这节课你有什么收获小结提高 这节课你有什么收获 四 自我检测 四 自我检测 3 63 6 梯形的中位线梯形的中位线 班级 姓名 学号 学习目标学习目标 1 掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理 2 能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算 进一步提高学生的 计算能力和分析能力 3 通过定理证明及一题多解 逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力 学习难点学习难点 梯形中位线定理的证明 性质应用中辅助线的添设 教学过程教学过程 一 情景创设 一 情景创设 怎样将一张梯形硬纸片剪成两部分 使分成的两部分能拼成一个三角形 操作 1 剪一个梯形 记为梯形 ABCD 2 分别取 AB CD 的中点 M N 连 接 MN 3 沿 AN 将梯形剪成两部分 并将 ADN 绕点 N 按顺时针方向旋转 180 到 ECN 的位置 得 ABE 如右图 讨论 在上图中 MN 与 BE 有怎样的位置关系 和数量关系 为什么 二 引入新课二 引入新课 1 梯形中位线定义 连接梯形两腰中点的线段连接梯形两腰中点的线段 2 现在我们来研究梯形中位线有什么性质 如右图所示 MN 是梯形 ABCD 的中位线 引导学 生回答下列问题 MN 与梯形的两底边 AD BC 有怎样的位置关系和数量关系 为什么 由此得出梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的由此得出梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的 一半一半 定理符号语言表达 定理符号语言表达 在梯形在梯形 ABCD 中 中 AD BC 3 归纳总结出梯形的又一个面积公式 S 梯 a b h 设中位线长为 l 则 l a b S l h 2 1 2 1 三 典例分析三 典例分析 例例 1 如图 梯子各横木条互相平行 且 A1A2 A2A3 A3A4 A4A5 B1B2 B2B3 B3B4 B4B5 已知横木条 A1B1 48cm A2B2 44cm 求横木条 A3B3 A4B4 A5B5的长 练习 练习 一个梯形的上底长 4 cm 下底长 6 cm 则其中位线长为 cm 一个梯形的上底长 10 cm 中位线长 16 cm 则其下底长为 cm 已知梯形的中位线长为 6 cm 高为 8 cm 则该梯形的面积为 cm2 已知等腰梯形的周长为 80 cm 中位线与腰长相等 则它的中位线长 cm 例例 2 已知 如图在梯形 ABCD 中 AD BC AB AD BC P 为 CD 的中点 求证 AP BP 四 拓展练习四 拓展练习 1 已知 等腰梯形 ABCD 中 两条对角线 AC BD 互相垂直 中位线 EF 长为 8cm 求它的高 CH 2 已知 在梯形 ABCD 中 AD BC 对角线 AC BD 且 AC 12 BD 9 则此梯形的中位线长是 A 10 B C D 12 五 小结 五 小结 1 基本知识 梯形中位线定理 位置关系 梯形的中位线平行于上 下底 数量关系 梯形的中位线等于上下底和的一半 把梯形的中位线定理与三角形 中位线定理进行比较 三角形实质上可以理解为上底为零的一种特殊的梯形 2 梯形另一面积计算公式 3 数学思想方法 化归 几何建模 数形结合 课后作业课后作业 班级 姓名 学号 1 已知梯形的中位线长为 24 厘米 上 下底的比为 1 3 则梯形的上 下底之 差是 A 24 厘米 B 12 厘米 C 36 厘米 D 48 厘米 2 若梯形的上底长为 8cm 中位线长 10cm 则下底长为 3 等腰梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 6 腰 AD 的长为 5 则等腰梯形 ABCD 的 周长为 4 若梯形的周长为 80cm 中位线长于腰长相等 高为 12cm 则它的面积为 5 一个等腰梯形的对角线互相垂直 梯形的高为 2cm 则梯形的面积为 6 有一个木匠想制作一个木梯 共需 5 根横木共 200cm 其中最上端的横木长 20cm 求其他四根横木的长度 每两根横木的距离相等 7 如图 在 Rt ABC 中 AB 是斜边 DE FG BC 且 AE EG GC 3 DE 2 A 3 E 3 G C B F D 3 2 求 1 FG 2 BC 3 S梓形BCED 8 如图 A2B2是梯形 A1A3B3B1的中位线 A3B3是梯形 A2A4B4B2的中位线 若 A1B1 2 A3B3 4 则 A4B4 按上述方法继 得 AnBn 则续下去 AnBn 9 如图所示 有一块四边形的地 ABCD 测得 顶点 B C 到 AD 的距离分别为10m 4m 求这 块地的面积 一一 学前准备 学前准备 二二 师生交流 师生交流 三三 小结提高 这节课你有什么收获小结提高 这节课你有什么收获 四 自我检测 四 自我检测 3 53 5 菱形的性质菱形的性质 班级 姓名 学号 学习目标学习目标 了解菱形的基本性质 掌握其特征 学习难点学习难点 A1B1 A2 B2 A3 B3 A4 B4 AnBn 掌握菱形的性质 教学过程教学过程3 5 矩形 菱形 正方形 3 1 理解菱形的概念 掌握菱形的性质 2 引导学生经历由平行四边形到菱形的探索过程 在活动中发展学生的探索意识 合情推 理能力和有条理地表达能力 3 在对菱形特殊性质时探究过程中 引导学生理解特殊与一般的关系 领会特殊事物的 本质属性与其特殊性质的关系 1 下列叙述错误的是 A 平行四边形的对角线互相平分 B 菱形的对角线互相平分 C 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D 对角线相等的四边形是矩形 2 菱形具有而矩形不一定具有的特征是 A 四条边相等 B 四个内角都相等 C 对角线互相平分 D 对角线互相垂直 3 菱形既是 对称图形 又是 对称图形 4 菱形具有而矩形不一定具有的特征是 两条对角线 每一条对角线 矩形具有而菱形不一定具有的特征是 两条对角线 各个内角 矩形和菱形共同具有的特征是 两条对角线 两组对边分别 两 组对角分别 5 菱形的两条对角线把菱形分成 个全等的 三角 6 如果平行四边形 ABCD 满足条件 填写一个合适的条件 那么它的对角线 AC BD 就互相垂直 7 菱形的两对角线长分别为 10cm 和 24cm 则周长为 cm 面积为 cm2 8 已知棱形 ABCD 的周长为 8cm BCD 120 对角线 AC 和 BD 相 交于点 O 求 AC 和 BD 的长 9 已知棱形 ABCD 的对角线相交于点 O AC 8cm BD 6cm 求棱形的高 AD A BC 0 D A BC 0 D D 10 如图 AD 是 ABC 的角平分线 DE AC 交 AB 于点 E DF AB 交 AC 于 F 试判断 AEDF 是何图形 并说明理由 11 如图 菱形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 O 试说明这个菱形的面积等于 AC BD 的一 半 1 在宽为 6 厘米的矩形纸带上 用菱形设计如下图所示的图案 如果菱形的边长为 5 厘米 请你回答下列问题 4 如果用 5 个这样的菱形设计图案 那么至少需要多长的纸带 5 设菱形的个数为 x 所需的纸带长为 y 请你用 x 的代数式表示 y 6 现有长为 25 厘米的纸带 要设计这样的图案 最多需要多少个菱形 2 已知 菱形有一个角是 72 设计三种不同的分法 将菱形分割成四个三角形 使得每 个三角形都是等腰三角形 要求画出分割线段 标出能够说明分法所得三角形内角的度数 D A E B C F 1 2 A O D B C 一 复习一 复习 1 平行四边形有何特征 如何识别一个四边形是平行四边形 2 矩形有何性质 如何识别一个四边形是矩形 如何识别一个平行四边 形是矩形 在学生思考 交流的过程中 老师适时进行指导 二 创设问题情境 导入新知二 创设问题情境 导入新知 出示可伸缩的衣帽架实物 老师在演示的过程中提问 图中的基本图形你熟悉吗 学生大多回答是平行四边形 让一个同学用尺量出这个平行四边形的邻边 的长度 发现邻边相等这个特性 接着老师告诉学生 这种邻边相等的平行四 边形 与一个角是直角的平行四边形一样也是一种特殊的平行四边形 这是今 天我们要研究的课题 教师板书 菱形 那究竟什么是菱形呢 学生在思考 交流中 老师适时地进行指导 把正确的定义板书在黑板上 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 这里的 平行四边形 不能写成 四边形 一组邻边相等的四边形 不 一定是菱形 这点务必加以强调 如果要用四边形下菱形的定义就应该是 四边都相等的四边形是菱形 三 学生动手操作三 学生动手操作 1 画一个 ABC 取 BC 的中点 M 把 ABC 绕着 M 旋转 180 后得一个 A B C A B C 与 ABC 拼成一个怎样的图形 平行四边形 那么 菱形也可以看作什么样的三角形通过绕着那一边的中点旋转 180 后与原三角 形拼成的 2 画一个等腰 ABC 取底边 BC 中点 M 把 ABC 绕着 M 旋转 180 后的 三角形与原三角形拼成一个怎样的图形 菱形 要说明它菱形 就应讲出根 据来 请一个同学说出根据 它是邻边相等的平行四边形 如图所示 3 观察图 思考 1 图中有哪些三角形是等腰三角形 2 图中有哪些直角三角形 在学生交流的基础教师板书 1 ABC A BC ACA ABA 都是等腰三角形 2 ACM CMA ABM BMA 都是直角三角形 让学生想一想后继续操作 菱形是中心对称图形 这点大家是不会怀疑的 刚才的操作已经说明了这 一点 那么菱形是不是轴对称图形呢 大家都知道菱形可以把等腰三角形绕 着底边中点旋转 180 后所得的三角形与原三角形拼成的 由于等腰三角形是 轴对称图形 所以我们也可以判断出菱形也是轴对称图形 请大家想一想 1 直角 ACM 直角 CMA 直角 ABM 直角 BMA 的形状 大小是 否相同 2 如何用剪刀的办法 得到一个菱形的纸片呢 如图所示 请大家按如下步骤操作 1 将一张矩形纸对折再对折 2 用尺在折后的矩形的一角上画一条直线 3 用剪刀沿着这条线剪下 打开 你发现这是一个什么样的图形 如果在另一角画直线剪下的是两个等腰三角形要拼起来才可完成上面的 四边形 究竟在哪一角画线 请思考后再动手 根据以上的操作与思考 你发现菱形它有哪些性质吗 教师让学生用语言进行表达出来 用边 角 对角线的顺序来阐明 教师板书 菱形性质 边 对边平行 四边都相等 角 对角相等 对角线 对角线互相垂直平分 且平分各内角 由于菱形是平行四边形 所以它具有平行四边形的一切性质 上述的对边 平行 对边相等 对角相等 对角线互相平分 就是平行四边形的性质 而邻 边相等 对角线互相垂直 是它与平行四边形不同的特殊性质 上述的菱形性 质是两种性质的总和 同时菱形还是轴对称图形 它的对称轴有两条 是两条对角线所在的直线 它是中心对称图形 其对称中心 就是它两条对角线的交点 四 范例分析 加深理解四 范例分析 加深理解 例 2 在菱形 ABCD 中 BAD 2 B 如图所示 试说明 ABC 是等边三角形 学生观察图形并对照条件 进行思考 交流 师生共同分析 要说明 ABC 是等边三角形 可以从以下几条入手 1 说明 AB BC AC 2 说明 BAC ACB ABC 3 说明 ABC 中 有两个角都等于 60 从第一条途径出发 我们知道四边形 ABCD 是菱形 即可获得 AB BC 现 在只差 AB AC 或 BC AC 要知道 CB AC 就要说明 ABC CAB 要知道 BA AC 就要说明 ABC ACB 由于 AD BC 即可得到 DAB ABC 180 故 3 ABC 180 ABC 60 那么 BAD 120 由于菱形对角线平分内角 故 BAC 60 即 BAC ABC 60 那么 AB AC 这样就可以得到 ABC 是等边三角形 从第二条途径出发 就要从三个角入手 上面分析已得到 BAC ABC 由于 BA BC 故 BAC BCA 那么 BAC ABC BCA 这样 ABC 是等边三角形就可获得说明 从第三条途径出发 第一条途径 分析中已获得了 解 由于四边形 ABCD 是菱形 所以 AB BC AD BC 即 B BAD 180 BAC BAC 又 BAD 2 ABC 所以 3 ABC 180 即 ABC 60 因为 BAC BCA ABC 180 故 BAC BCA 120 那么 2 BAC 120 即 BAC 60 BCA 60 因此三角形 ABC 为等边三角形 也可以说 ABC 是一个角等于 60 的等腰三角形 所以 ABC 为等边三角 形 五 随堂练习 巩固新知五 随堂练习 巩固新知 课本 P105 练习 第 1 2 题 参考答案 1 用你认为最简洁的方法画一个菱形 1 就应该从菱形的定义入手 首先它是平行四边形 要注意这个平行 四边形的邻边要相等 2 可以先画两条互相垂直平分的线段 然后顺次连结各端点即可得到菱 形 这是根据识别菱形的方法进行作图的 哪一种简洁请大家思考决定 2 在菱形 ABCD 中 AB 5 OA 4 OB 3 求这个菱形的周长与两条对角线的长 度 解 由于 ABC